Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Coefficienti di capacità Dielettrici. Dipolo elettrico Anno Accademico 2017/2018

2 Coefficienti di capacità Consideriamo un conduttore Supponiamo abbia una carica q distribuita sulla superficie Avviciniamo un altro conduttore scarico La carica del primo conduttore induce cariche elettriche sul secondo Alcune delle linee di campo che originano dal primo conduttore terminano sul secondo Intuitivamente, il fatto che alcune linee del primo conduttore finiscano sul secondo è il fenomeno alla base del concetto di capacità Il condensatore è il caso speciale in cui tutte le linee (o quasi) del primo conduttore finiscono sul secondo Induzione completa Si può avvicinare anche un terzo conduttore Le linee di campo adesso terminano anche sul terzo Vogliamo studiare la relazione che esiste fra le cariche sui conduttori e i loro potenziali Una generalizzazione del condensatore che è formato solo da due conduttori Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 233

3 Coefficienti di capacità Consideriamo adesso un sistema di n conduttori Poniamo i conduttori all'interno di un conduttore cavo posto a potenziale φ = 0 Utilizziamo il potenziale di questo conduttore come potenziale di riferimento Possiamo anche eliminare il conduttore esterno e prendere come riferimento il potenziale all'infinito Il teorema di unicità ci assicura che fissati i potenziali φ 1, φ n il campo elettrico all'interno della regione è univocamente determinato Noto il campo elettrico possiamo determinare la carica su ogni conduttore Pertanto, fissati i potenziali le cariche sui conduttori sono univocamente determinate Vogliamo trovare una relazione che ci permetta di determinare la carica su ogni conduttore noti i potenziali sui conduttori stessi A tale fine consideriamo n problemi diversi in cui, a turno, il conduttore k è posto a potenziale φ k mentre tutti gli altri sono posti a potenziale nullo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 234

4 Coefficienti di capacità Mettiamo adesso a potenziale φ = 0 tutti i conduttori meno il primo, che rimane fissiamo a potenziale φ 1 I conduttori a potenziale φ = 0 sono collegati con un filo (conduttore) al conduttore cavo Per effetto del potenziale φ 1 sui conduttori appaiono le cariche q 1, q n Sappiamo che le equazioni sono lineari Se raddoppiamo il potenziale φ 1 anche le cariche q 1, q n saranno raddoppiate Pertanto avremo Possiamo ripetere ponendo a potenziale φ 2 il secondo conduttore Ovviamente le cariche q' sono diverse dalle cariche q E così via Potenziale sul conduttore 1 Carica sul conduttore k Ancora una volta utilizziamo la linearità delle equazioni dell'elettrostatica Se tutti i potenziali sono diversi da zero la carica su ogni conduttore sarà la somma di tutte le cariche trovate Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 235

5 Coefficienti di capacità Mettendo insieme le equazioni scritte Si può dimostrare che i coefficienti c jk sono simmetrici: c jk = c kj I coefficienti che abbiamo definito prendono il nome di coefficienti di capacità Le relazioni trovate possono essere invertite I nuovi coefficienti a jk prendono il nome di coefficienti di potenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 236

6 Coefficienti di capacità Per meglio comprendere il significato e l'utilizzo dei coefficienti di capacità consideriamo l'esempio seguente Due elettrodi piani di area A a distanza s posti all'interno di una scatola metallica La scatola è posta a potenziale φ = 0 I piani distano r e t dalle pareti della scatola Calcoliamo i coefficienti di capacità supponendo che le distanze siano tali da poter assumere che i piani siano infiniti Poniamo l'elettrodo 1 a potenziale nullo (φ 1 =0) e l'elettrodo 2 a potenziale φ 2 Nelle regioni r e s i campi elettrici saranno uniformi Nella ragione t il campo è nullo Sulla superficie superiore del conduttore 2 ci sarà una densità superficiale σ r Sulla superficie inferiore del conduttore 2 la densità sarà σ s Sulla superficie superiore del conduttore 1 la densità di carica è σ s Sulla superficie inferiore del conduttore 1 la densità di carica è nulla Avremo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 237

7 Coefficienti di capacità Troviamo la relazione fra i campi elettrici e i potenziali I campi sono uniformi Ricordando le relazioni fra campi e densità superficiali σ r e σ s E infine la relazione cercata fra carica e potenziale Sull'elettrodo 1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 238

8 Coefficienti di capacità Adesso poniamo a zero il potenziale dello elettrodo 2 e l'elettrodo 1 a potenziale φ 1 Adesso i campi saranno uniformi nelle regioni s e t Il campo sarà nullo nella regione r Sulla superficie superiore del conduttore 1 la densità è σ' s Sulla superficie inferiore del conduttore 1 la densità è σ' t Sulla superficie inferiore del conduttore 2 la densità di carica è σ' s Sulla superficie superiore del conduttore 2 la densità di carica è nulla Come nel caso precedente avremo per i campi E infine per le cariche E sull'elettrodo 2 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 239

9 Coefficienti di capacità In definitiva abbiamo trovato per c ij È interessante a questo punto studiare il caso limite in cui la scatola metallica va all'infinito In questo caso r e t Diventa un condensatore piano Se assumiamo φ 2 > φ 1 allora Q = CV Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 240

10 Dielettrici Consideriamo un condensatore piano Abbiamo definito la capacità come il rapporto fra la carica sulle armature e la differenza di potenziale fra le stesse Supponiamo adesso di inserire un materiale isolante: un dielettrico Si scopre che la carica Q necessaria per raggiungere la stessa differenza di potenziale aumenta La capacità è L'effetto del dielettrico è stato di aumentare la capacità Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 241

11 Dielettrici Il fenomeno ha una spiegazione qualitativa semplice Il condensatore viene caricato senza dielettrico Le densità di carica σ + e σ sulle armature generano un campo elettrico nel condensatore Inseriamo il materiale dielettrico Il materiale è composto da un gran numero di cariche elettriche Cariche positive: i nuclei Cariche negative: gli elettroni Le cariche non si possono muovere, a differenza di quanto avviene per i conduttori Complessivamente il materiale rimane neutro Tuttavia sono possibili piccoli movimenti La carica positiva è attratta verso l'armatura inferiore: Δσ + La carica negativa è attratta verso l'armatura superiore: Δσ Questa carica scherma la carica sulle armature La differenza di potenziale si calcola con un integrale di linea del campo Il campo elettrico si abbassa, il potenziale diminuisce Per raggiungere il potenziale precedente ci vuole più carica sulle armature Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 242

12 Dielettrici Infatti il modulo del campo elettrico fra le armature era, prima dell'inserimento del dielettrico La differenza di potenziale L'introduzione del dielettrico fa comparire altra carica elettrica: Δσ Il campo elettrico si riduce La differenza di potenziale è inferiore Per raggiungere la stessa differenza di potenziale che si aveva prima dell'introduzione del dielettrico occorre che la carica elettrica sulle armature sia più grande di quella precedente La carica in più neutralizza quella del dielettrico La differenza di potenziale diventa uguale a quella che si aveva prima dell'introduzione del dielettrico La capacità è aumentata Il fatto che sperimentalmente si noti che Q' = κq significa che la quantità di carica del dielettrico è proporzionale al campo elettrico esterno Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 243

13 Dielettrici Per avere una comprensione più profonda del fenomeno ci serve un modello più accurato della struttura atomica della materia La teoria del campo elettrico nei dielettrici è stata sviluppata nel XIX secolo In assenza di una conoscenza adeguata della struttura della materia la formulazione del problema è fatta utilizzando quantità macroscopiche La descrizione è adeguata per risolvere i problemi Tuttavia vogliamo avere anche una comprensione a livello microscopico Preliminarmente dobbiamo formulare un modo efficiente per descrivere il campo elettrico di un atomo (e delle molecole) Abbiamo spesso rappresentato un atomo come Un nucleo positivo puntiforme di carica +q Una distribuzione di carica negativa a simmetria sferica di valore totale q All'esterno dell'atomo calcoliamo il campo elettrico usando la proprietà che abbiamo verificato più volte Il campo della distribuzione sferica negativa è uguale a quello di una carica puntiforme q posta al centro della distribuzione sferica Il campo totale è nullo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 244

14 Dielettrici Abbiamo visto che in presenza di un campo elettrico esterno la distribuzione delle cariche del materiale si modifica Sono comparse delle densità superficiali di carica Possiamo supporre che la presenza del campo elettrico esterno sposti in modo indipendente le due cariche Possiamo anche supporre che la forma della distribuzione della carica negativa risulti deformata A grandi distanze dall'atomo possiamo sempre calcolare il campo elettrico come se tutta la carica negativa fosse concentrata in un punto al centro della distribuzione Vale la pena sottolineare che la distanza d fra le due cariche è dell'ordine delle dimensioni dell'atomo Dell'ordine di 1Å (angstrom 1 Å = m) Non siamo interessati ai valori del campo in posizioni vicine all'atomo ma a distanze r molto grandi Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 245

15 Dipolo elettrico Studiamo adesso il campo elettrico prodotto da un sistema di due cariche uguali poste a distanza d Abbiamo già visto questo sistema in un altro contesto È semplice da analizzare (usiamo ψ invece di φ per evitare in seguito confusione con l'angolo azimutale) Tuttavia questa formula ci dice molto di più di quello che ci interessa Non mette in evidenza quello che ci interessa Il campo a distanze molto grandi rispetto alla dimensione dell'atomo z y Cerchiamo allora una formula approssimata x Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 246

16 Approssimazioni importanti Sviluppo in serie di Taylor Sviluppo di intorno a x 0 = 0 Pertanto, per 0 x < 1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 247

17 Approssimazioni importanti Altre serie importanti da ricordare, almeno al primo ordine Numeri di Bernoulli Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 248

18 Dipolo elettrico Consideriamo un punto r In coordinate sferiche r = (r, θ, φ) C'è simmetria per rotazioni intorno a z Non c'è dipendenza dall'angolo azimutale Esaminiamo i denominatori della formula z Trascurando Analogamente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 249

19 Dipolo elettrico: potenziale Introduciamo nella formula del potenziale z I due termini si elidono Osserviamo che il potenziale dipende solo dal prodotto qd Definiamo il momento di dipolo p = qd Si definisce dipolo ideale un sistema nel quale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 250

20 Dipolo elettrico: potenziale Sottolineiamo che la formula trovata descrive il sistema originale solo per distanze molto maggiori della distanza fra le cariche z Osserviamo che il potenziale del dipolo varia come 1/r 2 Si attenua più rapidamente del potenziale di una carica puntiforme La componente del potenziale delle singole cariche che varia come 1/r si cancella e rimane solo la componente che si attenua più rapidamente Notiamo infine che il potenziale dipende dall'angolo polare θ Era prevedibile che il potenziale non avesse più la simmetria sferica della carica puntiforme Il dipolo ha una direzione privilegiata L'asse delle due cariche Nel nostro caso coincide con l'asse z Si definisce il vettore momento di dipolo p diretto dalla carica negativa alla carica positiva e modulo p = qd In funzione del vettore p il potenziale diventa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 251

21 Dipolo elettrico: campo elettrico Calcoliamo il campo elettrico del dipolo Utilizziamo le coordinate sferiche Ricordiamo il potenziale Non dipende da φ: simmetria azimutale E φ = 0 Confrontiamolo inoltre con il potenziale della sfera conduttrice in campo uniforme (diap ) La carica superficiale della sfera genera un campo dipolare Calcoliamo il campo elettrico Notiamo che il campo decresce come 1/r 3 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 252

22 Forze sul dipolo elettrico Consideriamo un dipolo in un campo elettrico uniforme Sulle due cariche agiscono due forze che si elidono Calcoliamo il lavoro fatto per ruotare il dipolo da una posizione parallela ad una che fa un angolo θ Le due forze hanno adesso un momento meccanico Il lavoro compiuto da un momento delle forze per una rotazione dα è Pertanto per ruotare il dipolo di un angolo θ si deve compiere un lavoro W Come al solito il lavoro fatto dalla forza esterna è uguale all'energia potenziale U del sistema In realtà è il lavoro del momento della forza Il grafico mostra l'andamento dell'energia U Si preferisce definire U(θ) in modo che U(π/2) = 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 253

23 Forze sul dipolo elettrico Se il campo elettrico non è uniforme la risultante delle forze non è nulla Calcoliamo la forza totale lungo l'asse z Semplifichiamo limitandoci a un caso bidimensionale Analogamente, per la forza 2 Calcoliamo la componente z della forza totale sul dipolo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 254

24 Forze sul dipolo elettrico Generalizzando a tre dimensioni Si trovano equazioni analoghe per le altre componenti Le equazioni possono essere riassunte in un'unica formula vettoriale Sottolineiamo che la forza sul dipolo è proporzionale al gradiente del campo Ribadiamo che se il campo è uniforme la forza è nulla Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 255

25 Dipoli atomici Il semplice modello "planetario" di atomo ha le caratteristiche di un dipolo Consideriamo ad esempio un atomo di idrogeno L'elettrone e il nucleo costituiscono un dipolo Un dipolo ruotante Il momento di dipolo mediato nel tempo sarebbe nullo Tuttavia dovrebbe emettere radiazione Uno dei problemi insolubili dalla elettrodinamica classica Risolto con la meccanica quantistica Utilizziamo un modello più aderente alla realtà Lo abbiamo già visto Un nucleo positivo puntiforme di carica +q Una distribuzione sferica di carica negativa q Se non lo perturbiamo ha una simmetria sferica Il momento di dipolo è nullo Tuttavia un campo elettrico esterno può alterare la simmetria Spostare le cariche elettriche: negativa verso il basso, positiva verso l'alto L'atomo così perturbato ha un momento di dipolo Calcoliamo il momento di dipolo in funzione del campo elettrico esterno E Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 256

26 Dipoli atomici Consideriamo il campo elettrico generato dalla distribuzione sferica e uniforme di carica negativa (l'elettrone) Supponiamo che il campo esterno non modifichi la forma sferica della distribuzione di carica degli elettroni Abbiamo visto che l'effetto netto del campo elettrico esterno è spostare il nucleo positivo rispetto al centro della sfera di elettroni Lo carica negativa attrae il nucleo verso il centro della carica elettronica Il campo esterno respinge il nucleo dal centro della carica elettronica Otteniamo l'equilibrio ad una distanza d dal centro dove il campo esterno è uguale al campo della distribuzione sferica Abbiamo già risolto questo problema (vedi diapositiva ) Per una sfera di raggio R e carica totale q, il campo ad una distanza d dal centro della sfera è dato da La distanza d è determinata dalla condizione Otteniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 257

27 Dipoli atomici Se il nucleo positivo è spostato di una distanza d l'atomo è equivalente ad un dipolo di due cariche ±q a distanza d L'atomo è pertanto equivalente ad un dipolo elettrico La relazione appena trovata diventa Il coefficiente α prende il nome di polarizzabilità atomica Un calcolo esatto utilizzando la meccanica quantistica dà il seguente risultato La tabella nella diapositiva seguente mostra le polarizzabilità di alcuni atomi Spesso invece di α si definisce polarizzabilità atomica il rapporto Si misura in m 3 Per l'idrogeno a 0 raggio di Bohr Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 258

28 Dipoli atomici Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 259