Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Campo "Spostamento elettrico" Legge di Gauss nel dielettrico Soluzione dell'equazione di Laplace in presenza di dielettrici Anno Accademico 2017/2018

2 La legge di Gauss nella materia Tenere conto della carica di polarizzazione non è semplice In laboratorio si controllano le cariche o i potenziali sui conduttori, non la carica di polarizzazione Sarebbe utile una relazione che utilizzasse solo le cariche libere Q free = q 1 +q 2 Scriviamo la legge di Gauss in forma integrale tenendo conto di tutte le cariche presenti La carica di polarizzazione Q pol è quella presente nel volume e sulle superfici S 1 e S 2 Notiamo che la superficie S è una superficie matematica Non è una discontinuità nel dielettrico Non c'è una carica superficiale su di essa Calcoliamo Q pol Il volume V è quello delimitato da S, S 1, S 2 Usiamo il teorema della divergenza per trasformare l'integrale di volume Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 300

3 La legge di Gauss nella materia Riepiloghiamo Inseriamo l'espressione di Q pol nella legge di Gauss Definiamo il campo vettoriale D, chiamato induzione elettrica Chiamato anche "spostamento elettrico" Introducendo nell'equazione otteniamo in forma differenziale Vediamo che per il campo D vale una versione della legge di Gauss che stabilisce una relazione con le sole cariche libere Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 301

4 La carica di un dielettrico Osservazione Le cariche che compaiono in un dielettrico polarizzato dipendono dalle deformazioni degli atomi e dall'orientamento dei dipoli molecolari Le cariche fanno piccoli spostamenti (dell'ordine delle dimensioni atomiche) Il dielettrico si polarizza ma la sua carica totale è nulla Nel calcolo precedente abbiamo trovato La superficie S è una superficie matematica La carica Q pol è diversa da zero perché non stiamo considerando la superficie esterna del dielettrico Se consideriamo tutte le superfici del corpo (S e ) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 302

5 Lo spostamento elettrico D Il campo D può risultare utile in talune circostanze ma non aggiunge un reale contenuto fisico nuovo Può indurre in semplificazioni errate Il fatto che soddisfi una legge di Gauss che utilizza solo le cariche libere potrebbe fare pensare che si possa costruire un'elettrostatica solo con D Non esiste una legge di Coulomb per D FALSO!! La ragione importante è che il campo D in generale non è conservativo D non si può scrivere in funzione di un potenziale La legge di Coulomb aveva entrambe le proprietà Il motivo è ovvio Consideriamo la circuitazione di P come nella figura Dielettrico uniformemente polarizzato Traiettoria chiusa parallela alla polarizzazione Dielettrico Vuoto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 303

6 Lo spostamento elettrico D In casi particolari risulta semplice calcolare il campo D Succede quando il problema ha evidenti simmetrie che possono condurre alla soluzione come abbiamo visto con la legge di Gauss per E Nel caso generale bisogna avere una relazione fra D e il campo elettrico E Una relazione che deriva dall'esperimento o da un modello della materia Come nel caso della densità di polarizzazione Per un dielettrico lineare Per l'induzione elettrica si ottiene Abbiamo definito un'ennesima costante: la permettività del materiale Ha le stesse dimensioni di ε 0 Avere trovato questa relazione per i dielettrici lineari potrebbe fare pensare che almeno per questi si possa avere la circuitazione nulla FALSO!! La costante ε è discontinua quando si attraversa un'interfaccia In generale non si può portare fuori dall'integrale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 304

7 Problema elettrostatico con i dielettrici Consideriamo un sistema composto da più dielettrici lineari In ogni dielettrico vale la relazione Naturalmente vale sempre Il campo elettrico è E sempre derivabile da un potenziale Possiamo utilizzare i metodi sviluppati per il calcolo del potenziale separatamente in ogni regione di dielettrico Con le opportune condizioni al contorno sulle superfici che delimitano i dielettrici sulle quali compaiono le densità superficiali di cariche In particolare, nelle regioni in cui ρ f = 0 il potenziale obbedisce all'equazione di Laplace Notiamo che se all'interno di un dielettrico lineare non è presente una densità di carica libera (ρ f = 0) anche la densità di carica di polarizzazione sarà nulla (ρ b = 0) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 305

8 Condizioni al contorno Abbiamo visto che sulla superficie di un dielettrico compaiono densità superficiali di cariche di polarizzazione Sappiamo che il campo elettrico ha delle discontinuità quando incontra strati di carica superficiale Analizziamo le discontinuità per i campi D, E Abbiamo visto che il campo D obbedisce alla legge di Gauss Applichiamo la legge intorno all'interfaccia fra due dielettrici Supponiamo che non ci siano cariche libere sulla superficie: Q f = 0 Per il campo D otteniamo Ricordando che D = εe Pertanto La componente normale del campo D è continua se non ci sono cariche libere La componente normale del campo elettrico E è discontinua Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 306

9 Condizioni al contorno La condizione su E che abbiamo trovato può essere ottenuta senza l'uso del campo D Utilizziamo la proprietà del campo elettrico che conosciamo Attraversando una densità di carica σ la componente normale ha una discontinuità ΔE = σ/ε 0 Chiamiamo E 1 e E 2 i campi elettrici presenti all'interfaccia nel dielettrico 1 e 2 rispettivamente Poiché i dielettrici sono lineari P = χε 0 E Dai lati 1 e 2 dell'interfaccia ci saranno le cariche Pertanto Ricordiamo che κ = 1 + χ e che ε = κε 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 307

10 Condizioni al contorno Possiamo generalizzare la condizione al contorno su D al caso in cui nell'interfaccia sia presente carica libera La condizione precedente Diventa La condizione per noi più interessante è l'interfaccia metallo-dielettrico lineare In questo caso uno dei due materiali è un conduttore Supponendo che il materiale 2 sia conduttore Ricordando che D = εe Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 308

11 Condizioni al contorno Per quanto riguarda la componente tangenziale del campo elettrico questa è continua Questa condizione deriva dal fatto che il campo elettrico è conservativo Infatti, considerando una linea chiusa intorno all'interfaccia, come in figura Per il potenziale le condizioni diventano Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia V è l'integrale di E La derivata del potenziale è discontinua Se n è la normale alla superficie Il vettore r varia sulla superficie di interfaccia dei dielettrici N.B.: non ci sono cariche libere sull'interfaccia Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 309

12 Condizioni al contorno Riepilogando Ricordiamo solo le condizioni al contorno per campo elettrico e potenziale Sono sufficienti per risolvere i problemi Per il campo elettrico Per il potenziale Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia Il vettore r varia sulla superficie di interfaccia fra i dielettrici La condizione sulla componente normale del campo diventa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 310

13 Sfera di dielettrico in campo uniforme Consideriamo una sfera di dielettrico posta in un campo elettrico uniforme È un problema analogo a quello della sfera conduttrice in campo uniforme che abbiamo affrontato in precedenza (vedi diapositiva ) Utilizziamo il metodo della separazione delle variabili in coordinate sferiche C'è simmetria azimutale (V indipendente da φ) Qualitativamente possiamo dire che il campo elettrico polarizza il dielettrico Sulla superficie della sfera compare una carica superficiale Il campo uniforme è distorto Il campo rimane uniforme all'infinito All'interno della sfera il campo elettrico è dato dalla somma del campo esterno e del campo generato dalle cariche di polarizzazione z x y Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 311

14 Sfera di dielettrico in campo uniforme Esprimiamo il potenziale all'esterno e all'interno utilizzando la formula utilizzata per il problema della sfera conduttrice La seconda formula è necessaria perché adesso il campo dentro la sfera non è nullo Le condizioni al contorno sono (ε è la permittività della sfera) All'infinito campo uniforme Potenziale continuo sulla sfera Discontinuità della componente normale Assumendo come nel caso della sfera conduttrice V 0 = 0, la prima condizione permette di porre a zero tutti gli A l escluso A 1 = E 0 ( P 1 (cosθ) = cosθ ) Inoltre, poiché al centro della sfera il potenziale deve essere finito si ha che per tutti gli l deve essere D l = 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 312

15 Sfera di dielettrico in campo uniforme La condizione di continuità diventa L'uguaglianza implica che per ogni l devono essere uguali i coefficienti dei corrispondenti polinomi di Legendre P l (P 1 = cosθ) Per l = 1 Per l 1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 313

16 Sfera di dielettrico in campo uniforme Veniamo adesso alla condizione di discontinuità Ricordiamo che sulla sfera / n = / r Ancora una volta uguagliamo i coefficienti dei polinomi di Legendre dello stesso ordine l Per l = 1 Per l 1 Confrontiamo con la precedente equazione per l 1 Concludiamo che Per l = 0 B 0 = 0 e C 0 = 0 Per l 0,1 le due relazioni per B l implicano che Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 314

17 Sfera di dielettrico in campo uniforme Esaminiamo infine le due equazioni trovate per l = 1 Eliminiamo C 1 inserendo la prima equazione nella seconda Per finire inseriamo il valore trovato per B 1 nell'equazione di C 1 Abbiamo trovato il potenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 315

18 Sfera di dielettrico in campo uniforme Calcoliamo le componenti del campo elettrico All'interno All'esterno Campo uniforme Sulla superficie della sfera Componente tangenziale continua Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 316

19 Energia elettrostatica Riprendiamo il problema del condensatore con dielettrico fra le armature (vedi diapositiva ) Ricordiamo che a parità di differenza di potenziale V il campo elettrico è sempre E = V/s Inoltre la carica nella regione delle armature è Q 0 che è la somma algebrica Della carica Q sulle armature (Q = κ Q 0 ) Della carica di polarizzazione Q pol = (κ 1)Q 0 L'energia del condensatore è Rispetto al caso senza dielettrico l'energia è cresciuta È cresciuta la capacità di un fattore κ D'altro canto abbiamo visto che l'energia può essere espressa come energia del campo elettrico Quale delle due espressioni è corretta? Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 317

20 Energia elettrostatica La soluzione della contraddizione sta nel fatto che le due energie rappresentano cose differenti L'energia del campo elettrico rappresenta l'energia immagazzinata in un sistema di cariche (vedi ) L'energia necessaria per "costruire" la disposizione delle cariche (sia libere che di polarizzazione) L'energia del condensatore rappresenta invece il lavoro che è stato fatto Per caricare i condensatore con una carica Q Per polarizzare il dielettrico e fare in modo che fornisca una carica Q pol Per polarizzare il dielettrico è necessario fare un lavoro Il lavoro necessario per deformare gli atomi o le molecole Il lavoro necessario per allineare i dipoli Troviamo adesso un sistema per esprimere il secondo lavoro con una formula analoga a quella dell'energia del campo elettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 318

21 Energia elettrostatica Definiamo esattamente cosa vogliamo fare Consideriamo lo stato finale che vogliamo ottenere Un sistema di cariche libere descritto da una densità di carica ρ f Un dielettrico (lineare) polarizzato Per costruire questo sistema Iniziamo da un sistema scarico: ρ f = 0 Trasportiamo una carica dρ f infinitesima dall'infinito nel nostro sistema Disponiamo la carica in modo che in ogni parte del sistema la densità di carica sia una frazione α di quella finale Per un dato valore di α la densità di carica libera è una frazione di quella finale Anche il potenziale elettrico φ k (r) = αφ(r) sarà una frazione di quello finale Anche le cariche di polarizzazione saranno una frazione α di quelle finali Anche i campi P e D saranno una frazione α di quelli finali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 319

22 Energia elettrostatica Il lavoro dw fatto per trasportare la carica dρ f è Sottolineiamo che il potenziale φ α (r) è generato anche dal dielettrico Il lavoro dw è diverso da quello che si avrebbe senza il dielettrico Il lavoro dw contiene anche il lavoro necessario per polarizzare il dielettrico Elaborando Sottolineiamo ancora una volta la differenza con la trattazione della diapositiva In quel caso nella formula era presente TUTTA la carica ρ (sia libera che di polarizzazione) L'energia trovata era quella del sistema di cariche ρ f + ρ pol e non includeva il lavoro fatto per polarizzare il materiale Nel caso del condensatore con dielettrico sarebbe l'energia dei due strati di carica ± [κσ 0 (κ 1)σ 0 ] = ± σ 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 320

23 Energia elettrostatica Elaboriamo adesso la formula trovata per metterla in funzione del campo elettrico E e dello spostamento elettrico D Ricordiamo innanzitutto la legge di Gauss per il campo D Introduciamo nell'integrale Ricordiamo che Otteniamo Il primo integrale Pertanto Per campi che si annullano velocemente all'infinito Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 321

24 Energia elettrostatica La formula che abbiamo ricavato vale per dielettrici lineari Per un dielettrico lineare si ha D = εe = κ ε 0 E W 0 è il lavoro fatto in assenza di dielettrico Pensiamo all'esempio iniziale del condensatore con dielettrico Riepilogando Rappresenta l'energia associata ad un campo elettrico E generato da un sistema di cariche ρ = ρ f + ρ pol Non include il lavoro che è stato fatto per polarizzare il dielettrico Per includere anche il lavoro che è stato necessario per polarizzare il dielettrico si calcola Include l'energia del campo elettrico E generato da ρ = ρ f + ρ pol Include il lavoro fatto per polarizzare il dielettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 322