Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

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1 Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo a.a Testo di riferimento: Elementi di Fisica, Mazzoldi, Nigro, Voci Fisica 2, Giancoli 23 Aprile 2018, Bari

2 Dal programma o 1.0 CFU CAMPI ELETTRICI E MAGNETICI VARIABILI NEL TEMPO Legge di Faraday e induzione elettromagnetica. Origine del campo magnetico e della f.e.m. indotta. Applicazioni della legge di Faraday. Autoinduzione. Energia Magnetica. Mutua Induzione. Legge di Ampère-Maxwell. Equazioni di Maxwell (cenni). 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 2

3 Parentesi 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 3

4 Proprietà del campo magnetico o le linee di B sono sempre linee chiuse n anche per campi magnetici variabili nel tempo ed anche nella materia (non solo nel vuoto n corollario: il flusso di B attraverso una qualsiasi superfice chiusa è sempre nullo B d S = 0 In forma differenziale questa equazione diventà (teorema della divergenza) div B = 0 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 4

5 In analisi o teorema della divergenza e teorema del rotore (valgono per qualunque campo vettoriale F continuo) n divergenza: n rotore: " F d S = ( F)dV V S " F d l = ( F)d S S C 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 5

6 Legge di Faraday o legge fondamentale dell elettromagnetismo, insieme alla legge di Gauss ed alla legge di Ampere (che andrà riformulata) o Collega il campo elettrico al campo magnetico n campo magnetico che varia nel tempo produce un campo elettrico o anche nota come legge di Faraday-Lenz- Neumann n studiata inizialmente da diverse persone in ambiti (situazioni) diverse o La formula è unica e descrive diversi fenomeni 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 6

7 Legge di Faraday ε = dφ B dt ε = φ B = E d s circuitazione del campo elettrico su una linea chiusa (f.e.m.) S B d S flusso del campo magnetico su una superficie qualsiasi che si appoggi sulla linea chiusa 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 7

8 approfondimento o la forza elettromotrice ε = E d s " = teorema del rotore (vale per qualunque campo vettoriale continuo): S " E d s = ( E)d # S S C ( E) d S " = d dt " B d S " = B " S t d S " S E = " B t legge di Faraday in forma differenziale (infinitesima) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 8

9 approfondimento o proprietà che si può esprimere sia in forma integrale che in forma differenziale: n per il campo elettrostatico, la circuitazione è nulla (campo conservativo) " E d s = ( E)d # S = 0 S C E = 0 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 9

10 Legge di Faraday ε = dφ B dt o Consideriamo diversi casi per i quali vale la legge 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 10

11 Legge di Faraday ε = dφ B dt o Consideriamo diversi casi per i quali vale la legge 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 11

12 Legge di Faraday ε = dφ B dt o Consideriamo diversi casi per i quali vale la legge 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 12

13 Legge di Faraday ε = dφ B dt o Consideriamo diversi casi per i quali vale la legge 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 13

14 Legge di Faraday o Approfondiamo il significato del segno n contributo di Lenz ε = Ri = dφ B dt la corrente indotta produce un campo magnetico (indotto, B i ) che tende a compensare la variazione del campo magnetico B se così non fosse il campo continuerebbe ad aumentare 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 14

15 Problemi o domani con la dott.sa Lella 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 15

16 Problemi ed applicazioni 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 16

17 forza di Lorentz e forza indotta 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 17

18 forza di Lorentz e forza indotta r F=I NM x B = =B 2 b 2/ (r+r) v Potenza della forza esterna: P=F est v=b 2 b 2 v 2 /(r+r) = (r+r)i 2 La potenza della forza esterna si ritrova interamente sotto forma di potenza elettrica (effetto Joule) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 18

19 Flusso tra circuiti ed autoflusso o Consideriamo due circuiti chiusi in cui scorre corrente Il flusso del campo magnetico, dovuto al primo circuito, attraverso il secondo circuito φ 1,2 è proporzionale all intensità del campo magnetico prodotto dal primo circuito. Se B 1 raddoppia, anche φ 1,2 raddoppia. Il campo magnetico generato dal circuito 1 è proporzionale alla corrente I 1 che scorre nel circuito à φ 1,2 è proporzionale ad i 1 φ 2,1 = M 1,2 i 1 Analogamente: φ 1,2 = M 2,1 i 2 Si può dimostrare che M 1,2 =M 2,1 per dimostrarlo avremmo dovuto introdurre il potenziale vettore 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 19

20 Flusso tra circuiti ed autoflusso o Consideriamo due circuiti chiusi in cui scorre corrente φ 2,1 = Mi 1 φ 1,2 = Mi 2 M è il coefficente di mutua induzione La legge di Faraday diventa: ε 2 = d dt φ 2,1 = d dt Mi 1 = M di i dt ε 2 = M di i dt ed analogamente ε 1 = M di 2 dt 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 20

21 Autoflusso o consideriamo un solo circuito in cui varia la corrente nel tempo n varia il flusso del campo magnetico concatenato allo stesso circuito o si parla di autoflusso L autoflusso è proporzionale alla corrente che scorre nel circuito se raddoppia la corrente, raddoppia il campo B e raddoppia il flusso del campo φ = Li L è detta induttanza del circuito La legge di Faraday: ε = dli dt = L di dt 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 21

22 Induttanza e mutua induttanza φ = Li φ 2,1 = Mi 1 φ 1,2 = Mi 2 o Unità di misura di B: T (Tesla) n T= kg/(as 2 ) o unità di misura di φ: Wb (Weber) n Wb=T m 2 =kg m 2 /(As 2 ) o Unità di misura di L ed M: H (Henry) n H = Wb / A = T m 2 / A = kg m 2 /(A 2 s 2 ) o valore di µ 0 : 4π 10-7 H/m 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 22

23 Torniamo ai due circuiti o Vi è contemporaneamente il fenomeno della mutua induzione e dell autoinduzione φ 1 = L 1 i 1 + Mi 2 φ 2 = L 2 i 2 + Mi 1 Esempio di applicazione: trasformatore 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 23

24 Energia magnetica o In elettrostatica abbiamo visto che l energia elettrostatica può essere intesa come associata alle cariche elettrice: U e = 1 2 oppure al campo elettrico: i q i V i U e = 1 2 ε 0 E 2 o In maniera simile vediamo ora come l energia magnetica possa essere intesa associata alle correnti oppure al campo magnetico 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 24

25 Studiamo il circuito RL o Abbiamo un circuito fatto da un generatore di f.e.m. chiuso su un conduttore n in generale il conduttore avrà una resistenza (R) non nulla ed una induttanza (L) non nulla o al tempo t=0 chiudiamo l interruttore T V L equazione del circuito diventa: V L di dt = Ri soluzione: i(t)=i 0 (1-e t/τ ) dove τ = L/R ; i 0 = V/R 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 25

26 consideriamo ora l apertura del circuito o all apertura del circuito ci sarà sempre una resistenza finita t=0 è ora l istante in cui l interruttore viene portato nella posizione che esclude il generatore V Equazione del circuito: L di dt = Ri Soluzione dell equazione differenziale: i = i 0 e t/τ τ = L/R 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 26

27 Consideriamo il bilancio energetico del circuito o potenza spesa dalla batteria: P(t) = V i(t) n a t=0 à i=0 à P(t=0)=0 n per t >> τ: P(t)=Vi 0 =Ri 0 2 (tutta la potenza è dissipata per effetto Joule) V V L di dt = Ri Vi(t) = L di dt i(t)+ Ri(t)2 P batteria (t) = d dt ( 1 2 Li(t)2 )+ P Joule (t) U L = 1 2 Li(t)2 è l energia associata alla corrente nell induttanza 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 27

28 Consideriamo il bilancio energetico del circuito P batteria (t) = d dt ( 1 2 Li(t)2 )+ P Joule (t) U L = 1 2 Li(t)2 l energia associata alla orrente nell induttanza Integriamo primo e secondo membro tra t=0 ed il generico istante t : t' 0 P batteria (t) lavoro compiuto dalla batteria nel far circolare la carica t' 0 P Joule (t) Energia dissipata (in calore) per effetto Joule sulla resitenza Una parte del lavoro compiuto dalla batteria non è stata spesa per effetto Joule, ma si ritrova nel termine U L 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 28

29 Consideriamo il bilancio energetico del circuito Vediamo ora cosa accade quando stacchiamo la batteria: L di dt = Ri i = i 0 e t/τ La corrente non va subito a zero. Continua a scorrere nella resistenza. Sulla resistenza si continua a spendere energia per effetto Joule. L induttanza restituisce l energia inizialmente imaggazzinata: L di dt i = Ri2 Energia spesa per effetto Joule vale: d dt ( 1 2 Li(t)2 ) = P Joule (t) du L dt P Joule (t) = P Joule (t) du L dt = du o o L =U L (0) U L ( ) =U L (0) = 1 2 dt Li 0 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 29 0 ed è pari all energia persa dall induttanza: 2

30 Induttanza del solenoide rettilineo o B=µ 0 ni ε = dφ B dt ε = L di dt db = S tot dt = hns spiraµ 0 n di dt Per un tratto lungo h, l induttanza vale dunque: L = µ 0 hn 2 S spira L induttanza per unità di lunghezza vale: L h = µ 0 n 2 S spira Esercizio per casa: calcolare l induttanza di un solenoide toroidale 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 30

31 Energia associata al campo B o Solenoide percorso da corrente I o Sappiamo che l energia associata alla corrente vale: U L = 1 2 Li(t)2 h h Consideriamo un tratto finito di lunghezza h: L = µ 0 hn 2 S spira U L = 1 2 µ 0hn 2 S spira i 2 = hs spira 1 2µ 0 µ 2 0n 2 i 2 = hs spira 1 2µ 0 B 2 U B = hs spira 1 2µ 0 B 2, u B = 1 2µ 0 B 2 u B è la densità volumetrica di energia associata al campo magnetico B 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 31

32 Legge di Ampere-Maxwell o La legge di Ampere vale solo per correnti stazionarie B d s " = µ 0 i concat o Maxwell aggiunge un termine alla legge di Ampere per rendere le equazioni fondamentali dei campi E e B simmetriche n con tale termine E e B diventano un unica entità: il campo elettromagnetico n le equazioni di Maxwell prevedono le onde elettromagnetiche o scoperte da Hertz 30 anni dopo la predizione di Maxwell 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 32

33 Legge di Ampere-Maxwell B d l dφ = µ 0 i + µ 0 ε E 0 dt φ E = E d S S o Il termine ε 0 dφ E /dt è detto corrente di spostamento 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 33

34 Corrente i e corrente di spostamento o Consideriamo il processo di carica di un condensatore (carica di un circuito RC descritto nelle ultime slide) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 34

35 Corrente i e corrente di spostamento " B d s = µ i 0 concat o Se applichiamo il teorema di Ampere in queste condizioni non vi è nessuna difficoltà: la corrente concatenata è sempre la stessa 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 35

36 Corrente i e corrente di spostamento " B d s = µ i 0 concat o Se applichiamo il teorema di Ampere in il primo membro è sempre lo stesso, mentre la corrente concatenata varia se prendo Σ 1 (i 0) oppure Σ 2 (i=0) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 36

37 Corrente i e corrente di spostamento q=cv=(ε 0 A/d) (Ed)=ε 0 A E dq/dt= ε 0 A de/dt i=dq/dt = ε 0 A de/dt = ε 0 dφ E /dt i S =ε 0 dφ E /dt B d l = µ 0 (i +ε 0 dφ E dt ) = µ 0(i + i S ) o Aggiungendo il termine i S, l equazione di Ampere continua a valere anche in queste condizioni 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 37

38 Il campo elettro-magnetico 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 38

39 Il campo elettro-magnetico 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 39

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41 Equazioni di Maxwell o 4 equazioni che si possono esprimere in forma integrale o differenziale n le scriviamo solo nel vuoto, usando i campi E e B o vi sono quelle più generali, che valgono ovunque, e sono simili alle precedenti, ma si introducono i campi D ed H B d S = 0 Non esiste la carica magentica. (linee di B sono chiuse) E d l = d dt S B d S Legge di Faraday E d S = q Legge di Gauss ε 0 B d l " = µ 0 i + µ 0 ε 0 dφ E dt Legge di Ampere- Maxwell 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 41

42 Equazioni di Maxwell o 4 equazioni che si possono esprimere in forma integrale o differenziale n le scriviamo solo nel vuoto, usando i campi E e B o vi sono quelle più generali, che valgono ovunque, e sono simili alle precedenti, ma si introducono i campi D ed H B = 0 E = ρ ε 0 Non esiste la carica magentica. (linee di B sono chiuse) Legge di Gauss E = B t B = µ0 j + µ0 ε 0 E t Legge di Faraday Legge di Ampere- Maxwell La velocità della luce nel vuoto vale c=1/ (µ 0 ε 0 ) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 42

43 Approfondimento o Circuito RC: carica del condensatore ε = q(t) / C + Ri(t) ε = q(t) / C + R dq(t) dt ε Soluzione: q(t)=q 0 (1-e- t/τ ), τ=rc dove q 0 =εc à i(t)=i 0 e- t/τ ; i 0 =ε/r 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 43

44 Approfondimento o Circuito RC: scarica del condensatore V C (t)+v R (t) = 0 q(t) / C R dq(t) dt = 0 Soluzione: q(t)=q 0 e- t/τ, τ=rc dove q 0 =V 0 C à i(t)=-dq(t)/dt=i 0 e- t/τ ; i 0 =V 0 /R 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 44