MOTO DI CARICHE IN CAMPI MAGNETICI

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1 MOTO DI CARICHE IN CAMPI MAGNETICI E1. Un protone (q = 1.6(10 19 )C, m = 1.67(10 7 )kg) con una velocità iniiale v = 4(10 6 m/s)i + 4(10 6 m/s)j entra in una ona dove vi è un campo magnetico uniforme = 0.3 T i. La traiettoria del protone sarà un elica con passo P pari circa a (A) 1 m () 3.14 m (C) 1.7 m (D) 0.87 m (E) 98 mm SOLUZIONE. Il protone è sottoposto alla fora di Lorent. Questo implica: 1. che solo la componente della sua velocità perpendicolare a, v, viene influenata da ;. che, poiché la fora di Lorent è perpendicolare a v, essa causerà un acceleraione di tipo centripeto nel piano ortogonale a ; 3. che il moto del protone nella direione di sarà rettilineo e uniforme con velocità v. Uguagliando il modulo della fora di Lorent al modulo della fora centripeta che agisce sul protone si ricava il raggio R dell elica: Il periodo T del moto circolare è quindi Il passo P dell elica corrisponde alla distana percorsa dal protone nella direione di in un tempo T: E. Un protone e una particella pesante circa quattro volte il protone e con carica doppia, iniialmente fermi, vengono accelerati dalla stessa differena di poteniale V ed entrano in una regione dello spaio con un campo magnetico perpendicolare alla loro velocità di entrata. Se il protone descrive in tale regione una traiettoria con raggio di curvatura R p, il raggio di curvatura della particella nel limite classico è di circa (A) 1.41 R p () 1.73 R p (C) 1.53 R p (D) 3.31 R p (E) SOLUZIONE. Dette m P e q P massa e carica del protone e indicando con il pedice le quantità relative alla seconda particella, le velocità di ingresso delle due particelle nel campo magnetico si trovano uguagliando il lavoro del campo elettrico all energia cinetica acquisita dalle particelle: Il raggio di curvatura è dato dall espressione ricavata nell eserciio precedente: quindi inserendo la prima relaione nella seconda si trova E3. Un elettrone con velocità v = (310 6 m/s)i +(410 6 m/s)j si muove in un campo magnetico = (0.04 T)i (0.03T)j. Il modulo della fora agente sull'elettrone è di (A) N () N (C) N (D) N (E) 1

2 SOLUZIONE. Dato che i vettori v e giacciono nel piano, il vettore F = qv è parallelo all asse. Calcolando il prodotto vettoriale troviamo [ ] [ ] E4. Un protone (m p = kg, q = C) entra con velocità di modulo v = 6(10 6 ) m/s in un campo magnetico uniforme = k e descrive una spirale di raggio R = 10 m e passo d = 10 m. L angolo acuto formato tra le direioni di e di v vale circa (A) () 45 (C) 60 (D) 81 (E) 90 SOLUZIONE. Dato che è diretto come l asse, la fora di Lorent F = qv non ha componenti lungo tale asse e la spirale descritta dal protone è la combinaione di un moto circolare uniforme nel piano e di un moto rettilineo uniforme lungo l asse. Indicata con v la componente della velocità che giace nel piano e con v la componente parallela a, l angolo si ricava dalla relaione v tan v è legata al passo della spirale dalla relaione d v T con T v πr v v πr tan π 81 v d, dunque E5. Dopo essere stato accelerato da una differena di poteniale V = 300 V un protone entra in una regione dove il campo di induione magnetica è perpendicolare alla direione del moto e in cui descrive una traiettoria circolare di raggio R = 0 cm; il modulo di vale circa (A) 1.44 mt () 7.6 mt (C) 1.5 mt (D) 31.4 mt (E) 74.5 mt SOLUZIONE. La velocità di ingresso del protone nel campo magnetico si trova uguagliando il lavoro del campo elettrico all energia cinetica acquisita dalla particella: Come ricavato nell eserciio 1, per il raggio del moto del protone vale la relaione E6. La fora che si esercita su uno ione He + (carica e = C, massa m 4 uma) in moto con velocità v = 10 5 m/s in un campo magnetico di modulo = 0.8 T perpendicolare alla direione del moto vale (A) 9.8(10 7 ) N ().56(10 14 ) N (C)3.(10 14 ) N (D).05(10 14 )N (E).6(10 9 )N

3 SOLUZIONE. Utiliiamo l espressione della fora di Lorent: E7. Uno ione diretto lungo l asse non viene deflesso in una regione dello spaio in cui vi è un campo elettrico di modulo E = 1.37 kv /cm nella direione e un campo magnetico di modulo = 0.14 T lungo. La velocità dello ione è di circa (A) 8.8(10 15 ) m/s () 3.43(10 3 ) m/s (C) 980 km/s (D) 550 km/s (E) SOLUZIONE. La situaione è rappresentata in figura nel caso di uno ione positivo. Lo ione è sottoposto alla fora di Coulomb F C e alla fora di Lorent F L che hanno la stessa direione ma versi opposti e, dato che la particella non viene deflessa, devono essere uguali in modulo: F C v E F L INDUZIONE ELETTROMAGNETICA E8. Una spira rettangolare di altea l 40 cm è = 0. T completata da un contatto mobile che viene spostato verso destra alla velocità costante v 3 m/s. Se il piano della 3 m/s spira è perpendicolare a un campo d induione magnetica 40 cm 3 uniforme di modulo 0. T e la resistena complessiva della spira è R 3, la fora necessaria per spostare il contatto mobile è pari a: (A) 0.4 N () 0.08 N (C) 3.14 mn (D) 6.40 mn (E) 9.80 mn SOLUZIONE. L aumento di flusso del campo magnetico attraverso la superficie chiusa delimitata dalla spira e dal contatto mobile genera nel circuito una f.e.m. pari a lv. La corrente indotta nella spira, in senso antiorario, è Il contatto mobile è quindi sottoposto a una fora ( l) v (0.40.) 3 F Il 6.40 mn R 3 con la stessa direione del suo moto ma verso opposto, che rappresenta la fora necessaria per spostarlo. 3

4 E9. Per rivelare le vibraioni di un macchinario si collega a questo un avvolgimento quadrato, lato medio L 5 cm, costituito da N 1000 spire e posto per circa la metà tra i poli di un magnete permanente dove 0.3 T. Se i terminali dell avvolgimento vanno a un oscilloscopio che consente di stimare al minimo una f.e.m. di 0.5 mv, qual è approssimativamente la minima velocità di spostamento rilevabile? (A) 1 m/s () 33 mm/s (C) 1 mm/s (D) 33 m/s (E) 10 m/s SOLUZIONE. La f.e.m. indotta nell avvolgimento e letta dall oscilloscopio vale NLv dove v è la velocità dell avvolgimento dovuta alle vibraioni del macchinario. Perché questa f.e.m. sia letta dall oscilloscopio, è necessario che si abbia: f.e.m. 0.5 mv N L v 510 v 33.3μm/s. N L E10. Un avvolgimento quadrato di N = 300 spire di lato L = 0 cm è fatto ruotare con velocità angolare costante attorno a una sua diagonale in un campo uniforme che forma un angolo di = 30 con l asse di rotaione. Se = 0.7 T e ai capi dell avvolgimento si misura una f.e.m. alternata sinusoidale con un valore efficace V eff =.97 V, la velocità angolare di rotaione è (A) 0 rad/s () 0.5 rad/s (C) 1.0 rad/s (D).0 rad/s (E) indeterminata SOLUZIONE. Possiamo scegliere il sistema di riferimento della figura, con l asse di rotaione dell avvolgimento coincidente con l asse. In questo sistema, le componenti di e di n sono rispettivamente: { { e il flusso di attraverso l avvolgimento vale La fora elettromotrice indotta nell avvolgimento è perciò: d ( ) V N S sin( ) sin( t) dt il cui valore efficace è Vma 1 V eff N S sin( ) La velocità angolare di rotaione dell avvolgimento è quindi: Veff.97 N S sin( ) rad/s n ϑ I E11. Un solenoide di N = 300 spire avvolte su un cilindro di ferro ( r = 600), lungo L = 40 cm e con una seione S = 8 cm, porta una corrente I = 1. A. Il flusso di attraverso una seione del solenoide vale circa: (A) 0.90 Wb ().84 Wb (C) 6.5 Wb (D) 170 Wb (E) 543 Wb 4 L S

5 SOLUZIONE. Il campo magnetico all interno del solenoide vale in modulo e il suo flusso attraverso una qualunque seione vale E1. Un filo d argento è avvolto su di un cilindro isolante vuoto e chiuso tra i punti Z e Y come in figura. Una barra di rame, iniialmente a destra del cilindro, è spinta con velocità costante attraverso il cilindro finché emerge completamente a sinistra. Durante questo moto: (A) degli elettroni passano da Y a Z e dopo da Z ad Y () degli elettroni passano da Z ad Y e dopo da Y a Z (C) non vi è corrente tra Y e Z (D) degli elettroni passano da Y a Z (E) degli elettroni passano da Z a Y Z Y SOLUZIONE. Il passaggio della barra di rame nel solenoide non causa in alcun caso un cambio del flusso di concatenato dal filo d argento del solenoide essendo la permeabilità magnetica del rame praticamente uguale a 1. Non si eccita è perciò alcuna f.e.m. e alcuna corrente. E13. La candela di un motore a scoppio è alimentata attraverso un avvolgimento, di resistena trascurabile, costituito da N = 7000 spire avvolte su un cilindro ferroso di raggio r 1 cm in cui il campo d induione magnetica viene portato da 1 T a 0.1 T in t 0. ms. Il valore medio della differena di poteniale ai capi dell avvolgimento è di circa: (A) 1.4 V () 10 V (C) 100 V (D) 10 3 V (E) 10 4 V SOLUZIONE. Il valore medio della f.e.m. indotta nell avvolgimento a causa della variaione di intensità del campo magnetico è E14. Un solenoide lungo L = 0 cm consiste di N = 400 fili avvolti su di un cilindro di alluminio di diametro D = 6 cm. Se l avvolgimento è percorso da una corrente oscillante sinusoidalmente con valore massimo I 0 = A e periodo T = 0 ms, la differena di poteniale massima misurata ai capi di una spira interrotta posta attorno al solenoide vale circa (A) 0.45 mv () 1.1 mv (C) 1.79 mv (D) 4.5 mv (E) SOLUZIONE. La corrente che percorre l avvolgimento oscilla secondo la legge Poichè l alluminio è un materiale paramagnetico, r 1 e il campo all interno dell avvolgimento vale in modulo I f.e.m. D 5

6 Poiché il modulo del campo magnetico varia nel tempo e tutto il flusso di è concatenato con la spira interrotta posta attorno al solenoide, in quest ultima si induce una f.e.m. pari in modulo a il cui valor massimo è E15. Una bobina di N = 100 spire e area S = 150 cm il cui asse è parallelo a si trova iniialmente nel campo magnetico uniforme di componenti cartesiane = 0.3 T, = 0.4 T, = 0.5 T. Il campo magnetico viene portato a ero con velocità di cambio costante in un tempo t = 0. s. In tale intervallo di tempo, il valore medio della fora elettromotrice indotta nella bobina vale circa (A) 1.0 V () 1.15 V (C) 1. V (D) 3.75 V (E) SOLUZIONE. Le componenti e di non contribuiscono al flusso del campo magnetico attraverso la bobina. Si ha pertanto: Il valor medio della f.e.m. indotta è uguale al suo valore istantaneo, che è costante nell intervallo di tempo t e pari a quello sopra ricavato perchè il problema specifica che il campo magnetico viene portato a ero con velocità di cambio costante. E16. Un avvolgimento circolare (raggio R = 10 cm) di N = 150 spire al tempo t = 0 si trova nel piano con centro coincidente con l origine e in presena di un campo magnetico costante = k con = 0.3 T. Se l avvolgimento ruota con velocità angolare costante π /T avendo come asse di rotaione l asse delle e il massimo voltaggio misurato ai capi dell avvolgimento è V 0 = 88.8 V, il periodo T di rotaione dell avvolgimento è di circa (A) 50 ms () 70 ms (C) 100 ms (D) 167 ms (E) SOLUZIONE. Il flusso del campo attraverso l avvolgimento varia secondo la legge La f.e.m. indotta nell avvolgimento dalla sua rotaione vale pertanto E e il suo valor massimo è pari a 6

7 E17. Una bobina è costituita da N = 100 spire di diametro D = 1. cm e ha una resistena pari a R = 00. Nell intervallo di tempo t la bobina viene estratta completamente da un campo magnetico parallelo all asse della bobina, e in tale intervallo attraverso la bobina passa in media una carica Q = 3 C. Il modulo di vale (A) 0.83 T () T (C) T (D) T (E) 1.13 T SOLUZIONE. Il flusso iniiale attraverso la bobina vale Poiché la bobina viene estratta completamente dal campo Per la legge di Ohm deve essere e poiché la carica Q che attraversa la bobina è pari a si ha E18. Un lungo solenoide con diametro d = 50 cm è costituito da N sol = 000 spire/metro e percorso da corrente I sol = 15 A. Al centro del solenoide sono avvolti n = 15 giri di un filamento di costantana chiusi su se stessi e con resistena complessiva R = 3 (il diametro dell avvolgimento di costantana è uguale a quello del solenoide). Se la corrente nel solenoide viene spenta in un tempo t = ms, la corrente media che percorre il circuito di costantana durante lo spegnimento vale (A) 3.46 A () 10.1 A (C) 15.1 A (D) 18.5 A (E) 40.4 A SOLUZIONE. Il campo all interno del solenoide vale in modulo mentre il flusso iniiale di attraverso il filamento di costantana vale Poiché la corrente nel solenoide viene spenta si ha Per la legge di Ohm deve essere 7

8 E19. Una spira metallica circolare di raggio r = 10 cm e massa m = 50 g con resistena elettrica R = 50 m ha giacitura oriontale (piano ) e scende per gravità lungo la verticale () verso il polo Nord di una barra magnetica verticale. In una ona limitata in prossimità della sommità della barra ( = 0), le componenti di sono rappresentabili analiticamente da A ; A ; A con A = 9 T/m e 0 0 = 0.5 T. Se nel punto C = 10 cm la spira scende con velocità v C =9.8 m/s, la corrente indotta che circola nella spira vale (A) 11.1 A (). A (C) 33.3 A (D) 44.3 A (E) 55.4 A C O v C SOLUZIONE. Il flusso di attraverso la spira in prossimità della somma della barra vale con buona approssimaione e la sua derivata rispetto al tempo vale, nel punto C : Per la legge di Ohm deve essere E0. Con riferimento al problema precedente, la fora magnetica che in C spinge la spira in su vale circa (A) N () N (C) 5.64 N (D).51 N (E) 0.63 N SOLUZIONE. Utiliando la regola della mano destra si comprende che la fora magnetica che spinge la spira in su è dovuta alle componenti del campo magnetico complanari alla spira, cioè al modulo della somma vettoriale : La fora magnetica che si oppone al moto della spira vale dunque, in C : r + E1. Con riferimento ai problemi precedenti, la carica complessiva Q che circola nella spira nel tempo in cui passa da un punto dell asse molto distante dalla barra magnetica al punto O sulla barra vale circa (A) 0.63 C () 0.31 C (C) 0.94 C (D) 1.6 C (E) 1.57 C SOLUZIONE. In un punto dell asse molto distante dalla barra magnetica, e relativo flusso attraverso la spira sono all incirca nulli; il flusso finale attraverso la spira è pertanto uguale alla variaione del flusso stesso dalla posiione iniiale a quella finale. Deve quindi essere 8