Le meravigliose equazioni di Maxwell

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1 Le meravigliose equazioni di Maxwell Φ S ( E)=Q int /ϵ 0 Φ S ( B)=0 E d s= d Φ( B) dt B d d Φ( E ) s=μ 0 (i+ϵ 0 ) dt Cominciamo con ordine. I La prima delle equazioni di Maxwell è il teorema di Gauss. Ci dice che il flusso attraverso una superficie chiusa, è uguale alla carica contenuta nella superficie, divisa per ϵ 0. Questo teorema lega la distribuzione di carica al campo elettrico. Il campo elettrico, viene generato dalla carica elettrica, le linee di campo hanno origine nelle cariche positive, e terminano su quelle negative. In altre parole possiamo affermare che una carica positiva genera delle linee di forza uscenti da una superficie chiusa che racchiude la carica stessa. Dunque il flusso attraverso tale superificie sarà positivo. II La seconda equazione può essere considerata il teorema di Gauss per il magnetismo. Il flusso attraverso una superficie chiusa è sempre nullo, cioè il numero di linee di campo entranti in un volume limitato è sempre uguale al numero linee di campo che escono dallo stesso volume. Ciò implica la non esistenza di punti, sorgenti di linee di campo, o dove entrano linee di campo, il che è in accordo con la non esitenza di monopoli magnetici. III E' la legge di Faraday Neumann La terza equazione dice che l'integrale di linea del campo elettrico su un percorso chiuso (uguale alla fem) è uguale alla derivata rispetto al tempo del flusso magnetico attraverso una qualsiasi superficie limitata da percorso, col segno cambiato. Mi dice che un campo magnetico variabile, induce corrente in una spira conduttrice. Più in generale un campo magnetico variabile, crea un campo elettrico circolare indipendentemente dalla presenza di una spira. Crea cioè un campo che ha circuitazione diversa da zero.

2 IV La quarta equazione è la forma generalizzata del teorema di Ampere. Fornisce una relazione tra campi magnetici, correnti e campi elettrici. L'integrale di linea del campo magnetico su un percorso chiuso è determinato dalla corrente di conduzione che è concatenata con tale percorso, e dalla derivata rispetto al tempo del flusso elettrico attraverso una qualsuasi superficie limitata da quel percorso. Un campo magnetico (circolare) è generato indifferentemente da una corrente conduttrice, o da un campo elettrico variabile. i B B B Nella quarta equazione, vi è anche l'equazione di continuità. Ovvero. Il flusso della corrente uscente da una superficie chiusa è la diminuzione della carica che si trova nella superficie. Spieghiamo in dettaglio. Partendo dalla quarta equazione: Innanzi tutto consideriamo La circuitazione di B lungo un percorso chiuso. (stringo la circonferenza fino a collassare in un punto. Quindi la superficie che ha come contorno C da aperta diventa chiusa. La circuitazione diviene nulla.

3 Quindi rimane l'equazione: i+ϵ 0 d dt E d A=0 il flusso è riferito ad una superificie chiusa quindi applicando Gauss si può porre il flusso pari alla carica diviso epsilon: i= Q ϵ 0 Commenti: prendo una superficie chiusa e guardo la carica racchiusa in un certo istante di tempo. Se vedo che la carica diminuisce, significa che cariche stanno uscendo dalla superficie. Cioè significa che c'è della corrente! Questa è una formulazione del principio di conservazione della carica elettrica. Una volta che il campo elettrico e magnetico sono noti, in un certo punto dello spazio, la forza agente su una carica elettrica q può essere espressa mediante la F=q E+q v B Questa equazione insieme alle quattro eq. Di Maxwell fornisce una descrizione completa di tutte le interazioni elettromagnetiche. Le equazioni di Maxwell continuano a dirci anche altre cose. Innanzi tutto sono in accordo con la teoria della relatività ristretta di Einstein. Predicono l'esistenza di onde elettromagnetiche, che si propagano nello spazio a una velocità pari a c=1/ μ 0 ϵ m/ s, che sarebbe la velocità della luce. Tali onde infine, vedremo, sono irradiate da cariche elettriche accelerate. Onde piane Si dimostra che le più semplici soluzioni delle equazioni di maxwell, sono le seguenti. (infatti sono le soluzioni delle equazioni di maxwell nel vuoto, che assumono la stessa forma delle equazioni di d'alambert (Derivata seconda spaziale di f = 1/v^2 derivata seconda temporale di f), che hanno come soluzione proprio un'onda che si propaga con velocità v). E( x, t)=e MAX sin(kx ωt) B( x,t)=b MAX sin (kx ω t) Si tratta di onde piane, per i quali i campi E e B variano con x e t secondo la legge che abbiamo appena letto. Nello specifico: E (x,t )=E MAX sin (kx ω t) è un'onda sinusoidale che si propaga nella direzione x positiva, con una velocità v = ω/k. Essa è caratterizzata da un periodo spaziale (distanza tra due creste) pari a λ=2 π/k e da un periodo temporale (tempo necessario per un'oscillazione completa) pari a T =2 π/ω. Stesso discorso si può ripetere per il campo magnetico.

4 I vettori, campo magnetico ed elettrico, hanno un comportamento spaziale e e temporale ben determinato (che dipende solo da x e t). Aver considerato queste soluzioni semplifica i calcoli, ed è consistente con le equazioni di Maxwell. Dunque una soluzione delle eq di Mawell è un'onda che viaggia lungo la direzione x, con il campo elettrico E che oscilla lungo la direzione y, e il campo magnetico B che oscilla lungo la direzione z. Tali onde sono dette linearmente polarizzate (cioè le direzioni di oscillazione rimangono sempre lungo gli stessi assi). Siccome ad ogni punto P i campi E e B dipendono solo da x e da t, chiameremo queste onde, ONDE PIANE. N.B. La superficie che connette i punti che hanno uguale fase è chiamata fronte d'onda piano. Un disegno dettagliato dell'onda in questione è la seguente Possiamo vedere un'animazione al link:

5 Dalle equazioni di Maxwell, derivano le seguenti proprietà per le onde elettromagnetiche: Le onde elettromagnetiche sono trasversali, le uniche componenti del campo elettrico e magnetico non nulle sono quelle ortogonali alla direzione di propagazione. Il prodotto vettoriale E B dà sempre la direzione di propagazione I campi elettrici e magnetici oscillano sempre in fase Il campo elettrico e magnetico sono tra loro ortogonali E B=0 Le onde viaggiano ad una velocità c pari a c= 1 ϵ 0 μ 0 I muduli del campo elettrico e magnetico soddisfano la seguente relazione E B =c Le onde elettromagnetiche, obbediscono al principio di sovrapposizione Antenne Potrebbe essere interessante chiedersi quale meccanismo possa generare un'onda elettromagnetica come quella appena studiata Cominciamo col dire, che né una carica ferma, ne una corrente stazionaria, generano un campo elettromagnetico. Il meccanismo fondamentale per generare una radiazione è l'accelerazione di una particella carica. Ogni volta che una particella carica accelera, questa irradia energia. Consideriamo dunque un' antenna cosi fatta:

6 Il generatore, quando si accende, carica le due barre metalliche, e si genera fra di esse un campo elettrico, rivolto dall'alto verso il basso. Se il generatore è sinusoidale la differeza di potenziale si inverte periodicamente, e il campo elettrico tra le due barre è periodico come in figura. Dopo un periodo completo, si è generata un'onda completa. Durante l'oscillazione delle cariche (accelerazioni) il campo elettrico prodotto si allontana dall'antenna alla velocità della luce. Poiché le cariche oscillanti producono corrente nelle aste si genera pure un campo magnetico, quando la corrente è rivolta verso l'alto come in figura sotto. Le linee del campo magnetico sono circonferenze centrate sull'antenna e sono perpendicolari al campo elettrico in tutti i punti. Quando la corrente varia nel tempo le linee del campo magnetico si allargano diffondendosi lontano dall'antenna. A grandi distanze i campi elettrico e magnetico sono diventano molto deboli. Tuttavia a grandi distanze, i campi magnetici variabili producono campi elettrici variabili e viceversa. Questi campi elettrici e magnetici indotti, che in pratica fanno sì che il campo elettromagnetico si autosostenga, sono in fase.

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