Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Guscio sferico di carica Uso del potenziale scalare Sfera magnetica in campo uniforme Anno Accademico 2017/2018

2 Il problema della magnetostatica Studiando l'elettrostatica abbiamo visto che le coordinate curvilinee permettono di semplificare molto le condizioni al contorno o all'interfaccia In elettrostatica l'equazione di Laplace è per il potenziale scalare In magnetostatica abbiamo il potenziale vettore Il grosso problema è che in coordinate curvilinee i versori dipendono dalle coordinate stesse Ad esempio la forma esplicita dell'equazione del potenziale vettore in coordinate sferiche Osserviamo che ciascuna delle tre equazioni contiene tutte tre le componenti Inoltre deve essere anche soddisfatta A = 0 In pratica risolubile quando per simmetria alcune delle componenti sono nulle Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 321

3 Esempio: guscio sferico di corrente Per illustrare i concetti precedenti risolviamo un problema che abbiamo già visto Un guscio sferico di carica che ruota intorno all'asse con velocita angolare ω La corrente superficiale è Calcoliamo il prodotto vettoriale Otteniamo Il problema possiede una simmetria rotazionale intorno all'asse z Il potenziale vettore non dipende da φ Si può verificare che in coordinate sferiche il potenziale vettore ha solo la componente A φ (r,θ) Il campo B ha solo due componenti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 322

4 Esempio: guscio sferico di corrente Utilizzando la formula della diapositiva si ha Introducendo la formula del laplaciano in coordinate sferiche l'equazione diventa Per trovare una soluzione si può procedere nel modo seguente All'interno (r < R regione 1) della sfera e all'esterno (r > R, regione 2) il potenziale A φ soddisfa l'equazione omogenea Con il metodo della separazione delle variabili si trovano le soluzioni dell'equazione omogenea Saranno delle serie infinite, come nel caso della sfera in elettrostatica Si impongono continuità, andamento per r 0 e r Si calcolano le componenti tangenziali di B (B θ ) per r = R + e r = R Si eguaglia la discontinuità alla corrente superficiale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 323

5 Esempio: guscio sferico di corrente Si dimostra che la soluzione generale dell'equazione omogenea ha la forma Le funzioni P 1 l(θ) sono le funzioni associate di Legendre Nella regione interna alla sfera poniamo D l = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe nell'origine Analogamente, all'esterno C l = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe all'infinito In definitiva La continuità per r = R implica D l = C l Si verifica che le componenti radiali di B (normale alla superficie sferica) sono automaticamente continue Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 324

6 Esempio: guscio sferico di corrente Calcoliamo le componenti tangenziali B θ Notiamo che la densità superficiale di corrente è proporzionale a sinθ Avremo pertanto un sistema di equazioni per l 1 e una equazione per l = 1 Per l 1 Per l = 1 In definitiva, nella regione interna alla sfera (r < R) abbiamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 325

7 Esempio: guscio sferico di corrente Nella regione esterna alla sfera (r > R) otteniamo Da confrontare con il risultato dell'integrazione diretta della formula di Biot e Savart Calcoliamo il campo di induzione magnetica B all'interno del guscio (r < R) La componente polare B θ La componente radiale B r Riassumendo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 326

8 Esempio: guscio sferico di corrente Calcoliamo il campo di induzione magnetica B all'esterno del guscio (r > R) La componente polare B θ La componente radiale B r Riassumendo esterno sfera interno sfera Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 327

9 Esempio: guscio sferico di corrente All'interno della sfera il campo è uniforme È parallelo all'asse z Infatti, la quantità tra parentesi è il versore All'esterno abbiamo un campo dipolare Ricordiamo il campo del dipolo elettrico (diapositiva 252 parte I) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 328

10 Uso del potenziale scalare Il problema appena risolto è utile anche per illustrare l'uso del potenziale magnetico scalare La necessità di introdurre il potenziale vettore (con le sue complessità tecniche) deriva dalla legge di Ampère Il campo B non è conservativo e quindi non può essere derivato da un potenziale Tuttavia, nel problema del guscio sferico, lo spazio è diviso naturalmente in due regioni nettamente separate La regione interna al guscio (r < R) La regione esterna al guscio (r > R) In queste regioni la densità di corrente è nulla In entrambe le regioni il campo B soddisfa l'equazione Possiamo pertanto rappresentare il campo B come gradiente Avere messo in evidenza μ 0 dipende dal fatto che normalmente si usa questo formalismo per il campo H Infine I potenziali φ M1 e φ M2 soddisfano l'equazione di Laplace Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 329

11 Uso del potenziale scalare I due potenziali φ M1 e φ M2 devono essere raccordati sulla sfera Si calcolano le componenti normali (B 1θ e B 2θ ) e tangenziali (B 1θ e B 2θ ) Si uguagliano le componenti normali Si uguaglia la discontinuità alla densità di corrente superficiale Abbiamo studiato la soluzione dell'equazione di Laplace in coordinate sferiche in elettrostatica Il problema della sfera di dielettrico (vedi diapositiva 312 parte I) Utilizzando i risultati di quel problema possiamo scrivere i potenziali Abbiamo scelto le soluzioni che si annullano per r = 0 all'interno e quelle che si annullano per r all'esterno Calcoliamo le componenti normali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 330

12 Uso del potenziale scalare La continuità della componente normale (B r ) si impone uguagliando i coefficienti dei polinomi di Legendre di ordine uguale Osserviamo che nella espressione per B 1r è assente il termine l = 0 Deve essere nullo il termine l = 0 della espressione di B 2r Uguagliamo adesso gli altri coefficienti Calcoliamo le componenti tangenziali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 331

13 Uso del potenziale scalare La discontinuità della componente tangenziale deve essere Osserviamo che Concludiamo che l'equazione per i coefficienti l = 1 è inoltre Mettendo insieme le due relazioni Per gli altri coefficienti Ovviamente, insieme all'equazione precedente, deve essere C l = D l = 0 Pertanto gli unici coefficienti non nulli sono C 1 e D 1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 332

14 Uso del potenziale scalare La soluzione del problema è pertanto Notare che il potenziale non è continuo per r = R Il campo di induzione magnetica All'interno della sfera (r < R) All'esterno della sfera (r > R) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 333

15 Sfera in campo magnetico uniforme Supponiamo di avere un campo di induzione magnetica B uniforme in tutto lo spazio Inseriamo adesso una sfera di raggio R, di materiale magnetico, lineare, con permeabilità magnetica relativa μ r Il campo magnetico risulta modificato Nel problema non ci sono correnti libere pertanto Il problema può essere risolto utilizzando il potenziale scalare Il problema ha simmetria azimutale e si risolve più facilmente utilizzando le coordinate sferiche In particolare Fissiamo le condizioni al contorno All'infinito il potenziale deve riprodurre il campo uniforme Sulla superficie della sfera Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 334

16 Sfera in campo magnetico uniforme Matematicamente il problema è identico a quello della sfera di dielettrico in campo uniforme (parte I diapositiva 311) I potenziali possono essere sviluppati utilizzando i polinomi di Legendre e le potenze di r: r l e r l 1 Sopravvivono solo i termini Il valore asintotico (r ) di Φ M2 fissa C 2 Imponiamo la continuità del potenziale sulla superficie Per finire la componente normale Risolvendo le equazioni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 335

17 Sfera in campo magnetico uniforme Il potenziale è pertanto I corrispondenti campi sono All'interno della sfera (r < R) All'esterno della sfera (r > R) Pertanto all'interno della sfera il campo è uniforme All'esterno della sfera al campo uniforme si sovrappone un campo dipolare Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 336

18 Sfera in campo magnetico uniforme Poiché il materiale della sfera è lineare possiamo scrivere la magnetizzazione come La magnetizzazione è uniforme e diretta lungo l'asse z La magnetizzazione causa una densità di corrente superficiale Il problema che ormai abbiamo risolto tante volte È la densità di corrente superficiale dovuta alla magnetizzazione che genera il campo dipolare che modifica il campo uniforme Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 337

19 Magneti permanenti La soluzione del problema magnetostatico in mezzi lineari permette di trovare Il potenziale vettore A e quindi il campo di induzione magnetica B = A Attraverso le relazioni lineari posiamo inoltre calcolare Il campo di intensità magnetica H = B/μ La magnetizzazione M = χ m H Se il problema è relativo a un magnete permanente, in assenza di correnti esterne, il problema si può risolvere in due metodi differenti Primo metodo: con il potenziale vettore (J f = 0, M definito) Da questa si giunge come nel caso precedente La soluzione è Se M è discontinuo sulla superficie del magnete compare un termine superficiale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 338

20 Magneti permanenti Secondo metodo: uso di un potenziale scalare (J f = 0, M definito) Quando J f = 0 si ha pertanto H è un gradiente Per definire completamente H occorre conoscere la sua divergenza Utilizziamo la divergenza di B Utilizzando queste equazioni si ottiene l'equazione per Φ M Abbiamo ancora una volta un'equazione di Poisson Per mettere in risalto le analogie con l'elettrostatica definiamo La funzione ρ M (r) rappresenta una FITTIZIA densità di carica magnetica La soluzione per questo problema è nota L'integrale è da trattare con attenzione perché in generale ρ M = M contiene una parte singolare Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 339

21 Magneti permanenti La presenza di un eventuale integrale di superficie si può comprendere nel modo seguente Si può dimostrare che il potenziale magnetico scalare di un dipolo magnetico m posto nel punto r è Notiamo che è formalmente identico al potenziale di un dipolo elettrico, vedi parte I, diapositive 251 e 285 Si può pertanto calcolare il potenziale scalare magnetico di un blocco di materia con magnetizzazione M(r) con un calcolo identico a quello fatto per l'elettrostatica (vedi ancora parte I, diapositiva 285 e seguenti) Come in elettrostatica il risultato è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 340

22 Magneti permanenti Pertanto nel caso di una magnetizzazione M(r) continua all'interno del materiale e che diventa bruscamente nulla fuori dal materiale abbiamo L'effetto della magnetizzazione viene rappresentato come dovuto alla presenza di due densità di cariche magnetiche FITTIZIE Una densità di volume ρ M = M Una densità di superficie sm = M n Illustriamo i concetti precedenti per un magnete permanente cilindrico La magnetizzazione M all'interno del cilindro è uniforme La soluzione con il potenziale vettore fa riferimento alle correnti di magnetizzazione superficiali e di volume Il campo generato da una corrente superficiale uniforme è il campo di un solenoide finito con n spire per unità di lunghezza e corrente I tali che Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 341

23 Magneti permanenti Qualitativamente il campo B è come in figura Nel caso di solenoide infinito il campo sarebbe All'esterno sarebbe nullo Nel caso di lunghezza finita Il campo non è uniforme La componente tangenziale, parallela alla superficie, è un po' inferiore al valore del solenoide finito La discontinuità alla superficie dove c'è la corrente superficiale è Proiettiamo lungo z Pertanto all'esterno, vicino alla superficie laterale, B è diretto verso il basso Il campo è poco intenso Sulle superfici superiore e inferiore non ci sono correnti Entrambe le componenti di B sono continue Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 342

24 Magneti permanenti Discutiamo adesso la soluzione con il potenziale scalare Il primo integrale è nullo: M = 0 Il secondo termine si riduce all' integrale su due densità uniformi Qualitativamente il campo H = Φ M è come in figura All'interno del magnete le linee del campo H vanno dall'alto verso il basso La componente normale di H ha una discontinuità (vedi diapositiva ) Non ci sono correnti libere e pertanto Se si segue una linea di campo si incontrano le superfici dove le linee cambiano verso Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 343