17. Elettromagnetismo

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1 1 quaioni di Mawell 17. lettromagnetismo Nelle leioni precedenti abbiamo considerato i campi elettrico e magnetico statici, cioè abbiamo considerato fenomeni indipendenti dal tempo. I campi elettrico e magnetico sono vettoriali e in quanto tali sono definiti una volta che siano noti il flusso e la circolaione attraverso superfici e curve chiuse arbitrarie. Richiamiamo tali leggi. Per il campo elettrico si ha Φ = q ɛ 0, (1) C = 0, (2) dove Φ è il flusso attraverso una superficie chiusa e q è la carica elettrica all interno. C è la circolaione lungo un arbitraria curva chiusa. Per il campo magnetico si ha invece Φ = 0, (3) C = µ 0 I, (4) dove Φ è il flusso attraverso una superficie chiusa e I è la corrente che attraversa una superficie delimitata dalla curva lungo la quale è calcolata la circolaione. Le equaioni (1,2,3,4) devono essere modificate quando si prendono in consideraione fenomeni dipendenti dal tempo. Tali modifiche riguardano le equaioni (2) e (4). La modifica della (2) è dovuta a Farada C = Φ t, (5) dove Φ rappresenta la variaione di flusso di attraverso la curva chiusa su cui si calcola la circolaione di. Tale variaione avviene nel tempo t. Tale intervallo deve essere preso abbastana piccolo in modo che Φ / t rappresenti la velocità di variaione del flusso di. La (5) si può esprimere graficamente come mostrato nella figura 1 (a). Se in una regione dello spaio c è una variaione delle linee di fora del campo magnetico, allora si generano delle linee di fora del campo elettrico, disposte come nella gura 1 (a). Dunque un campo magnetico variabile genera nelle sue vicinane un campo elettrico. Tale fenomeno è detto induione magnetica. La modifica della (4) è dovuta a Mawell C = µ 0 I + µ 0 ɛ 0 Φ t. (6) Il termine aggiuntivo, detto corrente di spostamento, può essere rappresentato come in 1 (b). Dunque un campo elettrico variabile genera un campo magnetico. Le equaioni (1,5,3,6) sono le celebri equaioni di Mawell. 1

2 (a) (b) Figura 1: (a) Una linea di fora chiusa per il campo elettrico è generata da una variaione del flusso del campo magnetico concatenato con la linea di fora di ). (b) Lo stesso che in (a), con i ruoli di e invertiti. 2 Onde elettromagnetiche Nel vuoto, cioè in assena di cariche e correnti, le equaioni di Mawell diventano Φ = 0, (7) Φ = 0, (8) C = Φ t, (9) C = µ 0 ɛ 0 Φ t. (10) La conseguena più importante di queste equaioni è l esistena delle onde elettromagnetiche. Prima di vedere questo fatto dal punto di vista matematico, cerchiamo di capirlo in modo qualitativo. Immaginiamo che in una regione dello spaio ci sia un campo elettrico variabile. Allora nelle sue vicinane si genera un campo magnetico. Tale campo magnetico risulta anch esso variabile. Possiamo quindi aspettarci un campo elettrico ulteriore generato dal campo magnetico. Tale campo elettrico è generato in una regione separata da quella da dove era presente il campo elettrico iniiale. Questa propagaione suggerisce che si ha un fenomeno ondulatorio. Le equaioni (7,8) ci dicono che le linee di fora di e devono essere chiuse. La generaione concatenata di campi elettrico e magnetico può quindi essere rappresentata nella forma di una catena dove gli anelli rappresentano alternativamente le linee di fora del campo elettrico e magnetico, come in figura (2). In figura la direione è quella lungo la quale si sviluppa la catena di anelli. Un trattamento matematico rigoroso richiede l uso della analisi vettoriale che non possiamo utiliare in questa sede. Però possiamo ugualmente farci un idea di come sia possibile ottenere matematicamente un onda elettromagnetica. Supponiamo che in un certo punto dello spaio ci sia un campo magnetico dipendente dal tempo in modo che la linea di fora sia una retta infinita come in figura 1(a). 2

3 s Figura 2: Propagaione di un onda elettromagnetica attraverso la generaione concatenata di linee di fora dei campi elettrici e magnetici. Prendiamo l asse coincidente con la retta della linea di fora. Consideriamo una circonferena di raggio s centrata nella linea di fora del campo magnetico e giacente nel piano perpendicolare a questa, cioè nel piano -. Se in un tempo t il campo magnetico varia di, la variaione di flusso corrispondente è π s 2, dove π s 2 è l area dell anello costituito dalla linea di fora. Il campo elettrico (cf. figura 1(a)) è per costruione sempre tangente all anello. Dunque il campo elettrico ha modulo costante, pari a, lungo l anello, ma la sua direione varia secondo la tangente all anello. La circolaione del campo elettrico è allora 2π s, dove 2π s è la circonferena dell anello. L equaione (9) diventa 2π s = π s 2 t. (11) Vediamo di capire il significato di questa equaione. Per far questo colleghiamo il valore del modulo del campo elettrico alle variaioni spaiali del campo elettrico stesso. Facciamo riferimento alla figura 3. Indichiamo per comodità di esposiione il verso delle positive come la direione st in un quadrante di una bussola. Il verso delle positive corrisponde al Nord, quello delle negative all Ovest, e infine quello delle negative al Sud. Ad st il campo elettrico ha soltanto componente, mentre a Nord ha solo componente, etc. Posso dire che se vado da Ovest verso st, cioè spostandomi lungo la direione di un tratto 2 s, la componente del campo elettrico varia di 2, mentre se mi muovo da Sud verso Nord, cioè spostandomi lungo la direione di un tratto 2 s, la componente del campo elettrico varia di 2. Allora l equaione (11) può essere riscritta = t, (12) dove = = s. Abbiamo allora una relaione che connette le variaione nel tempo della componente del campo magnetico alla variaione nello spaio delle componenti e del campo elettrico. Ragionando in modo analogo si ottiene = µ 0ɛ 0 t. (13) Le due equaioni (12,13) descrivono come variaioni nel tempo di un campo magnetico o un campo elettrico con verso e direione assegnata (la linea di flusso infinita) generino nello spaio circostante linee chiuse (circolari) di fora di campo elettrico e 3

4 Nord Ovest st Sud Figura 3: La circonferena rappresenta la linea di fora del campo elettrico. Le frecce indicano il vettore campo elettrico nei quattro punti cardinali. Ad esempio, ad st, il campo elettrico ha componente soltanto lungo l asse, mentre a Nord esiste solo la componente, ad Ovest si ha nuovamente solo componente, ed infine a Sud di nuovo solo la componente. magnetico, rispettivamente. È chiaro che i campi generati (gli anelli) genereranno, a loro volta, altri campi. Il calcolo diventa più complicato perchè ora non abbiamo più linee di fora infinite da cui partire ma cerchi. Ragionando come nel caso della catena di punti materiali oscillanti, immaginiamo di muoverci lungo una direione assegnata, ad esempio, e che le variaioni dei campi elettrici e magnetici siano solo possibili nel piano perpendicolare alla direione. Allora nelle (12,13) possiamo porre a ero le componenti dei campi. Quindi abbiamo da cui si ottiene = t, (14) = µ 0 ɛ 0 t (15) 2 = 1 c 2 t 2 (16) 2 = 1 c 2 t 2 (17) dove abbiamo introdotto la velocità la velocità di propagaione delle onde elettromagnetiche c = 1 ɛ0 µ 0. 4

5 Le equaioni (16-17) hanno la stessa forma dell equaione trovata per la corda vibrante, che descrive la propagaione di onde elastiche. Allora le equaioni (16-17) descrivono la propagaione di onde di campi elettrici e magnetici, che costuiscono quindi un unica entità denominata campo elettromagnetico. 5