Fenomeni Magnetici. Campo Magnetico e Forza di Lorentz. Moto di cariche in campo magnetico. Momento e campo magnetico di una spira.

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1 Fenomeni Magnetici Campo Magnetico e Forza di Lorentz Moto di cariche in campo magnetico Momento e campo magnetico di una spira Legge di Ampère Solenoide

2 Campo Magnetico I fenomeni magnetici possono essere ricondotti all esistenza di un campo magnetico B, che produce una forza magnetica (di Lorentz) FB sulle sole cariche in moto: per una carica q che si muove a velocità v, FB = q v B Notare che la forza magnetica non è diretta come il campo ma ortogonale ad esso! La forza dipende dal segno della carica e dalla sua velocità.

3 Campo Magnetico II Nel SI, il campo magnetico si misura in Tesla (T): 1T=1 Volt s/m 2. Si usa anche il Gauss: 1 G=10 4 T, circa uguale al campo magnetico sulla superficie terrestre. In laboratorio si arriva a produrre campi magnetici di qualche decina di T continui, un migliaio per tempi brevi. Si possono tracciare le linee di campo magnetico, come nell esempio accanto per il campo magnetico prodotto da una sbarretta magnetizzata. Hanno un andamento qualitativamente diverso da quelle di campo elettrico: non escono mai da un punto, ma sembrano girare. Il flusso del campo magnetico su di una superficie chiusa qualunque è sempre nullo.

4 Esempio Elettrone in tubo catodico con velocità v = m/s lungo x, sotto campo magnetico B = T nel piano xy a 60 rispetto all asse x: 1. Forza magnetica agente sull elettrone? 2. Scrivere espressione vettoriale per la forza. F B = e vb sin θ = ( )C( )m/s(0.025)t(sin 60 ) da cui F B = N lungo z, verso il basso (la carica dell elettrone è negativa) Scriviamo v = vî, B = B(î cos 60 + ĵ sin 60 ): F B = e vbî (î cos 60 + ĵ sin 60 ) = e vb sin 60 ˆk

5 Effetti del campo magnetico Il campo magnetico produce una forza sulle cariche in moto, ortogonale sia al campo magnetico che alla direzione di moto della particella. Di conseguenza, la forza magnetica non fa lavoro sulla particella! Com è possibile riconciliare forza magnetica e relatività galileiana? una particella ha velocità diverse in sistemi di riferimento inerziali diversi! In effetti non è possibile riconcilare le due cose: dobbiamo sostituire alla relatività di Galileo quella di Einstein. Una forza ortogonale alla velocità e costante in modulo produce un moto circolare uniforme. Il raggio r dell orbita (in figura: q > 0, moto in un piano, campo B che entra nel piano) è dato da: F b = qvb = m v2 r = r = mv qb

6 Effetti del campo magnetico II Il campo magnetico esercita una forza su fili percorsi da corrente. Corrente I = cariche in moto con velocità media v d lungo il filo. Vale la relazione v d dq = Id l fra velocità e corrente. Forza magnetica su un elemento di lunghezza d l: d F B = dq v d B = Id l B. Per un filo di lunghezza finita, bisogna sommare i vari contributi infinitesimi: F B = I d l B L integrale è fatto lungo il filo. In generale, il campo magnetico può variare lungo il filo. Per B costante ed un tratto di filo di lunghezza l: F B = I l B

7 Cariche in campo magnetico Particelle cariche che penetrano in un campo magnetico B uniforme percorrono delle spirali, con l asse lungo B: la componente v della velocità parallela al campo magnetico non è influenzata dal campo e la carica prosegue con moto rettilineo uniforme in quella direzione. Il moto circolare uniforme nel piano perpendicolare a B avviene con velocità angolare ω L (frequenza di Larmor) indipendente dalla velocità nel piano v : mω 2 Lr = qω L rb = ω L = q m B. Il raggio r dell orbita può essere scritto come r = mv qb = p qb. Notare come il raggio dipenda dal rapporto q/m.

8 Cariche in campo elettrico e magnetico Se oltre al campo magnetico B è presente un campo elettrico E, la forza agente sulla carica sarà F = q( E + v B). Esempio: selettore di velocità. Il campo B entra nel piano della pagina. Solo le particelle di velocità v tale che v B = E non sono deflesse. Particelle con velocità differente sono deviate.

9 Spettrometro di massa Inviamo le particelle uscite dal selettore di velocità con velocità v in un secondo campo magnetico. Le particelle percorreranno una semicirconferenza con raggio r = mv/qb 0 : Si possono così distinguere particelle con massa diversa e carica uguale.

10 Forze e Momento torcente su di una spira Consideriamo una spira: un circuito chiuso in cui scorre una corrente I. Per semplicità assumiamo una spira rettangolare di lati a e b. In un campo magnetico B costante, la forza totale agente sulla spira è nulla: lati opposti danno contributi alla forza totale di verso opposto. Si può dimostrare che ciò è vero qualunque sia la forma della spira. C e però un momento torcente che agisce sulla spira. Nell esempio qui a sinistra, in cui B è diretto lungo i lati 1 e 3, il momento torcente è τ = 2(b/2)(aIB) = (abi)b, dove b/2 = braccio del momento, aib = modulo della forza agente sui lati 2 e 4; τ è ortogonale al piano della pagina e provoca una rotazione in senso orario.

11 Momento magnetico di una spira Se B forma un angolo θ con la normale al piano della spira, il momento torcente diventa τ = (abi)b sin θ. Introduciamo un vettore A di modulo S = ab, superficie della spira, e direzione ortogonale al piano della spira. Il verso di A è scelto secondo la regola della mano destra qui sotto Introduciamo quindi il momento di dipolo magnetico: µ = IA. Questo è un vettore diretto come A sopra definito.

12 Energia e momento torcente per dipolo magnetico Si vede immediatamente (e si può dimostrare per spire di forma qualunque) che il momento torcente agente su di una spira è τ = µ B. Analogamente a quanto fatto per il dipolo elettrico, si può introdurre l energia E B potenziale per un dipolo magnetico in un campo magnetico: E B = µ B. Questa energia potenziale vale anche per campi magnetici non costanti. L ago magnetico della bussola contiene dipoli microscopici che si allineano nella direzione del campo magnetico terrestre. Il polo nord di una spira è determinato dal verso del suo momento di dipolo magnetico

13 Chi genera il campo magnetico? Il campo magnetico è generato da cariche in movimento (Oersted 1812). Una carica q che viaggia a velocità v genera un campo magnetico a distanza r dalla carica: v ˆr B = k m q r 2 dove k m è l analogo magnetico della costante k della legge di Coulomb. Se una corrente I scorre in un filo, vale la relazione Id l = vdq. Possiamo allora scrivere d B = k m I d l ˆr r 2 (legge di Biot e Savart) per il campo magnetico generato d B da una corrente I che scorre in una lunghezza d l di filo.

14 Campo magnetico di correnti Cosa è la costante k m? Nel SI, si pone ( µ0 ) k m = 10 7 Tm/A = 10 7 N/A 2 4π Storicamente, è tramite questa relazione che si è definito l Ampère, e dall Ampère il Coulomb. Notare come le linee di campo magnetico abbiano la forma di linee circolari coassiali ( girano attorno al filo). Il verso delle linee si può determinare usando la regola della mano destra come in figura. Applicando la legge di Biot e Savart si può determinare il campo magnetico prodotto da una distribuzione di correnti qualunque.

15 Ordine di grandezza delle forze magnetiche Le forze magnetiche sono di solito piccole rispetto alle forze elettriche. Consideriamo due cariche q e q in moto con velocità v e v parallele. Il campo generato dalla carica q: B = ( µ0 4π ) v ˆr q r 2 esercita una forza sulla carica q di modulo F m = q v B = da confrontarsi con la forza elettrica: ( µ0 4π F e = 1 4πɛ 0 qq r 2. ) qq r 2 vv Il rapporto F m /F e = µ 0 ɛ 0 vv = vv /( ) 2 è molto piccolo per velocità lontane da quella c della luce (in effetti µ 0 ɛ 0 = 1/c 2 ).

16 Campo di un dipolo magnetico Consideriamo una spira circolare di raggio R percorsa da corrente I. Il campo su di un punto lungo l asse è ( µ0 ) 2 µ B 4π x 3 dove µ = πr 2 I ˆx è il momento magnetico della spira. Le linee di campo escono dal polo Nord ed entrano nel polo Sud (il polo Nord vede la corrente girare in senso antiorario). L energia potenziale E B di una spira nel campo di un altra vale E B = µ 1 B 2, da cui si ricava che poli magnetici opposti si attraggono, poli magnetici uguali si respingono.

17 Un grosso dipolo magnetico; la Terra Per cause tuttora non ben chiare probabilmente correnti nel nucleo la Terra è un dipolo magnetico di momento µ T A m 2. Il campo magnetico terrestre non è perfettamente allineato con l asse di rotazione terrestre, ma forma con esso un angolo di un po più di 11 o. Da notare che che quello che chiamiamo Polo nord è in realtà prossimo al polo sud magnetico!

18 Forza fra due fili rettilinei Consideriamo due conduttori paralleli a distanza a percorsi da correnti I 1 e I 2. Il campo generato dal conduttore 2 sul conduttore 1 ha modulo ( µ0 ) 2I2 B 2 = 4π a e direzione perpendicolare al piano dei due conduttori. La forza magnetica su di un tratto infinitesimo del conduttore 1 vale in modulo df = I 1 B 2 dl = ( µ0 4π ) 2I1 I 2 a dl e quindi, per un tratto di lunghezza l: F = ( µ0 4π ) 2I1 I 2 a l.

19 Legge di Ampère Consideriamo un filo rettilineo infinito percorso da una corrente ( I. Il campo magnetico generato dal filo vale µ0 ) 2I B =, diretto tangenzialmente a circonferenze 4π r coassiali al filo, secondo la regola della mano destra. L integrale di linea del campo (circuitazione) su di una circonferenza vale B d ( µ0 ) 2I l = 4π r (2πr) = µ 0I. Tale risultato ha validità generale: per un percorso chiuso qualunque, concatenato a conduttori ove passa una corrente totale I, vale la seguente Legge di Ampère: B d l = µ 0 I. E l analogo magnetico del teorema di Gauss in elettrostatica e ci dà un modo alternativo per ottenere il capo magnetico dalle correnti.

20 Campo di un solenoide rettilineo Un solenoide rettilineo è un insieme di spire avvolte su di un cilindro. In generale, il campo di un solenoide ha una forma complessa che ricorda quello di una calamita. Consideriamo il caso semplice di solenoide rettilineo infinito, o comunque con diametro piccolo rispetto alla lunghezza, tramite la legge di Ampère. Usiamo la legge di Ampère sul percorso 1234 in figura: B d l = µ 0 NI = B = µ 0 N l I assumendo B come in figura (notare le linee di campo). Con ottima approssimazione, B = µ 0 ni dentro il solenoide (n =numero di spire per unità di lunghezza); B = 0 fuori (pensare al secondo percorso tutto esterno).