Sorgenti di Campo Magnetico

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1 Sorgenti di Campo Magnetico Un conduttore (filo) percorso da una corrente genera un campo magnetico! Quale? Prima legge elementare di Laplace: Dt Dato un tratto tt infinitesimo ifiit i difilo ds, percorso da una corrente i, il campo db prodotto in un punto P distante r da ds vale: u t : versore di ds 1

2 k m = 10-7 T m /A! (H/m) k m = μ 0 / 4π μ 0 = 4π k m = H/m Direzione e verso di B: prodotto vettoriale, regola della mano destra u r 2

3 Per un circuito i qualunque, lo si idivide in tratti iinfinitesimi i i ie si iintegra ildb Campo magnetico prodotto da una carica in moto ndτ : numero di portatori in dτ. Divedendo db per n dτ si ottiene il campo prodotto da una singolo portatore Disco di Rowland, disco carico in rotazione (1878) 3

4 Campi magnetici prodotti da circuiti particolari Filo rettilineo lungo 2a, percorso da una corrente i Prendiamo un punto sull asse mediano del filo, a distanza R dal filo. Un tratto infinitesimo di filo ds, di ascissa s, produce un campo infinitesimo 4

5 Notiamo che : + Campo entrante nel foglio! Integrando da -a a a si ottiene il campo prodotto dal filo. (cos (π-θ 1 ) = -cosθ 1 ) -cosθ 1 2 (cosθ 1 = a/r ) 5

6 Campo totale del filo, lungo 2 a: B Se facciamo tendere a all infinito, Questa è la Legge di Biot e Savart 6

7 Il campo magnetico prodotto da un filo rettilineo indefinito è tangente a circonferenze che hanno come centro il filo stesso. Il verso è dato dalla regola della mano destra e la sua intensità cala con il raggio. Visualizzabile con la limatura di ferro 7

8 Spira circolare Campo magnetico prodotto da una spira circolare, percorsa dalla corrente i, in un punto P lungo l asse lasse, distante x dal centro della spira. Prendiamo un elemento infinitesimo ds che genera un campo infinitesimo db ( ds r ) θ r x θ 8

9 dato che : al centro della spira, x = 0 per x >> R Se iπ R 2 u n = iσ u n lo indichiamo con m 9

10 Confrontiamo questo campo con il campo elettrico di un dipolo elettrico B hanno la stesa forma. Allora chiamiamo m Momento di dipolo magnetico della spira Valgono formule analoghe a quelle che abbiamo visto per il Momento di dipolo elettrico: Campo prodotto dal dipolo magnetico 10

11 Attenzione alla differenza fondamentale: Le linee di campo di E nonsono chiuse (E conservativo) quelle di B sì (B solenoidale) 11

12 Solenoide rettilineo Filo conduttore avvolto a elica cilindrica stretta (piccolo passo) Raggio R, lunghezza d, N spire: n = N/d = numero di spire per unità di lunghezza ( lunghezza totale del filo L = N 2 π R) Prendiamo un tratto tt infinitesimo, it i dx, di solenoide, contiene ndx spire. Il campo db prodotto in un punto P sull asse x, di ascissa x 0, è: 12

13 parallelo all asse x ma 13

14 Sommando su tutte le spire = integrando in dφ, da φ 1 (prima spira) a φ 2 (ultima spira) (φ 2 = π - φ 2 ) Se si prende l origine delle x nel centro del solenoide (OP = x), si ha ( cosφ 1 = (d/2 +x)/((d/2 +x) 2 +R 2 ) ½ ) 14

15 B ha il massimo per x = 0, centro del solenoide poi cala simmetricamente. Al centro delle spire più esterne ( x = ± d/2) si ha : Se d >> R, in tutto il solenoide: Formula standard per B 15

16 16

17 Azioni elettrodinamiche tra fili percorsi da corrente Prendiamo due fili rettilinei, paralleli abbastanza vicini da poterli considerare indefiniti (L >> r ), percorsi dalle correnti i 1 e i 2. Ogni tratto dl 2 risente della forza df 12 dovuta al campo magnetico B 1 prodotto dalla corrente i 1 Per ogni unità di lunghezza la forza vale attrattiva (> 0) se u 1 e u 2 sono paralleli, repulsiva se sono antiparalleli 17

18 La grandezza elettrica fondamentale Coulomb: impossibile da realizzare praticamente Ampere: più semplice, ma come definirlo senza passare per il Coulomb? data F 12 Definizione della Conferenza Internazionale dei Pesi e Misure, 1960: L intensità di corrente di 1 A è quella che circolando in due fili rettilinei i paralleli li distanti ti r = 1 m dà luogo a una forza per metro di ciascun conduttore F= μ o /2π =210-7 N In pratica così si fissa anche il valore di μ o a 4π 10-7 H/m μ o 18

19 La Legge di Ampere Dato un filo rettilineo percorso da una corrente i (uscente dal foglio), il campo B è sempre tangente alla circonferenza di raggio r Prendiamo uno spostamento ds lungo la circonferenza e consideriamo il prodotto scalare Per un arco finito CD integriamo tra 0 e θ 19

20 L integrale dipende solo da θ Se si va da D a C il risultato è e non dal cammino specifico. Se si percorre un un circuito chiuso 20

21 Si possono avere due casi: 1) La linea chiusa contiene il filo percorso da corrente, concatena la corrente 2) La linea chiusa non contiene il filo percorso da corrente, non concatena alcuna corrente 21

22 Questo risultato vale per qualunque linea chiusa, anche non piana, e anche per molti conduttori percorsi da correnti diverse. Si enuncia, quindi, il Teorema di Ampere: La circuitazione del campo magnetico B lungo un percorso C è uguale alla somma di tutte le correnti concatenate con C, moltiplicata per μ 0 Se non ci sono correnti concatenate N.B. B è prodotto da tutte le correnti presenti, invece i sono solo quelle concatenate 22

23 Forma locale l del Teorema di Ampere Applichiamo il teo. di Stokes alla circuitazione di B Σ è una superficie qualsiasi che ha C come contorno. Attraverso Σ passano le varie i concatenate con C Quindi possiamo scrivere. j sarà diversa da zero solo dove il conduttore interseca Σ 23

24 usando le due relazioni si passa da a Σ Σ Dato che Σ è una superficie qualsiasi, i due integrandi devono essere uguali, quindi che è la forma locale del Teorema di Ampere x B e j sono perpendicolari a B 24

25 Esempi 1) Filo indefinito di raggio R percorso dalla corrente i. Determinare B in funzione di r B ha simmetria cilindrica tangente, quindi la legge di Ampere diventa: (r R) All interno del filo (r < R), se j è uniforme = i / π R 2, la corrente concatenata a circonferenza di raggio r è j π r 2,quindi 25

26 2) Solenoide rettilineo indefinito Calcolare B Calcoliamo la circuitazione di B lungo un circuito rettangolare (ABCD) con il lato AB sull asse del cilindro. Per simmetria B deve essere parallelo all asse asse e uniforme. Supponiamo, pure, che B sia nullo fuori dal solenoide. Quindi Il risultato non cambia se AB non sta sull asse ma è solo parallelo all asse. Quindi B è uniforme e uguale in tutto il solenoide (indefinfito). 26

27 3) Solenoide toroidale ( toro = ciambella!) N spire, r int e r est, corrente i. Trovare B Per simmetria le linee di campo di B sono circonferenze concentriche. solo se r int r est r med 27

28 Proprietà magnetiche della materia Come si comportano i materiali in presenza di un campo magnetico? Prendiamo un solenoide indefinito: B 0 = Definiamo il vettore H = B/μ 0 = n i Riempiano completamente il solenoide con un materiale omogeneo 28

29 Misuriamo B all interno del materiale: B risulta parallelo a B 0 e k m (numero puro) si chiama permeabilità magnetica relativa (a quella del vuoto) del materiale. Allora definiamo permeabilità magnetica assoluta del materiale μ ha le stesse dimensioni i i di μ 0 H (= n i) dipende dal circuito, μ descrive le proprietà magnetiche del mezzo 29

30 e sono valide per circuiti di qualunque forma Allora se un circuito è immerso in un mezzo di permeabilità magnetica relativa k m allora la legge Ampere-Laplace diventa. La legge di Ampere diventa 30

31 Chiamiamo suscettività magnetica: = (B B 0 )/B 0 Definiamo un nuovo vettore: il vettore magnetizzazione allora l intensità ità del campo magnetico nel solenoide si può scrivere 31

32 il secondo termine si può vedere in due modi μ 0 (χ m n ) i come se ci fossero altre χ m n spire per unità di lunghezza μ 0 n (χ m i) come se nelle n spire per unità di lunghezza circolasse una extra corrente χ m i In effetti si può dire che sulla superficie esistono delle correnti di origine atomica, prodotte dal campo B 0 (vedi cariche di polarizzazione nei dielettrici). Queste correnti di dicono Amperiane 32

33 Le sostanze si dividono id in tre categorie, a seconda della risposta al campo magnetico esterno: 1) Sostanze Diamagnetiche Caratterizzate da k m < 1 χ m < 0, B < B 0 Le correnti amperiane circolano in verso opposto a quelle nel solenoide. M è opposto a H. Effetto molto piccolo ( ) 33

34 2) Sostanze Paramagnetiche Caratterizzate da k m > 1 χ m > 0, B > B 0 Le correnti amperiane circolano nello stesso verso di quelle nel solenoide. M è concorde con H. Effetto piccolo ( 10-4 ) χ m dipende dalla temperatura secondo la I legge di Curie : ρ è la densità e C è la Costante di Curie 34

35 3) Sostanze ferromagnetiche (FM) Sostanze FM: Fe, Co, Ni, qualche TR, loro leghe (metalli) In questi metalli k m e χ m non sono costanti ma dipendono fortemente da H e dalla storia. k m sta nel range (>0) quindi B >>B 0 (Correnti Amperiane concordi con i vera e molto intense) La relazione tra H e B (B(H)) non è univoca e non può essere prevista a priori. Va misurata. 35

36 Poi M (H) = B(H) /μμ 0 - H Ciclo di Isteresi (simmetrico): M sat, M r, H m, H c M r = B r /μ 0 Il ciclo si stabilizza dopo vari cicli. Inizialmente materiale vergine (raffreddato lentamente t senza campi magnetici) Poi, al crescere di i e H si ha la curva di prima magnetizzazione. 36

37 μ = B/H, k m = B/ /μ o H = μ/μ/ o, χ m = k m -1 sono tutti ttifunzioni idih H T C temperatura di Curie. seconda Legge di Curie: Al di sotto di T C χ m non è definita, aldisopra ilfmdiventa paramagnetico Ciclo di isteresi = Diagramma di stato dipende da natura e composizione del materiale. Materiali magnetici duri e dolci duri : memorie ; dolci: trasformatori Lavoro per magnetizzare un volume unitario: dw = B dh Area B(H) = energia dissipata per unità di volume 37

38 Meccanismo di Magnetizzazione e Correnti Amperiane Negli atomi esistono due possibili origini i idi un momenti didipolo magnetico (m.d.m.): a) gli elettroni che ruotano attorno al nucleo corrispondono a microscopiche spire con relativo m.d.m. (orbitale) b) ogni elettrone possiede un suo m.d.m. intrinseco (spin) In genere in un atomo tutti i momenti, orbitale e di spin, si compensano In presenza di un campo magnetico gli elettroni modificano le orbite quindi il loro momenti orbitali variano e la somma non è più nulla. 38

39 Il nuovo momento produce un campo che si oppone a quello che lo ha provocato con un m.d.m. atomico m a = α a H= α a B/μ o B < B o : Diamagnetismo! ( Cfr. Di(a)elettrici () ) Ma se i momenti orbitale e di spin non si compensano, l atomo ha già un suo momento che si orienta secondo il campo esterno, rafforzandolo: B > B o : Paramagnetismo Però l agitazione termica si oppone all allineamento, quindi diilil m.d.m. atomico ha la forma 39

40 Ferromagnetismo Fenomeno di carattere quantistico. Grandissimi blocchi di atomi paramagnetici i tutti tti spontaneamente. t allineati: Domini i di Weiss. Senza campo esterno i domini sono orientati a caso, ma con anche piccoli campi quelli favoriti crescono e gli altri si riducono, con enorme aumento di B e M, finchè tutto il materiale è un unico dominio. Togliendo il campo B e M non tornano a zero e il materiale resta magnetizzato. 40

41 Il vettore magnetizzazione M Dato un volumetto τ che contiene N atomi/molecole, se sia applica B o = μ o H, τ acquista m = N <m> Dfii Definiamo ilvtt Vettore Magnetizzazione i M n densità di atomi/molecole M = m/τ = N/τ <m> = n <m> Diamagnetici: M = - nα a H= χ m H Paramagnetiche: M = χ m H M è uniforme se è costante nel mezzo : amorfi, a simmetria cubica, in B uniforme 41

42 Prendiamo un cilindro con M uniforme e parallelo l all asse del cilindro. Ora un disco di spessore infinitesimo dz. Dividiamolo in prismetti di area dσ e volume dτ =dσ dz. Ognuno ha momento magnetico dm = M dτ =M dσ dz u z. Potremmo sostituirlo con una spira di area dσ percorsa da una corrente di m. Quanto deve essere di m? : M dz 42

43 Se prendiamo due prismetti adiacenti, le correnti sui lati di contatto si annullano e restano solo le correnti sui lati esterni. Continuando con tutti i prismetti del disco restano solo le correnti sulla superficie esterna. Tutto il disco equivale a una spira alta dh percorsa dalla corrente di m = M dz Integrando su tutto il cilindro, si ha che esso equivale a una fascia alta h percorsa dalla corrente (correnti Amperiane) i m = M h per cui M = i m / h = j s,m 43

44 N.B. j s,m è una densità lineare di corrente, A/m, indica la corrente per unità di altezza del cilindro! se indichiamo con u n il versore del raggio del cilindro possiamo scrivere j s,m = M x u n essendo j s,m tangente al cilindro. Se calcoliamo la circuitazione di M lungo il percorso indicato in figura, dato che M è diverso da zero solo nel cilindro 44

45 Dato che le linee di campo di B sono sempre chiuse (non esiste il mono-polo magnetico!), il flusso di B attraverso una superficie chiuse è sempre nullo e utilizzando il teorema delle divergenza Queste sono le due forme della Legge di Gauss per il campo magnetico. 45

46 B è solenoidale. Proprietà dei campi solenoidali: Se il flusso attraverso un sup. chiusa è nullo il Flusso attraverso una superficie aperta dipende solo dalla linea di contorno o della superficie e stessa e non dalla a sua forme o estensione. s e. 46

47 Differenze tra campo elettrico, E, e campo magnetico B 47

48 Equazioni generali della magnetostatica in presenza di mezzi magnetizzati Legge di Ampere modificata per tener conto delle correnti Amperiane (N.B. questa non è la estensione introdotta tt da Maxwell, vedi did dopo!) Ricordando che Legge di Ampere per H Legge di Gauss per B N.B. In Fisica: B: campo magnetico, H: campo magnetizzante Elettrotecnica, ecc. : B: Induzione magnetica, H campo magnetico! 48

49 Magnete toroidale Solenoide toroidale riempito di materiale con permeabilità magnetica relativa k m. Calcolare H, B e M nel materiale. Applichiamo la Legge di Ampere per H: 49