La risposta numerica deve essere scritta nell apposito riquadro e giustificata accludendo i calcoli relativi.

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1 Corso di Laurea in Matematica Seconda prova in itinere di Fisica (Prof. E. Santovetti) 13 gennaio 016 Nome: La risposta numerica deve essere scritta nell apposito riquadro e giustificata accludendo i calcoli relativi. Problema 1. Si consideri una spira circolare di raggio a = 15.0 cm e resistenza = 1.5 Ω. La spira ruota intorno ad un asse passante per il suo centro con velocità angolare ω = 600 rad/s ed è immersa in un campo magnetico, uniforme e costante, B 0 = 1.0 T, perpendicolare all asse di rotazione della spira, come in Figura 1. Trascurando fenomeni di autoinduzione, calcolare (a) la massima corrente che circola nella spira e (b) la potenza media che si dissipa per effetto Joule. Valutare (ordine di grandezza) la f.e.m autoindotta rispetto a quella indotta dal campo esterno. Nel calcolo si assuma che il campo magnetico prodotto dalla corrente che circola nella spira sia uniforme all interno della spira e pari al suo valore al centro. i max [A] = 4.07 P med [W] = 104 r = Problema. Si consideri il semplice circuito di Figura, in cui una resistenza ed un induttore sono posti in serie ad un generatore di tensione alternata V (t) = V 0 cosωt, con V 0 = 48.0 V e ω = 400 rad/s. La massima differenza di potenziale che si misura ai capi della resistenza vale V = 8.0 V mentre l energia media immagazzinata nell induttore è pari a E L = 1.5 J. Si calcolino i valori (a) della resistenza e (b) dell induttanza. [Ω] = L [H] = Problema 3. Si supponga di camminare per 185 m verso un lampione e di osservare che l intensità della luce aumenti di un fattore 1.6. Calcolare (a) a quale distanza dal lampione ci trovavamo inizialmente. Se la potenza irraggiata dal lampione vale P = 3. kw, calcolare (b) l intensità della luce e (c) il massimo valore del campo elettrico, quando ci troviamo più vicini al lampione (si assuma che il lampione irraggi uniformemente in tutte le direzioni). D [m] = 883 I [W/m ] = E max [V/m] = 0.67 Problema 4. Si consideri un campo elettrico uniforme che passi dal valore di 36 kv/m a zero in 6 µs, secondo la legge oraria E(t) = (E 0 kt ) kv/m, con E 0 = 36 kv/m e k = 10 1 kv/m s (Figura 3). Calcolare la corrente di spostamento che passa in una area di 1. m, perpendicolare al campo elettrico, all istante t =.0 µs e (b) la stessa corrente di spostamento, mediata sull intero periodo (0 6) µs. In una certa regione dove il campo elettrico ha l andamento di Figura 3, si osserva che le linee del campo magnetico (prodotto da tale campo elettrico variabile) sono delle circonferenze, in cui il modulo è uniforme. Calcolare (c) il modulo di tale campo magnetico sulla circonferenza di raggio = 50.0 cm, all istante t = 5.0 µs. i s [A] = i s [A] = B [T] = Dati utili: ε 0 = F/m, µ 0 = 4π 10 7 H/m.

2 ω B 0 L Figura 1 Problema 1. Figura Problema. Figura 3 Problema 4.

3 Problema 1 Soluzione Il flusso del campo magnetico con la spira varia nel tempo e dunque, per la legge di Faraday-Neumamm Lenz, si produrrà una f.e.m. indotta. Il flusso del campo magnetico con la spira vale Φ(B 0 ) S = SB 0 cosθ = πa B 0 cosωt. Facendo la derivata rispetto al tempo otteniamo la f.e.m. e dividendo per la resistenza otteniamo la corrente che circola nella spira. f.e.m. = Φ(B 0) S La massima corrente vale dunque = πa B 0 ω sinωt i = f.e.m. = πa B 0 ω sin ωt (1) i max = πa B 0 ω = 4.07 A. La potenza media si calcola mediando la potenza istantanea su un periodo. P med = 1 T T 0 i = ω π π/ω 0 i maxsin ωt = (πa B 0 ω) = W. Calcoliamo ora la f.e.m. autoindotta. Per fare ciò dobbiamo dapprima calcolare il flusso del campo prodotto dalla corrente che circola nella spira con la spira stessa. Il calcolo esatto del campo prodotto da una spira circolare in un punto generico è complicato e per semplicità assumiamo il campo uniforme e pari al suo valore al centro della spira B = µ 0 i/a. Usando la corrente trovata nell eq. (1), l autoflusso sarà allora Φ(B) S = πa B = π µ 0ai = π µ 0 a 3 B 0 ω sinωt Facendo la derivata rispetto al tempo troviamo la f.e.m. autoindotta f.e.m. = Φ(B) S = π µ 0 a 3 B 0 ω cos ωt. Il rapporto tra le ampiezze delle due f.e.m. (autoindotta e quella indotta dal campo esterno) vale r = f.e.m. f.e.m. = π µ 0 a 3 B 0 ω 1 πa B 0 ω = πµ 0aω = Questo rapporto è inversamente proporzionale alla resistenza essendo il campo prodotto dalla corrente della spira, direttamente proporzionale alla pulsazione ω essendo la f.e.m. autoindotta ricavata dopo due derivazioni (la f.e.m. principale solo una). Questo giustifica l aver trascurato l autoinduzione all inizio. 3

4 Problema Per risolvere il circuito usiamo il metodo simbolico. Se la tensione del generatore vale V (t) = V 0 cosωt, la corrente del circuito vale I(t) = I 0 cos(ωt + ϕ), cioè la stessa funzione armonica con la stessa frequenza ma un certo sfasamento ϕ. Introduciamo le grandezze complesse associate alla tensione e alla corrente L impedenza totale del circuito vale V = V 0 e iωt I = I 0 e i(ωt+ϕ) Z = + iωl La grandezza complessa associata alla corrente sarà dunque I = V Z = V + iωl La tensione ai capi della resistenza vale I 0 = V 0 + ω L, ( ) ωl ϕ = tan 1. V = I = V + iωl V = V 0 + ω L () dove V è il modulo della grandezza complessa V associata alla tensione ai capi di. La tensione ai capi di è in fase con la corrente e dunque ha lo stesso sfasamento ϕ rispetto al generatore. Dobbiamo poi calcolare l energia media nell induttore. L energia istantanea di un induttore vale 1/Li L energia media è la media su un periodo che, essendo la corrente una grandezza sinusoidale e comparendo il quadrato della corrente, si riduce al valore massimo moltiplicato per 1/. Dunque possiamo scrivere E med = L T i V0 = L T 0 4( + ω L ) Le equazioni () e (3) rappresentano due equazioni nelle due incognite e L, che risolte danno L = (V 0 V ) 4ω = 1.56 mh = V V0 V = Ω E med 4ωE med (3) 4

5 Problema 3 L intensità di una sergente che emette in modo uniforme in tutte le direzioni è proporzionale a 1/r. Se r è la distanza dalla sorgente all inizio e r 1 = r d è la distanza alla fine, possiamo scrivere I 1 = k r1, I = k r I 1 = r r I r1 = (r d) = α dove α = 1.6 è il fattore di aumento dell intensità. L ultima è un equazione di secondo grado nell incognita r (α 1)r dαr + d α = 0 r = α ± α α 1 d = 883 m La soluzione con il segno meno va scartata poiché è minore della distanza d. L intensità della luce alla distanza r 1 = r d = 698 m è legata alla potenza essendo il flusso della potenza nell unità di superficie. Dunque scriveremo I 1 4πr1 = P I 1 = P 4πr1 = W/m Il campo elettrico è legato all intensità essendo quest ultima il valore medio del vettore di Poynting I 1 = E ε0 /µ 0 = E ε 0 c E = I1 = 0.67 V/m ε 0 c 5

6 Problema 4 Dall equazione di Ampere-Maxwell la corrente di spostamento è la derivata rispetto al tempo del flusso del campo elettrico (a parte la costante ε 0 µ 0 ). dφ(e) S i s = ε 0 = ε 0 S de = ε 0 Skt = A t= µs t= µs Nel calcolo cel flusso si è tenuto conto che camo e superfice sono perpendicolari e che il campo è uniforme. Il calcolo della corrente di spostamento media è analogo tranne che adesso dobbiamo fare una derivata mediata nel tempo che non è altro che il rapporto tra la variazione globale del campo diviso per l intervallo di tempo totale. i s = 1 t t 0 ε 0 dφ(e) S = ε 0 S E t = A Dal momento che sappiamo la direzione delle linee del campo magnetico, possiamo applicare la legge di Ampere- Maxwell in forma integrale la quale ci dice che la circuitazione del campo magnetico su una certa linea chiusa è pari, in assenza di correnti di conduzione, alla corrente di spostamento concatenata con il circuito, cioè alla derivata rispetto al tempo del flusso del campo elettrico concatenato. C B dl = ε 0 µ 0 dφ(e) S L integrale di linea è semplicemente il prodotto del campo magnetico per la lunghezza del circuito mentre nel fare il flusso anche in questo caso usiamo il fatto che la superficie è normale al campo elettrico. Bπ = ε 0 µ 0 π de = ε 0 µ 0 π kt B = ε 0 µ 0 kt = T 6