Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Forze sui dipoli magnetici Invarianza relativistica della carica Trasformazione di Lorentz del campo E Anno Accademico 2018/2019

2 Campo non uniforme Supponiamo di costruire il sistema con la spira quadrata appena descritto Vogliamo trasportare una spira da una regione senza campo magnetico ad una regione con un campo B in modo che il momento magnetico sia allineato con B Ovviamente occorre attraversare regioni in cui il campo B non è uniforme Supponiamo inoltre che la spira sia vincolata a muoversi solo nella direzione x Per effetto del campo magnetico vengono esercitate forze sui lati della spira Ignoriamo le forze sui lati 2 e 4 dirette lungo l'asse y Le forze sui lati 1 e 3 sono rispettivamente Calcoliamo il lavoro fatto dalle forze esterne F e1 e F e3 che bilanciano esattamente le forze magnetiche Il lavoro fatto per spostare i lati della spira dalla regione con campo nullo (x i ) a x 1 e x 3 è rispettivamente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 107

3 Campo non uniforme Pertanto il lavoro fatto dalle forze esterne è Supponiamo adesso che le dimensioni della spira siano piccole Il campo B varia poco spostandosi di w Naturalmente il lavoro meccanico fatto è uguale all'energia potenziale del sistema Il valore trovato coincide con il risultato del calcolo precedente Possiamo anche calcolare la forza che agisce sulla spira ad ogni istante Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 108

4 Campo non uniforme Calcoliamo una forma approssimata per B(x k ) rispetto a x c Calcoliamo nuovamente il lavoro fatto dalla forza per passare dalla regione iniziale dove B z = 0 alla posizione finale con campo B z Ancora una volta abbiamo ritrovato il risultato della diapositiva Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 109

5 Campo non uniforme L'espressione per l'energia potenziale che abbiamo trovato È il lavoro fatto per costruire un sistema con un dipolo magnetico allineato al campo magnetico Ci sono molte sottigliezze in questa energia Per trattarle adeguatamente occorre prima comprendere il fenomeno dell'induzione elettromagnetica Dimostriamo che nel caso generale di campo B e momento magnetico in direzioni arbitrarie la formula per la forza diventa È interessante confrontare con la formula che avevamo trovato per la forza su un dipolo elettrico Nella diapositiva 255 del primo semestre avevamo trovato Le due formule sono simili ma la differenza è sostanziale Sottolineeremo con degli esempi la differenza Vedremo che le due formule sono equivalenti solo in particolari situazioni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 110

6 Dipolo in campo non uniforme Calcoliamo la forza esercitata su un circuito percorso da corrente in un campo di induzione magnetica B non uniforme Consideriamo una spira quadrata sul piano z y, di lato Δ e percorsa da una corrente I Il suo momento magnetico è lungo l'asse x Il campo di induzione magnetica al centro è B=B(r) Calcoliamo la forza sulla spira Gli integrandi dei 4 integrali sono Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 111

7 Dipolo in campo non uniforme Sviluppiamo i campi al primo ordine Inseriamo nella formula Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 112

8 Dipolo in campo non uniforme Calcoliamo l'integrale Consideriamo le derivate costanti lungo l'integrale (Δ è piccolo) Da ora in poi le derivate sono calcolate nel punto r Otteniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 113

9 Dipolo in campo non uniforme Calcoliamo i prodotti vettoriali Otteniamo infine Ricordiamo che Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 114

10 Dipolo in campo non uniforme Ricordiamo che questa formula è stata ricavata per Un dipolo magnetico orientato lungo l'asse x Un campo magnetico non uniforme e in direzione arbitraria Osserviamo che Dentro la parentesi graffa abbiamo l'operatore applicato a B x Il dipolo orientato lungo x ha "selezionato" la componente B x Se avessimo scelto un dipolo lungo y o lungo z la componente del campo B interessata sarebbe stata B y o B z rispettivamente L'argomento dell'operatore deve pertanto essere m B Possiamo pertanto scrivere la formula nella sua forma finale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 115

11 Campo B di uno strato di corrente Consideriamo un piano infinito di corrente, parallelo al piano z y e che si estende da x = a a x = +a All'interno del parallelepipedo la densità di corrente è uniforme e vale Calcolare il campo di induzione magnetica B Innanzitutto utilizziamo considerazioni di simmetria per determinare la direzione del campo magnetico La componente B z è nulla La legge di Biot e Savart dice che B è perpendicolare a J La componente B x è anch'essa nulla Supponiamo sia diversa da zero Il suo senso deve invertirsi se invertiamo J Invertire il verso di J è equivalente a ruotare di π intorno all'asse x Pertanto B x = 0 Pertanto l'unica componente non nulla è B y Per la legge di Biot e Savart B è nel senso positivo delle y per x > 0 e nel senso negativo delle y per x < 0 Per x = 0 B y = 0 perché i contributi si annullano Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 116

12 Campo B di uno strato di corrente Riassumendo Per determinare il modulo di B utilizziamo la legge di Ampère Consideriamo la sezione sul piano x y La densità di corrente "entra" nel piano Consideriamo il circuito amperiano in figura Calcoliamo il rotore per x < a Altrove è nullo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 117

13 Forza sul dipolo magnetico L'esercizio precedente ci fornisce l'esempio di un campo di induzione magnetica B non uniforme Il campo B non è uniforme per x < a Calcoliamo la forza su un dipolo magnetico Consideriamo un dipolo magnetico posto nell'origine e diretto lungo x La forza sul dipolo è Se la formula della forza fosse quella del dipolo elettrico La forza per un dipolo magnetico nell'origine e diretto lungo y La forza sul dipolo magnetico è sbagliato Se la legge della forza fosse quella del dipolo elettrico sbagliato Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 118

14 Forza sul dipolo magnetico Cerchiamo di comprendere meglio perché le due formule sono differenti Troviamo una relazione fra le due formule Utilizziamo la relazione della diapositiva Otteniamo Il secondo e il quarto termine sono nulli Il momento di dipolo m è indipendente dalla posizione Ma B = μ 0 J Pertanto Osserviamo che in elettrostatica le due formule danno lo stesso risultato perché E = 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 119

15 Forza sul dipolo magnetico Per finire verifichiamo che il termine aggiuntivo ripristina il risultato corretto Nella regione x < a la densità di corrente e il campo magnetico sono Consideriamo il caso Il risultato della formula sbagliata era Infine il caso Il risultato della formula sbagliata era Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 120

16 Invarianza relativistica della carica Iniziamo una serie di ragionamenti e di studi che ci porteranno a comprendere come la forza magnetica sia un fenomeno intimamente connesso con la forza elettrica e con la relatività ristretta Iniziamo con la misura della carica elettrica quando la particella carica è in movimento Possiamo misurare una carica q utilizzando una carica nota Q e la legge di Coulomb Questa procedura va benissimo quando le cariche sono a riposo Se le cariche sono in movimento la forza può dipendere da altri fattori Può dipendere dal modulo della velocità e dalla sua direzione Il valore della carica misurato nei due casi potrebbe essere diverso È un fatto sperimentale di fondamentale importanza che la legge di Gauss vale anche per le cariche in movimento Significa che sebbene il valore del campo E in ogni punto della superficie può essere differente rispetto al suo valore quando v = 0 tuttavia il flusso attraverso S t è invariato Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 121

17 Invarianza relativistica della carica Il significato di S t (dipendente dal tempo) è il seguente Il campo elettrico generato da q è misurato in tutti i punti della superficie allo stesso tempo t Un altro fatto di fondamentale importanza è che il valore della carica elettrica all'interno della superficie non dipende dalla velocità con cui si muove la carica Una situazione completamente differente da quanto succede per la massa La massa dipende dalla velocità con cui esse si muovono La carica è sempre la stessa Si pensi ad esempio ad un conduttore La carica totale (ioni + elettroni) è nulla Se si scalda il conduttore la velocità delle particelle aumenta Aumenta di più per gli elettroni che per gli ioni Se la carica dipendesse dalla velocità il conduttore non sarebbe più neutro La carica elettrica è un invariante relativistico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 122

18 Contrazione di Lorentz Ricordiamo un'importante conseguenza della y y' v relatività ristretta Consideriamo un sistema di riferimento fermo S S S' Consideriamo un sistema inerziale S che si muove con velocità v lungo la direzione x Nel sistema S c'è una barra solidale con il sistema La barra è a riposo in S e la sua lunghezza è L 0 La barra è parallela all'asse x Nel sistema S la barra ha una lunghezza differente O O' Si è scoperto che la lunghezza della barra nel sistema S è inferiore x x' Contrazione di Lorentz Èusuale definire Utilizzando γ Lungo le direzioni perpendicolari alla velocità v le lunghezze sono invariate Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 123

19 Densità di carica Consideriamo un piano di carica con densità superficiale σ Consideriamo un rettangolo di lati a e b: S = ab La carica all'interno del rettangolo è q = σs Supponiamo adesso che il piano si muova con una velocità v parallela al lato a del rettangolo Il lato a subisce una contrazione di Lorentz La superficie del rettangolo subisce la stessa contrazione La carica dentro il rettangolo in moto è ma la carica è un invariante Vista nel sistema S la densità di carica del piano in movimento è aumentata Valgono le stesse relazioni per le densità di volume e le densità lineari Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 124

20 Trasformazione di Lorentz del campo E Vogliamo adesso ricavare le trasformazioni di Lorentz del campo elettrico Da un sistema inerziale S ad un sistema S che si muove con velocità v verso sinistra Utilizzeremo il campo di un sistema particolare Il campo elettrico fra due piani infiniti di carica Il risultato vale per qualsiasi campo elettrico Indipendentemente dalle particolarità delle sorgenti del campo Se le proprietà del campo dipendessero da come z S O z' S' O' v è stato generato sarebbe un concetto di nessuna utilità I piani di densità ±σ sono a riposo in S Sappiamo che in S il campo elettrico è perpendicolare ai piani e vale Il campo elettrico non dipende dalla distanza da piano Consideriamo adesso uno dei piani visto in S In S il piano si muove con velocità v Esiste una direzione privilegiata Il campo potrebbe avere la forma in figura Vedremo che in realtà le linee sono perpendicolari x x' Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 125

21 Trasformazione di Lorentz del campo E Anche se linee di campo non fossero perpendicolari il campo fra i due strati avrebbe la forma che conosciamo Sappiamo che la legge di Gauss vale in tutti i sistemi inerziali Anche in S il campo elettrico è determinato dalla densità di carica σ Inoltre abbiamo visto che l'invarianza relativistica della carica richiede che Abbiamo pertanto Pertanto la trasformazione di un campo elettrico perpendicolare alla velocità relativa dei due sistemi di riferimento è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 126

22 Trasformazione di Lorentz del campo E Si può seguire una procedura analoga per la componente del campo elettrico parallela alla velocità relativa fra i due sistemi Consideriamo due piani infiniti di carica La densità di carica è σ nel sistema S Le dimensioni trasversali non cambiano in S La densità di carica è σ = σ anche in S In questo caso la simmetria del problema impone che le linee di campo siano lungo l'asse x Possiamo applicare la legge di Gauss La distanza fra i piani in S è ridotta del fattore γ Tuttavia il valore del campo E ricavato con la legge di Gauss non dipende dalla distanza Otteniamo pertanto z S O z' S' O' v x x' Mettiamo insieme i due risultati E è la componente di E parallela alla velocità relativa E è la componente di E perpendicolare alla velocità relativa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 127

23 Trasformazione di Lorentz del campo E Abbiamo pertanto ottenuto le trasformazioni di Lorentz per il campo elettrico z S z' S' v O O' Vale la pena sottolineare che in S stiamo considerando x un campo elettrostatico E eche B = 0 (le cariche sono a riposo in S) Nonostante siano state ottenute per un sistema particolare (due piani infiniti di carica) esse valgono qualunque sia la configurazione delle sorgenti Notiamo inoltre che non dipendono dal segno di v Questo ci permette di comprendere che la forma ipotizzata per le linee di campo nel sistema S non è possibile Il campo trasformato deve essere lo stesso per ±v NO Per rendere più semplice ricordarsi le formule: Il sistema S è quello in cui le sorgenti sono a riposo Il sistema S è quello in cui le sorgenti si muovono con velocità v La componente del campo elettrico perpendicolare alla velocità è meno intensa nel sistema inerziale in cui le cariche sono a riposo SI x' Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 128