La forza è detta forza di Lorentz. Nel Sistema Internazionale l unità di misura

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1 13. Magnetismo 13.1 La forza i Lorentz. Il magnetismo è un fenomeno noto a molti secoli, ma fino all inizio ell ottocento la teoria trattava i calamite, aghi magnetici e elle loro interazioni con il magnetismo terrestre. La peculiarità elle calamite era il loro presentarsi sempre con ue poli i segno opposto che non si riuscivano mai a isolare, spezzano una calamita si avevano ue calamite ognuna con ue poli. I poli vengono chiamati nor e su perché un ago magnetico libero si orienta lungo una irezione prossima a quella nor-su geografica. In quel perioo viene fatta una prima scoperta fonamentale, una corrente elettrica interagisce con un ago magnetico, a questa prima osservazione eriva lo sviluppo sperimentale che portò fino a una teoria unificata per elettricità e magnetismo. La ifferenza fonamentale è che non sono mai state scoperte cariche magnetiche isolate, monopoli magnetici. Nel capitolo 11 abbiamo efinito il campo elettrico tramite la forza esercitata su una carica, efiniamo in maniera analoga il campo magnetico tramite la forza esercitata su una carica in movimento con velocità v in una zona i spazio ove è un campo magnetico B F =q v B La forza è etta forza i Lorentz. Nel Sistema Internazionale l unità i misura N el campo magnetico è il Tesla (T), 1T = 1 C m/s = 1 N A m per avere una iea ell intensità el campo notiamo che il campo magnetico terrestre è circa T. Dalla efinizione i prootto vettore notiamo che la forza ha moulo qvb sin θ, ove θ è l angolo tra le irezioni i v e i B, irezione ortogonale al piano

2 iniviuato ai ue vettori v e B e verso positivo se i tre vettori sono orientati secono una terna cartesiana estrorsa. Questa efinizione i forza i Lorentz, ovvero la forza è ortogonale a v e B ha alcune conseguenze particolarmente importanti: la forza non compie lavoro la forza non cambia il moulo i v la forza non varia l energia cinetica ella carica Per chiarirci le iee proviamo a scomporre la velocità nelle sue componenti parallela e perpenicolare al campo magnetico. La componente i v nella irezione i B si mantiene costante, e la forza i Lorentz è zero; per quanto riguara la componente i v perpenicolare a B questa a origine a una forza che farà eviare il moto in irezione ortogonale a v ovvero alla tangente alla traiettoria ella carica, localmente cioè su una traiettoria circolare. Consieriamo il caso semplice i una carica q che si muove in un campo magnetico costante. Se le irezioni i v e B sono perpenicolari la carica farà un moto circolare uniforme, la forza i Lorentz è la forza centripeta e vale per l accelerazione centripeta la relazione: ma c =qvb m v2 =qvb, possiamo quini r trovare il raggio ell orbita circolare r= mv qb. Naturalmente possiamo calcolare anche la frequenza angolare con cui si muove la carica ω=qb/m. Nel caso la carica abbia anche una componente i v nella irezione i B avremo un moto elicoiale, ovvero la carica si muoverà nella irezione i B con velocità costante mentre percorre una circonferenza nel piano ortogonale Forza su un conuttore percorso a corrente. Consieriamo un conuttore elettrico, a esempio un filo i rame, al cui interno stia scorreno ella corrente, nel paragrafo preceente abbiamo visto che una carica che si muove in un campo magnetico risente ella forza i

3 Lorentz, ci aspettiamo allora che le cariche in moto risentano i una forza, e poiché sono confinate all interno el conuttore ci aspettiamo i avere una forza sul conuttore, effettivamente se proviamo a realizzare l esperimento veiamo che il filo viene spostato. Proviamo a calcolare questa forza. Consieriamo un tratto i filo rettilineo i lunghezza l percorso a una corrente i sul piano orizzontale e immerso in un campo magnetico iretto perpenicolarmente al piano stesso verso il basso. Il fatto che nel filo circola una corrente equivale a ire che le cariche si muovono nel filo con una velocità i eriva v. Il moulo ella forza agente sulla singola carica è F =qv B, la corrente costante che circola nel filo si può scrivere come i=q/ l /v, ovvero la carica che passa nel filo iviso il tempo che ci mette a attraversare il filo. Possiamo unque mettere insieme queste ue relazioni e otteniamo che: F = il /v v B=ilB. Il filo risente unque i una forza che tenerà verso la sinistra i un osservatore che si muove con la corrente. Se il campo magnetico non fosse stato ortogonale alla corrente, ma avesse formato un angolo θ con la sua irezione avremmo ovuto tenerne conto naturalmente e sarebbe risultato F =qv B sin θ. Possiamo allora scrivere questa relazione in forma vettoriale, se abbiamo un filo rettilineo i lunghezza l percorso a una corrente i immerso in un campo magnetico costante esso risente i una forza: 13.2 F =i l B Poiché non sempre saremo così fortunati a avere un filo rettilineo che mantiene fisso il suo orientamento rispetto al campo magnetico, possiamo generalizzare la formula 13.2, consieriamo la forza F agente su un pezzetto infinitesimo l i conuttore sarà F =i l B, possiamo allora scrivere che la forza su i un generico conuttore, che si estene a un punto A a un punto B, percorso a corrente e immerso in un campo magnetico vale: B 13.3 F = i l B A

4 13.3 Momento i una spira conuttrice percorsa a corrente. Nel paragrafo preceente abbiamo parlato ella forza su un conuttore percorso a corrente, vogliamo ora preoccuparci ora el caso in cui la forza i Lorentz abbia un momento iverso a zero. Consieriamo una spira conuttrice, ovvero un filo chiuso su se stesso, a esempio una spira rettangolare percorsa a una corrente i e orientata in moo tale che la normale al piano in cui giace formino un angolo θ con la irezione i B e che ue lati siano perpenicolari al campo B. Le forze sui lati L hanno stesso moulo e verso opposto, esse tenono a eformare il circuito, ma non anno un momento, le forze sui ue lati L anno invece un momento il cui moulo è 13.4 ibl L 'sin θ il prootto LL' è l area ella spira, se inichiamo con A il vettore avente moulo l area ella spira e perpenicolare alla spira stessa possiamo scrivere che il campo esercita un momento: 13.5 τ =i A B La quantità μ=i A viene etta momento magnetico ella spira, abbiamo quini che il momento ella forza sulla spira vale: 13.6 τ = μ B La relazione che abbiamo trovato per una spira rettangolare può essere generalizzata e risulta vera per spire i qualunque forma. Se abbiamo un sistema formato a N spire avvolte insieme, una bobina, attraversate alla stessa corrente, il momento sarà N volte quello appena calcolato.

5 13.4 Legge i Biot e Savart Nell introuzione el capitolo abbiamo accennato al fatto che aghi magnetici e correnti interagiscono, questo significa che una conuttore percorso a corrente esercita una forza su un magnete. Possiamo ire unque che un filo percorso a corrente genera un campo magnetico. Se consieriamo un elemento piccolo, al limite infinitesimo, i filo l percorso a una corrente i, sperimentalmente risulta per il campo B generato in un punto P a istanza r all elemento i filo stesso: B è perpenicolare a l e a r il moulo i B varia come r 2 il moulo i B è proporzionale a i e alla lunghezza i l il moulo i B è proporzionale a sin θ ove θ è l angolo tra l e r Quanto etto si può riassumere nella seguente forma vettoriale che esprime la legge i Biot e Savart: 13.7 B= μ 0 4 π la costante μ 0 vale 4 π 10 7 i l r r 3 N/A, e è etta permeabilità magnetica el vuoto. Il moulo el campo magnetico può essere scritto come B= μ 0 4 π i l r 2 sin θ. La legge i Biot e Savart à il campo magnetico generato a un elemento infinitesimo i conuttore, se vogliamo il campo B obbiamo integrare su tutti gli elementi l in cui è suiviso il conuttore. Si può notare che questa legge ha notevoli analogie con la legge i Coulomb per l elettrostatica: una carica elettrica puntiforme prouce un campo elettrico la cui intensità varia come r 2, un elemento i corrente prouce un campo magnetico la cui intensità varia i nuovo come r 2, bisogna per fare attenzione che le irezione ei ue campi sono completamente iverse. Veiamo a esempio il campo magnetico generato a un filo, i lunghezza inefinita e percorso a corrente i, a una istanza r alla stesso.

6 Nel punto P per ogni elemento l il campo è ortogonale al piano eterminato a P e alla corrente quini è tangente al cerchio che passa per P ha centro sul filo e giace sul piano perpenicolare alla corrente. Quano integriamo tutti gli elementi l contribuisco nella stessa irezione, possiamo quini passare al solo moulo el campo che risulta B= μ 0 4 π i sin θ r 2 inicano con R la istanza tra il punto P e il filo: 13.8 B= μ 0 i 2 πr l, svolgeno i calcoli e Veiamo ora il campo magnetico generato sull asse i una spira circolare i raggio R percorsa a una corrente i: Dato un punto P sull asse ella spira a istanza x alla stessa, tutti gli elementi l sono perpenicolari a r e si trovano alla stessa istanza r al punto P: r 2 =x 2 R 2. Il moulo el campo vale inoltre B= μ 0 i l. Possiamo anche 4 π x 2 R 2 veere che il campo ha una componente lungo l asse ella spira e una nella irezione ortogonale. Per ragioni i simmetria l integrale su tutta la spira ella componente ortogonale fa zero, possiamo quini interessarci alla sola

7 componente lungo l asse B cos θ e integrarla su tutta la spira teneno conto che cosθ= R x 2 r 2 B= μ 0 i cos θ l 4 π x 2 R 2 = μ 0 i 4 π 1/2 si ottiene il seguente integrale: R x 2 R 2 3/2 l= μ 0 ir 2 2 x 2 R 2 3/2 Nel centro ella spira questo campo iventa: 13.9 μ 0 i 2 R 13.5 Forza tra ue conuttori paralleli percorsi a corrente Abbiamo etto nei paragrafi preceenti che un conuttore percorso a corrente risente ella forza i un campo magnetico e che un conuttore percorso a corrente è una sorgente i campo magnetico. Da ciò euciamo che se abbiamo ue conuttori percorsi a corrente ciascuno eserciterà sull altro una forza meiata al campo magnetico. Questa proprietà è i particolare interesse perché è usata per efinire l Ampere. Consieriamo ue fili paralleli i lunghezza inefinita percorsi a corrente: Il filo 1 prouce a una istanza un campo magnetico B 1 = μ 0 2 π i 1, la corrente nel filo 2 interagisce con il campo B 1 e la forza su una porzione L el filo 2 è quini F 1 2 =i 2 L B 1 = μ 0 2 π i 1 i 2 L. In maniera simmetrica, il filo 2 prouce a una istanza un campo magnetico B 2 = μ 0 2 π i 2, la corrente nel filo 1 interagisce con il campo B 2 e la forza su una porzione L el filo 1 è quini uguale alla

8 preceente in moulo F 2 1 =i 2 L B 1 = μ 0 2 π i 1 i 2 L correnti sono concori, repulsiva se sono iscori.. La forza è attrattiva se le ue DEFINIZIONE DELL AMPÈRE: 1 ampère è l intensità i corrente costante, che, mantenuta in ue conuttori paralleli, i lunghezza infinita e i sezione trascurabile, posti a una istanza i 1 m uno all altro nel vuoto, prouce tra tali conuttori la forza i N per metro i lunghezza Teorema i Ampere La legge i Biot e Savart ci mette in grao i calcolare il campo magnetico generato a un sistema i correnti, ma spesso i calcoli non sono semplici. Sarebbe utile una qualche formulazione che semplifichi il problema sfruttanone le eventuali simmetrie, in maniera analoga a quanto succee per il calcolo el campo elettrico i una istribuzione i cariche tramite il teorema i Gauss. Torniamo al caso el filo i lunghezza inefinita percorso a corrente, abbiamo visto che il campo in un punto P è tangente alla circonferenza che giace nel piano perpenicolare al filo, passa per P e ha il centro sul filo. Inoltre sappiamo che l intensità el campo è la stessa su tutta la circonferenza. Se aniamo a consierare la quantità B l sulla circonferenza passante per P notiamo che i ue vettori sono sempre paralleli quini per la quantità B l è costante su tutti i punti i una traiettoria circolare attorno al filo percorso a corrente e risulta: B l =B l= μ 0 i 2 π r 2 π r= μ 0 i Abbiamo calcolato questo risultato nel caso specifico el filo inefinito percorso a corrente, in realtà esso ha valiità generale e viene inicato con il nome i teorema i Ampere: l integrale i linea i B l lungo un qualunque percorso chiuso, etto anche circuitazione i B, è uguale al prootto i μ 0 per la corrente continua totale concatenata con il percorso.

9 13.10 B l = μ 0 i c Il teorema i Ampere svolge effettivamente per il campo magnetico il ruolo che il teorema i Gauss svolge per il campo elettrico, è utile soprattutto nel caso i istribuzioni i correnti con elevata simmetria. Bisogna prestare attenzione che esso è valio solo per correnti continue e che le correnti sono tutte e sole quelle concatenate al percorso. Nel isegno sottostante a esempio la corrente i 4 non è concatenata al percorso. Il teorema i Ampere può essere utilizzato per calcolare il campo el filo inefinito percorso a corrente, o visto che questo calcolo lo abbiamo già fatto per calcolare il campo i un solenoie ieale i lunghezza inefinita percorso a una corrente i. Il solenoie è un insieme i spire avvolte su un cilinro tutte percorse alla stessa corrente, un solenoie reale avrà chiaramente una lunghezza finita e il campo magnetico a esso generato somiglierà a quello el solenoie ieale nella regione lontana ai bori. Nel solenoie ieale il campo magnetico è parallelo all asse el solenoie e è costante all interno e zero all esterno, come può essere facilmente verificato sfruttano la sua simmetria. Se consieriamo il percorso rettangolare inicato in figura B l si può iviere in 4 parti:

10 b B l = a c B l b B l c a B l B l solo il primo termine è iverso a zero, infatti il campo magnetico è sempre nullo nel terzo integrale e è ortogonale a l nel secono e nel quarto. Risulta quini b B l = B l =Bh a al teorema i Ampere sappiamo che questo integrale eve essere anche uguale a μ 0 per la corrente concatenata al percorso, se N è il numero elle spire concatenate B l =Bh= μ 0 i c = μ 0 in e se introuciamo il numero i spire per unità i lunghezza n= N / h il campo magnetico el nostro solenoie risulta: B=μ 0 in