Conduttori e dielettrici

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1 Conduttori e dielettrici a.a Testo di riferimento: Elementi di Fisica, Mazzoldi, Nigro, Voci 23 Aprile 2018, Bari

2 Dal programma o 2.0 CFU Conduttori e Dielettrici Corpi conduttori in equilibrio elettrostatico. Conduttore cavo e schermo elettrostatico. Capacità conduttori isolati. Induzione completa fra 2 conduttori: condensatori. Sistemi di condensatori in serie e parallelo. Energia del campo elettrostatico. Dielettrici. Costante dielettrica. Polarizzazione. Equazioni generali dell elettrostatica in presenza di dielettrici. Corrente elettrica: Conduzione elettrica. Corrente elettrica e corrente elettrica stazionaria. Densità di corrente j. Legge di Ohm e concetto di resistenza elettrica. Potenza elettrica ed effetto Joule. Modello classico della conduzione elettrica. Forze elettromotrici. Sistemi di resistori in serie e parallelo. Corrente di Spostamento. Cenno sulle leggi di Kirchhoff per le reti elettriche. 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 2

3 Conduttori o Un conduttore presenta al suo interno carica libera di muoversi o Il corpo conduttore può essere elettricamente neutro n carica netta nulla n ma ugualmente al suo interno vi sono cariche (positive e negative) libere di muoversi o il corpo conduttore può presentare un eccesso di carica positiva o negativa n es. processo di carica per induzione già visto nella prima lezione 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 3

4 Conduttori all equilibrio o Consideriamo corpi all equilibrio elettrostatico. o È facile provare le seguenti proprietà: n all interno di un corpo conduttore il campo elettrico è nullo: E=0 o corollario: tutti i punti del conduttore sono allo stesso potenziale n all interno del conduttore non vi è carica in eccesso (ρ=0) n carica in eccesso può trovarsi solo sulla superfice esterna del conduttore n il campo elettrico è perpendicolare alla superfice del conduttore n l intensità del campo elettrico sulla suerficie vale E=σ/ε 0 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 4

5 Campo elettrico di un conduttore all equilibrio 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 5

6 Campo elettrico di un conduttore all equilibrio 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 6

7 Esempio 4.1 o due sfere conduttrici poste a grande distanza ma collegate tra loro n determinare come si ripartisce la carica in eccesso 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 7

8 Conduttore cavo o Nella superfice interna della cavità non vi è carica n dal teorema di Gauss o ne vi può essere un eccesso da una parte della superficie interna ed un difetto dall altra n circuitazione di E è nulla à E= 0 all interno 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 8

9 Conduttore cavo o Anche all interno della cavità il potenziale è lo stesso di quello che si ha nell interno del corpo conduttore n Il conduttore può essere ad un potenziale di 10 V o 10 5 V rispetto al potenziale di terra, ma la differenza di potenziale tra due punti interni (anche nella cavità) resta nulla 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 9

10 Conduttore cavo con all interno un conduttore carico o Sulla superficie interna del conduttore cavo si presenta una carica uguale ed opposta a quella del conduttore interno n sulla superficie esterna del conduttore cavo si presenta la stessa carica del conduttore interno o fenomeno dell induzione elettrostatica completa o Il conduttore cavo costituisce uno schermo elettrostatico perfetto tra spazio interno e spazio esterno 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 10

11 Verifica dello schermaggio Lo schermaggio avviene anche rispetto all esterno 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 11

12 Condensatori o Condensatore: un sistema di conduttori tra cui vi è induzione completa o Es. Condensatore sferico All interno della cavità: E(r) = V int V est = C = q ΔV = 4πε 0 q 1 1 4πε 0 R int R int R est R est R int R est 1 4πε 0 r 2 C = q ΔV Capacità del condensatore [C]=C/V=F (Farad) La capacità dipende solo dalle proprietà geometriche del condensatore 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 12

13 Capacità dei condensatori o Condensatore sferico: C = 4πε 0 R int R est R est R int se facciamo tendere R est all infinito: C = 4πε 0 R int che può essere intesa come la capicità di una sfera isolata (le linee di E si chiudono all infinito) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 13

14 Capacità dei condensatori o Condensatore piano: n si può ricavare direttamente n ma anche come caso limite del condensatore sferico: o d=r est -R int << R int R est = R C = 4πε 0 R int R est R est R int C = 4πε 0 R 2 d = ε 0 A d A è la superficie del condensatore piano d è la distanza tra le armature 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 14

15 Capacità dei condensatori o Condensatore cilindrico (es. 4.3) λ E(r) = u r 2πε 0 r λ = q d V 1 V 2 = R E(r) d r 2 = λ R 1 2πε 0 R 2 dr = λ ln R 2 R 1 r 2πε 0 R 1 C = q ΔV = q = 2πε d 0 V 1 V 2 ln R 2 capacità per unità di lunghezza: R 1 C d = C d = 2πε 0 ln R 2 R 1 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 15

16 Condensatore piano o nella notazione usata sul Mazzoldi E = σ ε 0 ux V 1 V 2 = Eh = σ ε 0 h = σσ ε 0 Σ h = q ε 0 Σ h C = q / (V 1 V 2 ) C = ε 0 Σ h 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 16

17 Condensatori reali o sono di dimensione finita n difficile da realizzare quello sferico n spesso cilindrico o piano o vi sono effetti di bordo 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 17

18 Condensatori in parallelo q 1 =C 1 V q 2 =C 2 V q=q 1 +q 2 =(C 1 +C 2 )V C eq =C 1 +C 2 Se ho n condensatori: C eq =C 1 +C 2 +.+C n 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 18

19 Condensatori in serie V C V B = q C 1 V B V A = q C 2 ΔV = V C V A = q + q = q = q C 1 C 2 C 1 C 2 1 C eq = 1 C C 2 C eq = C 1C 2 C 1 + C 2 C eq Se ho n condensatori: 1/C eq =1/C 1 +1/C /C n 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 19

20 Energia del campo elettrostatico o Consideriamo il processo di carica del condensatore. Durante la carica, quando ancora la diff. di potenziale non ha raggiunto il valore finale V, ma è V, il lavoro necessario per portare l ulteriore carica dq è dw=v dq =q /C dq Il lavoro complessivo per effettuare la separazione di cariche è: W = dw = 0 q q' C dq' = q2 Lavoro effettuato contro la forza elettrostatica che si oppone ad un ulteriore accumulo di carica 2C U e = 1 2 q 2 C = 1 2 CV 2 = 1 2 qv 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 20

21 Energia del campo elettrostatico o L energia accumulata può essere pensata come dovuta alle cariche elettriche o ma può anche essere intesa come associata alla presenza del campo elettrico (elettrostatico in tal caso) U e = 1 2 CV 2 = 1 2 ε 0 Σ h E 2 h 2 = 1 2 ε 0 E 2 Σh = 1 2 ε 0 E 2 τ densità di energia elettrostatica: u e = U e τ = 1 2 ε 0 E 2 [u e ]=J/m 3 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 21

22 Energia del campo elettrostatico densità di energia associata al campo elettrico: u e = U e τ = 1 2 ε 0 E 2 [u e ]=J/m 3 In un volume finito: U e = du e = dτ = dxdydz 1 2 ε 0E 2 dτ 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 22

23 Pressione elettrostatica o Esempio /01/18 Giuseppe E. Bruno 23

24 Dielettrici o isolanti o costante dielettrica o costante dielettrica relativa o suscettività dielettrica o polarizzazione dei dielettrici 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 24

25 o Introduciamo prima una lastra conduttrice all interno di un condensatore n la d.d.p. diminuisce V=E 0 (h-s) < V 0 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 25

26 o Anche quando introduciamo un materiale isolante (dielettrico), la d.d.p. diminuisce n l effetto è minore rispetto al caso del conduttore o il campo all interno del dielettrico diminuisce, ma non si annulla completamente (come nel conduttore) o all aumentare dello spessore della lastra diminuisce linearmente la d.d.p. o V min =V k quando il condensatore è interamente riempito Costante dielettrica relativa: k=v 0 /V k Costante dielettrica: ε=kε 0 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 26

27 Condensatore riempito di dielettrico Il campo elettrico si riduce in presenza di un dielettrico k=v 0 /V k >1 costante dielettrica relativa costante dielettrica assoluta ε=kε 0 E K =V k /h=v o /kh=e 0 /k=σ 0 /kε 0 χ=k-1 Suscettività elettrica E 0 -E K = =χ/1+χ E 0 E k = σ 0 ε 0 σ p = k 1 k σ 0 k 1 σ 0 = σ 0 k ε 0 ε 0 σ p ε 0 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 27

28 Capacità di condensatore o Capacità di condensatore n C=kC 0 n Condensatore piano: C=εΣ/h o Energia e densità di energia elettrostatica U e = q2 2C = 1 2 εe 2 Σh = 1 2 εe 2 τ u e = U e τ = 1 2 εe 2 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 28

29 Polarizzazione polarizzazione di un atomo: p a = Zex Alcune molecole hanno una polarizzazione naturale (es. acqua) 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 29

30 polarizzazione Vettore polarizzazione: P = p τ = N τ < p >= n < p > [P]=C/m 2 dove: τ piccolo volume nell intorno di un punto O N= numero diatomi (o molecole) contenute nel volume τ p = N<p> momento di dipolo risultante E e P sono paralleli 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 30

31 Polarizzazione o Si può dimostrare che: n in moltissimi materiali, la polarizzazione è proporzionale ad E P = ε 0 (k 1) E = ε 0 χ E n con un campo E esterno uniforme, all interno del dielettrico, la densità volumetrica di carica dovuta alla polarizzazione è nulla: ρ p =0 n con un campo elettrico non uniforme, si ha una densità volumetrica di carica, dovuta alla polarizzazione, non nulla: ρ p =-divp n Sulla superfice del dielettrico la densità superficiale di carica di polarizz. vale σ p = P u n 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 31

32 Vettore induzione dielettrica o In presenza di un dielettrico, se vi sono le cariche di polarizzazione, l applicazione del teorema di Gauss non è più ovvio n bisogna considerare anche le cariche di polarizzazione o Si vuole definire un nuovo vettore D (al posto del vettore campo elettrico E) per il quale continui a valere la legge di Gauss n a secondo membro della legge di Gauss, per la carica contenuta nella superfice chiusa considerata, voglio dover considerare le sole cariche vere o per maggiore comodità inglobo nel nuovo vettore anche la costante dielettrica Il risultato sarà: S D ds u n = q vere tot,in 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 32

33 Vettore induzione dielettrica o Consideriamo il caso semplice di un dielettrico contenuto in un condensatore piano, ed applichiamo la legge di Gauss ad una superfice chiusa (parallelepipedo) che contenga cariche vere e cariche di polarizzazione E ds u n ( ) " = 1 q vere pol S in + q in ε 0 ε 0 E ds un " = q vere + q pol S σ p = P u n q pol = Σσ P = Σ P u n = P Σ u n = ΣP " P ds u S n = ΣP q pol = P ds u n " S 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 33

34 ε 0 Vettore induzione dielettrica E ds un " = q vere + q pol q pol = S " ε 0 E ds un = q vere S " ε 0 E ds un + S " S P ds u n P ds u n " = q vere S " ε 0 E ds un + P ds u S n = q vere ( ε 0 E + P ) ds u n " = q vere S " S P ds u n D = ε 0 E + P D ds un " = q vere S 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 34

35 Vettore induzione dielettrica D = ε 0 E + P D ds un " = q vere S D è detto vettore induzione dielettrica soddisfa la legge di Gauss, in presenza di dielettrici, considerando le sole cariche vare Per i dielettrici lineari: P = ε 0 (k 1) E = ε 0 χ E D = ε 0 E +ε0 (k 1) E = ε 0 k E = ε E D = ε E 31/01/18 Giuseppe E. Bruno 35