Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Sfera di dielettrico polarizzata Carica puntiforme e semispazio dielettrico Energia elettrostatica Anno Accademico 2018/2019

2 Sfera di dielettrico in campo uniforme Consideriamo una sfera di dielettrico posta in un campo elettrico uniforme È un problema analogo a quello della sfera conduttrice in campo uniforme che abbiamo affrontato in precedenza (vedi diapositiva ) Utilizziamo il metodo della separazione delle variabili in coordinate sferiche C'è simmetria azimutale (V indipendente da φ) Qualitativamente possiamo dire che il campo elettrico polarizza il dielettrico Sulla superficie della sfera compare una carica superficiale Il campo uniforme è distorto Il campo rimane uniforme all'infinito All'interno della sfera il campo elettrico è dato dalla somma del campo esterno e del campo generato dalle cariche di polarizzazione z x y Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 321

3 Sfera di dielettrico in campo uniforme Esprimiamo il potenziale all'esterno e all'interno utilizzando la formula utilizzata per il problema della sfera conduttrice La seconda formula è necessaria perché adesso stiamo risolvendo il problema elettrostatico in due regioni con permittività diverse (ε sfera - ε 0 vuoto) Le condizioni al contorno sono All'infinito campo uniforme Potenziale continuo sulla sfera Discontinuità della componente normale Assumendo come nel caso della sfera conduttrice V 0 = 0, la prima condizione permette di porre a zero tutti gli A l escluso A 1 = E 0 ( P 1 (cosθ) = cosθ ) Inoltre, poiché al centro della sfera il potenziale deve essere finito si ha che per tutti gli l deve essere D l = 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 322

4 Sfera di dielettrico in campo uniforme La condizione di continuità diventa L'uguaglianza implica che per ogni l devono essere uguali i coefficienti dei corrispondenti polinomi di Legendre P l (P 1 = cosθ) Per l = 1 Per l 1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 323

5 Sfera di dielettrico in campo uniforme Veniamo adesso alla condizione di discontinuità Ricordiamo che sulla sfera / n = / r Ancora una volta uguagliamo i coefficienti dei polinomi di Legendre dello stesso ordine l Per l = 1 Per l 1 Confrontiamo con la precedente equazione per l 1 Concludiamo che Per l = 0 B 0 = 0 e C 0 = 0 Per l 0,1 le due relazioni per B l implicano che Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 324

6 Sfera di dielettrico in campo uniforme Esaminiamo infine le due equazioni trovate per l = 1 Eliminiamo C 1 inserendo la prima equazione nella seconda Per finire inseriamo il valore trovato per B 1 nell'equazione di C 1 Abbiamo trovato il potenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 325

7 Sfera di dielettrico in campo uniforme Calcoliamo le componenti del campo elettrico All'interno All'esterno Campo uniforme Campo uniforme Polarizzazione uniforme Sulla superficie della sfera Campo dipolo Componente tangenziale continua Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 326

8 Carica e dielettrico Consideriamo un materiale dielettrico lineare (di costante κ) che riempie tutto lo spazio per z < 0 Consideriamo una carica positiva +q posta ad una altezza h Calcoliamo potenziale e campo elettrico in tutto lo spazio Il problema può essere risolto considerando Una soluzione particolare dell'equazione Poisson Il potenziale di una carica puntiforme posta in Una soluzione dell'equazione di Laplace che consenta di soddisfare le condizioni al contorno Potenziale che si annulla all'infinito Potenziale continuo sul piano z = 0 Discontinuità delle derivate normali Risolviamo questo problema con una generalizzazione del metodo delle immagini Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 327

9 Carica e dielettrico Descriviamo qualitativamente cosa succede La carica +q genera un campo che polarizza il dielettrico Il dielettrico è lineare: P = 0 non ci sono cariche di volume Compare una carica superficiale di polarizzazione sul piano di separazione dielettrico - vuoto Il campo elettrico in tutto lo spazio è la somma di due campi elettrici Il campo E generato dalla densità di carica superficiale Il campo E generato dalla carica puntiforme È il problema equivalente nel vuoto del problema iniziale La densità di carica superficiale è determinata dalla polarizzazione ed è da calcolare Dato che il dielettrico è lineare Per effetto della polarizzazione compare una densità superficiale di carica La densità di carica superficiale ha una simmetria azimutale È determinata dalla componente normale del vettore P Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 328

10 Carica e dielettrico Il campo elettrico E z che compare è il campo totale La componente normale del campo elettrico E z (x,y) dovuto alla densità superficiale di carica σ p (x,y) è Per convincerci della correttezza di questa espressione osserviamo che La carica superficiale è equivalente all'effetto del dielettrico Il campo elettrico generato dalla densità superficiale di carica ha la seguente simmetria Infine, come per tutti i campi elettrici, sappiamo che la componente normale ha una discontinuità attraverso lo strato di carica Possiamo pertanto concludere che Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 329

11 Carica e dielettrico La componente del campo elettrico E z (x,y) dovuta alla carica elettrica +q è Abbiamo pertanto Possiamo determinare la densità di carica superficiale σ P Osserviamo che, a meno del fattore dipendente dalla costante dielettrica, è la stessa densità di carica trovata nella diapositiva Piano conduttore infinito e carica puntiforme con il metodo della carica immagine Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 330

12 Carica e dielettrico Nel caso della carica puntiforme e piano conduttore avevamo trovato La carica superficiale di polarizzazione è pertanto Il potenziale del campo elettrico è Tuttavia esiste un metodo più' semplice che calcolare l'integrale L'effetto dell'integrale era stato equivalente a porre una carica immagine q P < 0 nella posizione h Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 331

13 Carica e dielettrico Quindi il potenziale nel semispazio z > 0 è A differenza del problema della carica e il piano conduttore il campo nel semispazio z < 0 non è nullo C'è il campo della carica +q posto a r + C'è anche il campo dovuto alla carica di polarizzazione q P Questa volta calcolato nel semispazio z < 0 Equivalente ad una carica q P posta nel punto r + Quindi il potenziale nel semispazio z < 0 è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 332

14 Carica e dielettrico Riepilogando Il potenziale φ(r) soddisfa l'equazione di Poisson Il termine dovuto a q per z > 0 soddisfa l'equazione di Poisson Gli altri tre termini sono soluzioni dell'equazione di Laplace nei rispettivi domini Il potenziale è continuo per z = 0 Il potenziale va a zero all'infinito Verifichiamo l'ultima condizione sulle derivate normali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 333

15 Carica e dielettrico Calcoliamo le derivate normali Ovviamente Iniziamo con z > 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 334

16 Carica e dielettrico Adesso il caso z < 0 E naturalmente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 335

17 Carica e dielettrico Naturalmente le due derivate calcolate sono anche, a meno del segno, la componente z del campo elettrico all'interfaccia La componente parallela è continua Calcoliamo ad esempio E x Calcoliamo l'angolo che E fa con l'asse z, ad esempio nel piano y = 0 Nel vuoto Nel dielettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 336

18 Carica e dielettrico Per finire calcoliamo la forza che agisce sulla carica La carica di polarizzazione è negativa È equivalente ad una carica negativa q P posta a distanza h La forza è attrattiva La forza è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 337

19 Energia elettrostatica Riprendiamo il problema del condensatore con dielettrico fra le armature (vedi diapositiva ) Ricordiamo che a parità di differenza di potenziale V il campo elettrico è sempre E = V/s Inoltre la carica nella regione delle armature è Q 0 che è la somma algebrica Della carica Q sulle armature (Q = κ Q 0 ) Della carica di polarizzazione Q pol = (κ 1)Q 0 L'energia del condensatore è Rispetto al caso senza dielettrico l'energia è cresciuta È cresciuta la capacità di un fattore κ D'altro canto abbiamo visto che l'energia può essere espressa come energia del campo elettrico Quale delle due espressioni è corretta? Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 338

20 Energia elettrostatica La soluzione della contraddizione sta nel fatto che le due energie rappresentano cose differenti L'energia del campo elettrico rappresenta l'energia immagazzinata in un sistema di cariche (vedi ) L'energia necessaria per "costruire" la disposizione delle cariche (sia libere che di polarizzazione) L'energia del condensatore rappresenta invece il lavoro che è stato fatto Per caricare i condensatore con una carica Q Per polarizzare il dielettrico e fare in modo che fornisca una carica Q pol Per polarizzare il dielettrico è necessario fare un lavoro Il lavoro necessario per deformare gli atomi o le molecole Il lavoro necessario per allineare i dipoli Troviamo adesso un sistema per esprimere il secondo lavoro con una formula analoga a quella dell'energia del campo elettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 339

21 Energia elettrostatica Definiamo esattamente cosa vogliamo fare Consideriamo lo stato finale che vogliamo ottenere Un sistema di cariche libere descritto da una densità di carica ρ f Un dielettrico (lineare) polarizzato Per costruire questo sistema Iniziamo da un sistema scarico: ρ f = 0 Trasportiamo una carica dρ f infinitesima dall'infinito nel nostro sistema Disponiamo la carica in modo che in ogni parte del sistema la densità di carica sia una frazione α di quella finale Per un dato valore di α la densità di carica libera è una frazione di quella finale Anche il potenziale elettrico φ k (r) = αφ(r) sarà una frazione di quello finale Anche le cariche di polarizzazione saranno una frazione α di quelle finali Anche i campi P e D saranno una frazione α di quelli finali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 340

22 Energia elettrostatica Il lavoro dw fatto per trasportare la carica dρ f è Sottolineiamo che il potenziale φ α (r) è generato anche dal dielettrico Il lavoro dw è diverso da quello che si avrebbe senza il dielettrico Il lavoro dw contiene anche il lavoro necessario per polarizzare il dielettrico Elaborando Sottolineiamo ancora una volta la differenza con la trattazione della diapositiva In quel caso nella formula era presente TUTTA la carica ρ (sia libera che di polarizzazione) L'energia trovata era quella del sistema di cariche ρ f + ρ pol e non includeva il lavoro fatto per polarizzare il materiale Nel caso del condensatore con dielettrico sarebbe l'energia dei due strati di carica ± [κσ 0 (κ 1)σ 0 ] = ± σ 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 341

23 Energia elettrostatica Elaboriamo adesso la formula trovata per metterla in funzione del campo elettrico E e dello spostamento elettrico D Ricordiamo innanzitutto la legge di Gauss per il campo D Introduciamo nell'integrale Ricordiamo che Otteniamo Il primo integrale Pertanto Per campi che si annullano velocemente all'infinito Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 342

24 Energia elettrostatica La formula che abbiamo ricavato vale per dielettrici lineari Per un dielettrico lineare si ha D = εe = κ ε 0 E W 0 è il lavoro fatto in assenza di dielettrico Pensiamo all'esempio iniziale del condensatore con dielettrico Riepilogando Rappresenta l'energia associata ad un campo elettrico E generato da un sistema di cariche ρ = ρ f + ρ pol Non include il lavoro che è stato fatto per polarizzare il dielettrico Per includere anche il lavoro che è stato necessario per polarizzare il dielettrico si calcola Include l'energia del campo elettrico E generato da ρ = ρ f + ρ pol Include il lavoro fatto per polarizzare il dielettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 343