Principio di sovrapposizione.

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1 Principio di sovrapposizione. Il principio di sovrapposizione si applica ogni volta che due (o più) onde viaggiano nello stesso mezzo nello stesso tempo. Le onde si attraversano senza disturbarsi. In ogni punto dello spazio e del tempo lo spostamento del mezzo risultante è dato dalla somma degli spostamenti individuali. Ciò è vero per onde di lunghezza finita (impulsi) o per ononde sinusoidali continue. Consideriamo qui due impulsi di forma gaussiana che viaggiano su una corda, uno verso destra ed uno verso sinistra. Essi si attraversano senza disturbarsi e lo spostamento del mezzo risultante è dato dalla somma degli spostamenti individuali. N.B. stiamo considerando un mezzo non dispersivo (tutte le frequenze viaggiano alla stessa velocità) e quindi la forma degli impulsi (gaussiana in questo caso) non si modifica durante la propagazione. Lezione 1, pag.1

2 Sovrapposizione di onde sinusoidali che viaggiano nella stessa direzione Consideriamo ora due onde aventi: stessa ampiezza y m, stessa frequenza ν e stessa lunghezza d onda λ che viaggiano nella stessa direzione su una corda. Tramite il principio di sovrapposizione possiamo scrivere lo spostamento come la somma degli spostamenti: y( x, = ym sin( kx ω + ym sin( kx ωt + φ) φ φ = y m cos( )sin( kx ωt + ) che è ancora un onda che viaggia nella stessa direzione, la cui ampiezza dipende dalla differenza di fase φ tra le due ondi che si sovrappongono. = Se φ = 0 (le onde sono in fase) l interferenza è costruttiva e il risultato è un onda con ampiezza doppia delle onde originarie: y( x, = ym sin( kx ω Se φ = 180 (onde in opposizione di fase) l interferenza è distruttiva, le onde si cancellano a vicenda: π π y( x, = ym cos( )sin( kx ωt + ) = 0 Lezione 1, pag.

3 Nell animazione si vedono due onde progressive, per cui la differenza di fase cambia col tempo per cui sono visibili entrambi gli effetti di interferenza costruttiva e distruttiva. L onda somma (blu) è un onda che viaggia da sinistra a destra. Lezione 1, pag.3

4 Sovrapposizione di onde sinusoidali che viaggiano in in direzioni opposte: onde stazionarie. Consideriamo ora due onde aventi: stessa ampiezza y m, stessa frequenza ν e stessa lunghezza d onda λ che viaggiano in direzioni opposte su una corda. Per il principio di sovrapposizione possiamo scrivere lo spostamento risultante come la somma degli spostamenti: y( x, = y sin( kx ω + y sin( kx + ω = y sin( kx)cos( ω m Lo spostamento della corda in funzione della posizione è: ed ha un ampiezza variabile nel tempo come: m Questa non è più un onda viaggiante, ma un onda stazionaria, perchè la dipendenza dalla posizione e dal tempo sono ora separate. A( = ym cos( ω questa non si muove lungo la corda, ma oscilla sul posto, su e giù nel tempo. y( x) = m y( x) = A( sin kx cosωt A( sin kx x Lezione 1, pag.4

5 y( x, = ym cos( ω sin kx nodo nodo x Caratteristica delle onde stazionarie è l esistenza di punti fissi lungo l asse x in cui c è: - massimo spostamento : ventri o antinodi e altri in cui c è: antinodo - nessuno spostamento : nodi. Nei punti della corda corrispondenti ai nodi si ha: lo spostamento della corda è nullo, a qualunque t. Nei punti della corda corrispondenti ai ventri si ha: sin(kx) = 0! y(x, = 0 sin(kx) =1! y(x, = y m cos(! lo spostamento della corda segue un oscillazione cosinusoidale, funzione del tempo. Negli altri punti lo spostamento della corda segue pure un oscillazione cosinusoidale, funzione del tempo, ma la sua ampiezza è inferiore all ampiezza massima che si ha nei ventri. Lezione 1, pag.5

6 Nell animazione si vede un onda stazionaria prodotta dalla sovrapposizione di due onde che viaggiano in direzioni opposte. Se le due onde sinusoidali hanno la stessa ampiezza, frequenza e lunghezza d onda, quando le due onde si sommano in fase (φ = 0 ) l interferenza è costruttiva e l ampiezza risultante è doppia delle onde originarie. Quando le due onde si sommano in opposizione di fase (φ = 180 ) l interferenza è distruttiva e le onde si cancellano. Poichè le onde si incrociano il risultato finale è un alternanza tra ampiezze massime e nulle. L onda somma (blu) è un onda che oscilla ma non viaggia nè verso destra nè verso sinistra. Il primo puntino nero è posizionato su un nodo, il secondo su un antinodo (ventre). Lezione 1, pag.6

7 Condizione per l instaurarsi di onde stazionare su una corda tesa fissata agli estremi Quando un onda sinusoidale si propaga su una corda tesa, giunta ad estremo si riflette e si propaga in direzione opposta fino a giungere all altro estremo dove subisce una nuova riflessione. Si creano così diverse onde progressive e regressive che si sommano. Affinché si abbiano punti di interferenza costruttiva è necessario che esista una relazione precisa tra lo spazio percorso dalle onde (lunghezza della corda) e la loro lunghezza d onda. In particolare gli estremi della corda (x=0 e x=l) dovranno essere sempre dei nodi, quindi per ogni valore di t dovrà essere: y( 0, = ym sin(0)cos( ω = 0 y( L, = ym sin( kl)cos( ω = 0 La prima relazione è sempre verificata, la seconda implica: π λ sin( kl ) = 0 kl = nπ L = nπ L = n n = 1,,3 λ Lezione 1, pag.7

8 La condizione per l instaurarsi delle onde stazionarie sulla corda è quindi: λ L = n n = 1,,3... I diversi valori di n corrispondono ai diversi modi di vibrazione possibili per la corda, a partire da n=1 armonica fondamentale. con L lunghezza della corda ed n numero intero. n =1 n = n =3 n = 4 n =1 à L = λ / n = à L = λ n =3 à L = 3/ λ Lezione 1, pag.8

9 Riflessione di un onda ad una estremità Estremità fissa Un onda trasversale che viaggia su una corda da sinistra verso destra e si riflette all estremità fissa (lo spostamento all estremità è nullo) subisce uno sfasamento di 180 gradi. Estremità libera Un onda trasversale che viaggia su una corda da sinistra verso destra e si riflette all estremità libera non subisce sfasamento. Lezione 1, pag.9

10 Battimenti Due onde sinusoidali di ugual ampiezza ma frequenza di poco diversa che viaggiano su una corda possono dare origine a battimenti. In questo caso il moto risulta il prodotto di due onde: una di frequenza pari alla media delle due frequenze originarie e una (che descrive l inviluppo) che ha frequenza pari a due volte la differenza delle due frequenza originarie. Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University Lezione 1, pag.10