Ottica fisica e ottica ondulatoria Lezione 12

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1 Ottica fisica e ottica ondulatoria Lezione La luce è un onda elettromagnetica; ne studiamo le proprietà principali, tra cui quelle non dipendenti direttamente dalla natura ondulatoria (ottica geometrica ) Vedi anche: Natura e storia della luce Fronti d onda: superfici su cui l onda è in fase (ad esempio le creste, linee azzurre) Raggi: linee lungo la direzione di propagazione (frecce rosse); perpendicolari ai fronti d onda Lunghezza d onda piccola rispetto all ostacolo: l onda tende a procedere nella direzione dei raggi rettilinei, senza disperdersi Approssimazione dell ottica geometrica: per la luce visibile vale λ 500 nm = m << m Propagazione per raggi rettilinei Lunghezza d onda grande rispetto all ostacolo: fenomeno della diffrazione, l onda tende a disperdersi in tutte le direzioni

2 Riflessione Su superfici lisce il raggio luminoso subisce riflessione; considerando gli angoli rispetto alla normale alla superficie nel punto di incidenza del raggio θ = i θ r angolo di incidenza = angolo di riflessione normale alla sup. raggio incidente raggio riflesso θ i θ r Rifrazione Quando un raggio incide sulla superficie di separazione tra due mezzi (trasparenti) diversi, in cui la velocità di propagazione è diversa, si ha una deviazione della direzione di propagazione; i raggi stanno sullo stesso piano perpendicolare alla superficie, e vale la Legge di Snell della rifrazione sin( θ) sin( θ ) v = v dove v e v sono le velocità del raggio nei mezzi e raggio più lento traiettoria più vicina alla normale (e viceversa) La frequenza dell onda rimane invariata (le vibrazioni sulla superficie di separazione sono le stesse) La lunghezza d onda diminuisce se v diminuisce (da v = λ ν), o aumenta se v aumenta raggio incidente sen(θ ) θ normale θ raggio rifratto r = sen(θ )

3 Definizione: indice di rifrazione c n = v Legge di Snell: velocità della luce nel vuoto velocità della luce nel mezzo n sin( θ) = n sin( ) θ Indice di rifrazione più grande traiettoria più vicina alla normale (e viceversa) v sempre minore o uguale a c, la quale è la massima velocità possibile (relatività di Einstein) n è una proprietà fondamentale dei mezzi materiali trasparenti (e più misurabile rispetto alla v!) Esempi: vuoto n = ; aria n =.0003; acqua n =.33, semiconduttori n = 3.6; eccetera L indice di rifrazione n può variare con la lunghezza d onda: onde luminose di lunghezza d onda maggiore hanno n minore e viceversa. Fenomeno della dispersione: un raggio di luce bianca (che contiene tutte le lunghezze d onda nella regione visibile) viene separato nei vari raggi componenti (i colori) Prisma di vetro che rifrange un raggio di luce monocromatico, e lo devia di un angolo δ La componente blu della luce bianca viene deviata più della componente rossa

4 Riflessione totale Quando un raggio passa da un mezzo di indice di rifrazione maggiore a uno con indice di rifrazione minore, l angolo di uscita (rispetto alla normale) è maggiore dell angolo di incidenza. Il valore massimo di θ è π/; a questo corrisponde l angolo di incidenza θ L che si ricava da n n sin( θ L ) = n sin( π / ) sin( θ L ) = ( < ) n Un raggio incidente con l angolo θ L, detto angolo limite, esce parallelo alla superficie (raggio 4). Un raggio incidente con un angolo θ i maggiore di θ L (raggio 5), non può uscire e viene riflesso nel mezzo. n > n Quindi passando da n a n, con n > n, se l angolo di incidenza è abbastanza grande il raggio rimane confinato nel mezzo. Questo fenomeno è sfruttato ad esempio nelle fibre ottiche (in vetro), che trasportano luce senza disperderla. normale θ L aria acqua Relazione tra indice di rifrazione e costante dielettrica relativa In un mezzo materiale (dielettrico): Velocità delle luce nel mezzo Costante dielettrica ε = ε r ε c 0 v = = = Permeabilità magnetica µ µ ε µ ε 0 rε 0 µ 0 ε r Indice di rifrazione c n = = ε r v

5 Polarizzazione della luce Direzione in cui oscilla il campo elettrico dell onda luminosa y polarizzazione su y x polarizzazione su x z Direzione dell onda La luce emessa da sorgenti estese (molti atomi) è composta da molte onde e non è polarizzata, cioè non ha una direzione preferenziale di polarizzazione Luce non polarizzata (campo E in tutte le direzioni) Esistono materiali (naturali e artificiali come il polaroid) che polarizzano la luce, assorbendo le vibrazioni del campo in una direzione e lasciando passare quelle nella direzione ortogonale Il materiale fissa le direzioni x (di passaggio) e y (di assorbimento) Se l onda incidente sul materiale oscilla con ampiezze E 0 nella direzione ad angolo θ rispetto a x, la componente dell oscillazione sull asse y viene assorbita, la componente sull asse x passa. Le ampiezze I dell onda sono: E E x y = = E E Se I 0 è l intensità dell onda all ingresso del materiale, l intensità all uscita I è data dalla legge di Malus: 0 0 cos( θ ) sin( θ ) E y y E0 E x (propagante) θ x (viene assorbita) I cos = I0 ( θ ) I I 0 E 0 E x

6 Luce non polarizzata che incide su un polarizzatore: l energia (o l intensità) si ripartisce equamente sulle due direzioni ortogonali x e y, quindi I = Luce polarizzata che incide su un polarizzatore, il cui asse x è inclinato dell angolo θ rispetto alla direzione di polarizzazione incidente. I cos = I0 ( θ ) Se la luce polarizzata è generata da un primo polarizzatore, la luce uscente dal secondo polarizzatore è massima per θ = 0 (polarizzatori paralleli) è minima (zero!) per θ = π/ (polarizzatori incrociati) I0 I 0 luce non polarizz. I 0 x lente polarizzatrice I θ I luce polarizzata x z z Generazione di luce polarizzata a) Per mezzo di lenti polarizzanti (come sopra). b) Per riflessione: legge di Brewster, se i raggi riflesso e rifratto sono tra loro perpendicolari, la luce riflessa è completamente polarizzata perpendicolare al piano di incidenza. c) Per rifrazione: fenomeno della birifrangenza. Certi cristalli generano due raggi rifratti in direzioni diverse (perché la luce ha velocità diverse nelle diverse direzioni del reticolo cristallino) e questi raggi sono polarizzati in direzioni ortogonali.

7 Interferenza di onde luminose Si hanno fenomeni di interferenza (che rendono evidente la natura ondulatoria della luce) quando: a) Si sovrappongono onde emesse da sorgenti coerenti, cioè che hanno una differenza di fase ben definita (esempio: se si usa la stessa lampadina) b) Se sono onde monocromatiche, cioè con la stessa lunghezza d onda (esempio: si seleziona un raggio uscente da un prisma, o emesso da un laser) Esperimento di Young (80) Una lampada illumina, con luce monocromatica, la piccola fenditura S 0, che fa da sorgente che illumina le due fenditure S e S. Queste costituiscono due sorgenti di luce coerenti (onde sinusoidali in fase). Sullo schermo si osservano frange alternate chiare e scure, originate dall interferenza delle onde luminose provenienti da S e S. (sovrapposizione di onde sinusoidali ampiezza totale da zero a un massimo)

8 S e S emettono onde uguali (A, ω, k uguali) e in fase (ad esempio, in S e S e in un certo istante le due onde sono all ampiezza massima). Sul punto P arrivano: ) l onda di S che ha percorso r ) l onda di S che ha percorso r Dato che r > r la seconda onda è in ritardo, e non è più in fase con la prima; il risultato della sovrapposizione di queste onde sinusoidali dipende da: Differenza di cammino ottico δ = r r = d sin( θ ) come si vede dalla figura; inoltre sin( θ ) tan( θ ) = y L d distanza tra le fenditure ( mm) L >> d distanza (orizzontale) dello schermo y posizione di P sull asse verticale dello schermo θ angolo della direzione di P rispetto all orizzontale (a metà tra le fenditure) Interferenza costruttiva se δ corrisponde a un numero intero di lunghezze d onda (frange luminose) δ = m λ posizione dei massimi luminosi: m λ sin(θ ) = = d y L (con m intero qualsiasi) λ L y = m d Interferenza distruttiva se δ corrisponde a una mezza lunghezza d onda in più (frange scure) δ = m + λ posizione dei minimi (buio): y = m + λ L d

9 Intensità della figura di interferenza: dalla sovrapposizione di onde sinusoidali sappiamo che il campo elettrico totale dell onda e.m. risultante è E T ( kx ω / ) = E + E = E 0 cos( ϕ / ) sin t + ϕ E Ampiezza risultante La differenza di fase delle onde ϕ dipende dalla differenza di cammino ottico: ϕ = L intensità di illuminazione è proporzionale al campo elettrico al quadrato, quindi si avrà: I = I cos 0 ( ϕ / ) Onda sinusoidale risultante k δ = k d sin( θ ) = π d y λ L E I in funzione di δ δ Cambiamento di fase dovuto alla riflessione Un onda elettromagnetica (quindi anche la luce) subisce un cambiamento di fase di π rad (80 0 ) se riflessa da un mezzo con indice di rifrazione più alto. Nel caso opposto non si verifica nessuna variazione di fase (e neppure se l onda subisce rifrazione). Questo fenomeno è importante per sin( kx ω t + π ) sin( kx ωt) n < n sin( kx ωt) Supporto rigido Analogia con un onda su una corda

10 Interferenza di lamine sottili Lamina di spessore d e indice di rifrazione n, su cui incide quasi perpendicolarmente un raggio luminoso di lunghezza d onda in aria λ = c/ν. Dato che n = c/v (e la frequenza non cambia) la lunghezza d onda nel mezzo è λ n = v/ν = λ/n (inferiore a quella in aria). () Raggio riflesso dalla superficie superiore, cambiamento di fase π, (corrispondente a un cammino ottico di mezza lunghezza d onda). () Raggio rifratto e riflesso dalla faccia inferiore, nessun cambiamento di fase; il raggio però viaggia per una ulteriore distanza d nel mezzo, rispetto al raggio in aria. La differenza di cammino ottico tra i due raggi è quindi: = d / Interferenza costruttiva se δ corrisponde a un numero intero di lunghezze d onda (nel mezzo) δ = m λ n n d = m + λ Es. bolle di sapone, olio su acqua, strati antiriflesso, δ λ n interf. Interferenza distruttiva se δ corrisponde a una mezza lunghezza d onda (nel mezzo) in più δ = m + λn n d = m λ d L interferenza dipende dallo spessore della lamina e dall indice di rifrazione; inoltre dipende dalla lunghezza d onda. Vengono quindi osservati massimi e minimi di intensità diversi per ogni colore!

11 interf. Anelli di Newton Lente circolare sottile su un piano di vetro; in questo caso il ruolo della lamina sottile è svolto dall aria interposta tra i due vetri (si ha cambiamento di fase nella riflessione sul piano di vetro) Si osservano delle frange circolari, alternativamente chiare e scure Diffrazione d Condizione per osservare i fenomeni di diffrazione λ > d Si ha diffrazione quando le onde passano per piccole aperture, o intorno a piccoli ostacoli. Si ha un allargamento del fronte d onda, ben oltre la normale propagazione rettilinea. Le immagini non sono nette (come idealmente sarebbe per i raggi rettilinei) ma con zone di luce e di ombra. Vi è un massimo centrale di intensità luminosa, circondato da massimi e minimi secondari.

12 , Diffrazione da singola fenditura Un fronte d onda (raggio) luminoso incide su una fenditura di dimensione a. Ogni elemento della fenditura si comporta come una sorgente di onde luminose in fase tra loro (è il principio di Huygens, un principio fondamentale della propagazione per onde). Sullo schermo arriva quindi una sovrapposizione di onde provenienti da ogni punto della fenditura, e si ha interferenza. Effetto dell interferenza : Per θ = 0 (e L >> a) le onde percorrono praticamente la stessa distanza, quindi si ha interferenza costruttiva e il massimo di illuminazione I 0. Per θ > 0, l intensità diminuisce fino a zero. Per trovare la posizione di questo minimo, consideriamo la fenditura divisa in due parti uguali (a/). Ad ogni onda generata da punto nella metà inferiore corrisponde un onda generata da un punto della metà superiore (ad esempio le onde e 3); si ha interferenza distruttiva se la differenza di cammino ottico è mezza lunghezza d onda, da cui la condizione: λ a λ = sin( θ ) sin( θ ) = a Un altro minimo si trova in modo analogo λ a dividendo la fenditura in 4 parti, e così via = sin( θ ) 4 Condizione per i minimi di intensità sin( θ ) = m λ ; m = ±, ±, a I 0 Per angoli piccoli, sin(θ) θ, quindi la condizione approssimativa θ = m λ ; m = ±, ± a

13 La diffrazione limita le capacità degli strumenti ottici di distinguere ( risolvere ) immagini di oggetti tra loro vicini. Le immagini sono costruite facendo passare la luce attraverso lenti e/o aperture (esempio le immagini delle due sorgenti quasi puntiformi S e S, di separazione angolare θ ) per cui l immagine non è mai netta ma costituita da un massimo centrale allargato e sfuocato, con altri massimi secondari di contorno. Per decidere quando due immagini possono dirsi risolte, si usa la condizione: θ Criterio di Rayleigh Le immagini sono risolte quando il massimo centrale dell una coincide col primo minimo dell altra. Figure di diffrazione di due sorgenti puntiformi, per diverse separazioni angolari Per aperture rettangolari, il primo minimo si trova a θ min λ a (vedi la pag. precedente) che è quindi l angolo minimo con cui possiamo dire di osservare separati due oggetti (un esempio si osserva nella figura centrale). Per aperture circolari, il λ θ primo minimo si trova a min. a Si può aumentare la risoluzione delle immagini diminuendo la lunghezza d onda; questa è la ragione per cui si sono inventati il microscopio a raggi X, il microscopio elettronico etc. Sorgenti distanti, immagini ben risolte Sorgenti vicine, immagini appena risolte Sorgenti molto vicine, immagini non risolte

14 Reticolo di diffrazione Utile strumento per misurare la lunghezza d onda della luce, o per produrre fasci di luce monocromatica. E costituito da N fenditure (o N righe) sottili ed equispaziate, dell ordine di migliaia per cm. Effetti combinati di interferenza e diffrazione. La distanza d tra le fenditure determina l interferenza delle onde emesse: come prima, la posizione dei massimi è data da d sin( θ ) = m λ (m intero) La diffrazione dalla singola fenditura interferisce con quella delle altre fenditure, e determina un restringimento delle frange (più efficace più è grande N). Si ha una figura composta di massimi molto stretti ed equispaziati Se la sorgente emette diverse lunghezze d onda (es. luce bianca), ogni onda ha la sua figura di massimi, ed è possibile selezionare una luce monocromatica, di lunghezza d onda fissata a piacere, posizionando P sull angolo opportuno. Potere risolutivo del reticolo = capacità di risolvere tra due lunghezze d onda diverse Per definizione λ λmedia R = = λ λ λ Per il reticolo, in base al criterio di Rayleigh si trova Il potere risolutivo è maggiore più è grande il numero di righe, e per alto ordine dei massimi (grandi angoli). R = N m Intensità luminosa in funzione di sin(θ); m si dice ordine dei massimi di intensità

15 La natura della luce (e delle onde e.m.) Il modello ondulatorio per le onde e.m. (che deriva direttamente dall Eq. di Maxwell) descrive perfettamente tutti i fenomeni luminosi. Ma nuovi fenomeni osservati a livello atomico e subatomico, a partire dal 900, (emissione di corpo nero, interazioni con elettroni e con la materia etc.) mostrano che la luce può comportarsi anche come una particella. Oggi sappiamo che (almeno per i fenomeni su scala atomica) l energia luminosa non è continua (come immaginato nel modello ondulatorio classico), ma è distribuita in pacchetti detti quanti o fotoni ; si dice che l energia è quantizzata, e in particolare si ha che l energia di un fotone è proporzionale alla frequenza dell onda corrispondente secondo la legge (di Planck): Immagine (non realistica) della propagazione di onde e.m. in forma di quanti di luce, o fotoni E = h ν dove h = 6.66 x 0-34 J s è la costante di Planck, caratteristica della fisica dei fenomeni microscopici a livello atomico. L intensità della luce (densità di energia per velocità) può quindi essere interpretata come il numero di fotoni N che attraversano l unità di superficie e di tempo, moltiplicato per l energia hν del singolo fotone L aspetto corpuscolare della radiazione luminosa implica anche che, oltre all energia E, il fotone possiede la quantità di moto p data da (la seconda formula si ricava con la relazione fondamentale c = λ ν ) E p = = c Anche per i fotoni valgono sempre le leggi di conservazione dell Energia e conservazione della quantità di moto h λ E = hν I fotoni possono subire urti elastici o anelastici (leggi degli urti come per le particelle), scambiando energia e quantità di moto, e quindi con variazioni di frequenza e lunghezza d onda. Oppure possono essere assorbiti o emessi; in questo caso l energia e la quantità di moto vengono cedute (o prelevate) completamente al materiale.

16 Effetto fotoelettrico luce Quando la luce incide sulla superficie metallica A si ha emissione di elettroni, che possono raggiungere la placca B e determinare una corrente nel circuito. L energia cinetica dei fotoelettroni viene misurata rallentandoli per mezzo di una differenza di potenziale contraria: quando la corrente cade a zero, il potenziale (detto potenziale di arresto V 0 ) è uguale all energia cinetica massima degli elettroni emessi: K MAX = q e Le osservazioni sperimentali ci dicono che: ) Si ha emissione di elettroni solo se la frequenza della luce incidente è superiore a una frequenza di soglia (caratteristica del materiale); ) il numero degli elettroni emessi è proporzionale all intensità della luce; 3) l energia cinetica massima degli elettroni non dipende dall intensità ma solo dalla frequenza della luce (crescente con essa). V 0 A Elettroni (energia K MAX ) + B Differenza di potenziale variabile V 0 La teoria ondulatoria non è in grado di spiegare questi fatti, mentre trattando la luce come una corrente di fotoni, il fenomeno è spiegato come l assorbimento di un fotone da parte di un elettrone del metallo, con cessione di tutta l energia. Infatti si ha che: ) per estrarre un elettrone da un metallo è necessaria un energia minima φ (energia di estrazione o di ionizzazione). A questa corrisponde un fotone di frequenza minima ν 0 = φ / h, al di sotto della quale non è possibile estrarre l elettrone dal materiale, qualunque sia l intensità luminosa; ) il numero di elettroni emessi sarà proporzionale al numero dei fotoni incidenti, e quindi all intensità; 3) l energia cinetica massima si trova dal bilancio energetico: φ e quindi dipende dalla frequenza, e si ha energia cinetica maggiore per frequenze incidenti maggiori (vedi il grafico). K MAX = hν K MAX 0 ν 0 ν