Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Carica puntiforme e dielettrico Energia elettrostatica Corrente elettrica. Equazione di continuità Legge di Ohm Anno Accademico 2017/2018

2 Carica e dielettrico Consideriamo un materiale dielettrico lineare (di costante κ) che riempie tutto lo spazio per z < 0 Consideriamo una carica positiva +q posta ad una altezza h Calcoliamo potenziale e campo elettrico in tutto lo spazio Il problema può essere risolto considerando Una soluzione particolare dell'equazione Poisson Il potenziale di una carica puntiforme posta in Una soluzione dell'equazione di Laplace che consenta di soddisfare le condizioni al contorno Potenziale che si annulla all'infinito Potenziale continuo sul piano z = 0 Discontinuità delle derivate normali Risolviamo questo problema con una generalizzazione del metodo delle immagini Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 318

3 Carica e dielettrico Descriviamo qualitativamente cosa succede La carica +q genera un campo che polarizza il dielettrico Il dielettrico è lineare: P = 0 non ci sono cariche di volume Compare una carica superficiale di polarizzazione sul piano di separazione dielettrico - vuoto Il campo elettrico in tutto lo spazio è la somma di due campi elettrici Il campo E generato dalla densità di carica superficiale Il campo E generato dalla carica puntiforme È il problema equivalente nel vuoto del problema iniziale La densità di carica superficiale è determinata dalla polarizzazione ed è da calcolare Dato che il dielettrico è lineare Per effetto della polarizzazione compare una densità superficiale di carica La densità di carica superficiale ha una simmetria azimutale È determinata dalla componente normale del vettore P Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 319

4 Carica e dielettrico Il campo elettrico E z che compare è il campo totale La componente normale del campo elettrico E z (x,y) dovuto alla densità superficiale di carica σ p (x,y) è Per convincerci della correttezza di questa espressione osserviamo che La carica superficiale è equivalente all'effetto del dielettrico Il campo elettrico generato dalla densità superficiale di carica ha la seguente simmetria Infine, come per tutti i campi elettrici, sappiamo che la componente normale ha una discontinuità attraverso lo strato di carica Possiamo pertanto concludere che Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 320

5 Carica e dielettrico La componente del campo elettrico E z (x,y) dovuta alla carica elettrica +q è Abbiamo pertanto Possiamo determinare la densità di carica superficiale σ P Osserviamo che, a meno del fattore dipendente dalla costante dielettrica, è la stessa densità di carica trovata nella diapositiva Piano conduttore infinito e carica puntiforme con il metodo della carica immagine Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 321

6 Carica e dielettrico Nel caso della carica puntiforme e piano conduttore avevamo trovato La carica superficiale di polarizzazione è pertanto Il potenziale del campo elettrico è Tuttavia esiste un metodo più' semplice che calcolare l'integrale L'effetto dell'integrale era stato equivalente a porre una carica immagine q P < 0 nella posizione h Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 322

7 Carica e dielettrico Quindi il potenziale nel semispazio z > 0 è A differenza del problema della carica e il piano conduttore il campo nel semispazio z < 0 non è nullo C'è il campo della carica +q posto a r + C'è anche il campo dovuto alla carica di polarizzazione q P Questa volta calcolato nel semispazio z < 0 Equivalente ad una carica q P posta nel punto r + Quindi il potenziale nel semispazio z < 0 è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 323

8 Carica e dielettrico Riepilogando Il potenziale φ(r) soddisfa l'equazione di Poisson Il termine dovuto a q per z > 0 soddisfa l'equazione di Poisson Gli altri tre termini sono soluzioni dell'equazione di Laplace nei rispettivi domini Il potenziale è continuo per z = 0 Il potenziale va a zero all'infinito Verifichiamo l'ultima condizione sulle derivate normali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 324

9 Carica e dielettrico Calcoliamo le derivate normali Ovviamente Iniziamo con z > 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 325

10 Carica e dielettrico Adesso il caso z < 0 E naturalmente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 326

11 Carica e dielettrico Naturalmente le due derivate calcolate sono anche, a meno del segno, la componente z del campo elettrico all'interfaccia La componente parallela è continua Calcoliamo ad esempio E x Calcoliamo l'angolo che E fa con l'asse z, ad esempio nel piano y = 0 Nel vuoto Nel dielettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 327

12 Carica e dielettrico Per finire calcoliamo la forza che agisce sulla carica La carica di polarizzazione è negativa È equivalente ad una carica negativa q P posta a distanza h La forza è attrattiva La forza è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 328

13 Energia elettrostatica Riprendiamo il problema del condensatore con dielettrico fra le armature (vedi diapositiva ) Ricordiamo che a parità di differenza di potenziale V il campo elettrico è sempre E = V/s Inoltre la carica nella regione delle armature è Q 0 che è la somma algebrica Della carica Q sulle armature (Q = κ Q 0 ) Della carica di polarizzazione Q pol = (κ 1)Q 0 L'energia del condensatore è Rispetto al caso senza dielettrico l'energia è cresciuta È cresciuta la capacità di un fattore κ D'altro canto abbiamo visto che l'energia può essere espressa come energia del campo elettrico Quale delle due espressioni è corretta? Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 329

14 Energia elettrostatica La soluzione della contraddizione sta nel fatto che le due energie rappresentano cose differenti L'energia del campo elettrico rappresenta l'energia immagazzinata in un sistema di cariche (vedi ) L'energia necessaria per "costruire" la disposizione delle cariche (sia libere che di polarizzazione) L'energia del condensatore rappresenta invece il lavoro che è stato fatto Per caricare i condensatore con una carica Q Per polarizzare il dielettrico e fare in modo che fornisca una carica Q pol Per polarizzare il dielettrico è necessario fare un lavoro Il lavoro necessario per deformare gli atomi o le molecole Il lavoro necessario per allineare i dipoli Troviamo adesso un sistema per esprimere il secondo lavoro con una formula analoga a quella dell'energia del campo elettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 330

15 Energia elettrostatica Definiamo esattamente cosa vogliamo fare Consideriamo lo stato finale che vogliamo ottenere Un sistema di cariche libere descritto da una densità di carica ρ f Un dielettrico (lineare) polarizzato Per costruire questo sistema Iniziamo da un sistema scarico: ρ f = 0 Trasportiamo una carica dρ f infinitesima dall'infinito nel nostro sistema Disponiamo la carica in modo che in ogni parte del sistema la densità di carica sia una frazione α di quella finale Per un dato valore di α la densità di carica libera è una frazione di quella finale Anche il potenziale elettrico φ k (r) = αφ(r) sarà una frazione di quello finale Anche le cariche di polarizzazione saranno una frazione α di quelle finali Anche i campi P e D saranno una frazione α di quelli finali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 331

16 Energia elettrostatica Il lavoro dw fatto per trasportare la carica dρ f è Sottolineiamo che il potenziale φ α (r) è generato anche dal dielettrico Il lavoro dw è diverso da quello che si avrebbe senza il dielettrico Il lavoro dw contiene anche il lavoro necessario per polarizzare il dielettrico Elaborando Sottolineiamo ancora una volta la differenza con la trattazione della diapositiva In quel caso nella formula era presente TUTTA la carica ρ (sia libera che di polarizzazione) L'energia trovata era quella del sistema di cariche ρ f + ρ pol e non includeva il lavoro fatto per polarizzare il materiale Nel caso del condensatore con dielettrico sarebbe l'energia dei due strati di carica ± [κσ 0 (κ 1)σ 0 ] = ± σ 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 332

17 Energia elettrostatica Elaboriamo adesso la formula trovata per metterla in funzione del campo elettrico E e dello spostamento elettrico D Ricordiamo innanzitutto la legge di Gauss per il campo D Introduciamo nell'integrale Ricordiamo che Otteniamo Il primo integrale Pertanto Per campi che si annullano velocemente all'infinito Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 333

18 Energia elettrostatica La formula che abbiamo ricavato vale per dielettrici lineari Per un dielettrico lineare si ha D = εe = κ ε 0 E W 0 è il lavoro fatto in assenza di dielettrico Pensiamo all'esempio iniziale del condensatore con dielettrico Riepilogando Rappresenta l'energia associata ad un campo elettrico E generato da un sistema di cariche ρ = ρ f + ρ pol Non include il lavoro che è stato fatto per polarizzare il dielettrico Per includere anche il lavoro che è stato necessario per polarizzare il dielettrico si calcola Include l'energia del campo elettrico E generato da ρ = ρ f + ρ pol Include il lavoro fatto per polarizzare il dielettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 334

19 Corrente elettrica Cominciamo a studiare situazioni in cui le cariche sono in movimento Per il momento ci limiteremo a movimenti "relativamente lenti" Velocità piccole rispetto alla velocità della luce Prima di iniziare a formulare le differenze nelle forze fra le cariche introduciamo una serie di nuovi concetti necessari per descrivere le cariche in movimento Un moto ordinato di portatori di carica costituisce una corrente elettrica L'espressione "portatori di carica" è da intendere in un senso molto generale Possono essere elettroni o ioni Può essere materia "carica", ad esempio goccioline d'acqua nell'atmosfera In un filo di materiale conduttore la corrente elettrica è definita come la quantità di carica che attraversa la sezione del filo nell'unità di tempo La corrente ha un segno: positiva se le cariche positive seguono la freccia Supponendo che in un tempo Δt la carica ΔQ nel cilindretto blu attraversi la sezione del filo S (gialla) Nel Sistema Internazionale l'unità di misura della corrente è l'ampere (A) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 335

20 Correnti elettrica È importante il flusso netto di carica Definiamo il senso positivo della corrente La carica rossa (positiva) contribuisce con segno + La carica blu (negativa) contribuisce con segno + Analogamente un atomo o molecola neutri non contribuiscono alla corrente nonostante trasportino carica La carica rossa (positiva) contribuisce con segno + La carica blu (negativa) contribuisce con segno La corrente non deve necessariamente essere definita all'interno di un filo conduttore Per una definizione più generale occorre la densità di corrente Abbiamo già utilizzato questo concetto discutendo il flusso (diapositiva ) Avevamo discusso il flusso di materia Avevamo definito il vettore densità di corrente J = ρ v Avevamo visto che la quantità di materia che attraversa un superficie S nell'unità di tempo era data da Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 336

21 Densità di corrente Consideriamo una situazione in cui le cariche siano tutte dello stesso segno, uguali e che si muovono tutte con la stessa velocità u La densità delle cariche è n (numero per unità di volume) La corrente elettrica è definita come la quantità di carica che attraversa la superficie S nella unità di tempo La carica che attraversa la superficie è quella contenuta nel prisma obliquo definito dalla superficie S e dal lato di lunghezza u Δt Il volume del prisma è Possiamo riscriverlo utilizzando i vettori velocità e normale alla superficie Abbiamo pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 337

22 Densità di corrente Naturalmente la situazione in cui tutte le velocità sono uguali è un caso molto particolare Nel caso generale avremo n 1 particelle con velocità u 1 che contribuiscono n k particelle con velocità u k che contribuiscono La corrente totale è la somma delle correnti Definiamo il vettore densità di corrente Le sue dimensioni sono: [ J ] = Q L 2 T 1 (C m 2 s 1 ) Utilizzando il vettore J la corrente è Specializziamo J al caso in cui i portatori di carica siano elettroni: q k = e Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 338

23 Densità di corrente Definiamo infine La densità totale di elettroni, indipendente dalla velocità La velocità media degli elettroni Otteniamo la seguente espressione per la densità di corrente Notiamo che en e rappresentata la densità di carica ρ e degli elettroni Utilizzando ρ e Avevamo già incontrato una formula simile quando abbiamo definito la densità di corrente per il flusso di fluido Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 339

24 Densità di corrente Quando parliamo di conduttori o di sistemi macroscopici allora anche le grandezze che abbiamo definito e utilizzato vanno intese in senso macroscopico Sono delle medie su volumi dv infinitesimi su scala macroscopica Volumi grandi su scala microscopica In questo caso interpretiamo la formula n e è la densità media degli elettroni nel volume dv è la velocità media degli elettroni nel volume dv Sia la velocità media che la densità media possono essere funzione della posizione e del tempo In questo caso anche J è una funzione della posizione e del tempo J(r,t) La corrente attraverso una superficie arbitraria (eventualmente ideale, all'interno di un conduttore) è data da (attenzione ai segni) Se J non dipende dal tempo si parla di correnti stazionarie (steady) Le cariche si muovono ma le proprietà del flusso non variano nel tempo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 340

25 Conservazione della carica Supponiamo adesso di avere una superficie chiusa S che delimita un volume V In una regione in cui è presente una densità di corrente J Calcoliamo il flusso di J L'integrale rappresenta la quantità di carica che fluisce nell'unità di tempo attraverso la superficie La normale è verso l'esterno La carica è all'interno Se dq/dt 0 significa che la carica si accumula o fuoriesce dal volume attraversando la superficie In una situazione stazionaria la derivata è nulla Dal teorema della divergenza, facendo tendere a zero il volume chiuso da S Divergenza nulla significa che la carica né si crea né si distrugge dentro V Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 341

26 Conservazione della carica Consideriamo adesso un caso non necessariamente stazionario Dentro il volume V delimitato da S ci sarà una densità di carica ρ(r,t) La carica all'interno sarà data dall'integrale di volume Nel caso non stazionario Q V (t) può variare nel tempo Inoltre Per finire abbiamo visto che Da cui discende l'importantissima equazione di continuità È una legge di conservazione locale Sia in forma differenziale che integrale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 342