Relazione di Fisica Generale II. Energia elettrostatica e Dielettrici

Transcript

1 Relazione di Fisica Generale II Corso di Laurea di Scienza e Ingegneria dei Materiali 2 gruppo Coordinatore Scotti Di Uccio Umberto Energia elettrostatica e Dielettrici Michela Volgare Valerio Romano 1

2 Energia elettrostatica in un condensatore L energia elettrostatica di un condensatore può essere definita come il lavoro compiuto da una forza motrice per portare cariche positive dall armatura A all armatura B, finché su A resti la carica negativa Q e su B la carica positiva Q. Se durante lo spostamento la velocità delle cariche è molto piccola (processo quasi statico), allora il lavoro è indipendente dal percorso; può essere quindi calcolato scegliendo un percorso in cui le cariche sono spostate dalla configurazione iniziale alla configurazione finale da un generatore, ovvero un dispositivo al cui interno una forza elettromotrice spinge le cariche compiendo un lavoro non conservativo. Nota: uno spostamento di cariche positive dall armatura A all armatura B equivale ad uno spostamento di cariche negative da B ad A. Si consideri un condensatore di capacità C e differenza di potenziale V, con carica +q su un armatura e -q sull'altra. Per muovere una piccola quantità di carica q da un armatura all'altra il lavoro necessario è. (Fig. 1) Per il teorema dell energia meccanica, si ha: dove è il lavoro non conservativo del generatore. Trascurando l energia cinetica, quando il generatore sposta la carica avremo quindi: Poiché carica già presente sul condensatore, e ponendo si ha allora: Per calcolare il lavoro totale sommiamo i lavori elementari: Passando al limite per : L energia elettrostatica di un condensatore è dunque: Energia elettrostatica di un condensatore a facce piane e parallele In un condensatore a facce piane e parallele di area, poste a distanza d, si ha C =. Quindi: Moltiplichiamo e dividiamo per : 2

3 Dove è la densità di carica libera (carica aggiunta dall esterno) e dove è il volume all interno del condensatore. Moltiplichiamo e dividiamo per Essendo il campo elettrico nel condensatore, arriviamo al risultato finale: In un condensatore a facce piane e parallele, poiché è proporzionale al volume possiamo considerare una densità di energia. La densità di energia unità di volume. è la quantità di energia immagazzinata in un dato sistema per I dielettrici I dielettrici, o isolanti, sono materiali le cui cariche non sono libere di spostarsi su distanze macroscopiche sotto l azione di un campo elettrico. Tuttavia, se avviciniamo un oggetto carico a un isolante, gli elettroni nelle molecole si spostano di poco, in modo da creare una piccola, ma diffusa ridistribuzione di carica. Possiamo verificare ciò tramite un semplice esperimento: Elettrizziamo una penna di plastica per strofinìo e avviciniamo la penna a dei pezzetti di carta: notiamo che questi sono attratti dalla penna (fig. 2 a.). La penna respinge gli elettroni della carta, in modo che le cariche di segni opposti siano nel complesso più vicine rispetto alle cariche dello stesso segno (fig. 2 b.). Ovvero per la legge di Coulomb l'attrazione prevale sulla repulsione e i pezzetti di carta sono attratti dalla penna - Meccanismo della polarizzazione La polarizzazione è un fenomeno per cui in un dielettrico sottoposto all azione di campo elettrico esterno, i momenti di dipolo tendono ad allinearsi con la direzione di questo; macroscopicamente ciò si manifesta con la comparsa di cariche sulla superficie. 3

4 Strofinìo: metodo di elettrizzazione in cui strofinando tra loro due corpi gli elettroni passano da un oggetto (che si carica positivamente) a un altro (che si carica negativamente). Il meccanismo della polarizzazione può avvenire in modi diversi a seconda del tipo di dielettrico. Possiamo distinguere tre casi fondamentali: - Gli atomi - Le molecole polari - I cristalli Polarizzazione di atomi Consideriamo un modello di atomo alla Thomson in cui l atomo è costituito da una distribuzione di carica negativa all interno del volume e dalla carica positiva localizzata al centro. (Fig. 3) All interno del volume dell atomo la densità di carica è: Il campo elettrico generato dall elettrone ad una distanza x dal centro è: L unica posizione di equilibrio per il protone è in x=0 poiché nella condizione di equilibrio (fig. 4): (Il campo è nullo solo in x=0) Consideriamo adesso un campo elettrico esterno. Allora il campo elettrico totale sarà: La condizione di equilibrio statico del protone è: 4

5 In questo caso la posizione di equilibrio sarà diversa dal centro. A causa dello spostamento del protone dall'origine si creerà un momento di dipolo p (Fig. 5), il cui modulo vale: Chiamiamo il fattore polarizzabilità α: P = α Possiamo dire dunque che sotto l azione di un campo elettrico si crea un momento di dipolo: di conseguenza l atomo si polarizza. Polarizzazione di molecole polari Nelle molecole polari il momento di dipolo è dato da: Esempio: Calcoliamo il momento di dipolo in una molecola di acqua ( ). (Fig. 6). Prendiamo l asse x in corrispondenza del momento di dipolo risultante. Poichè: dobbiamo sommare vettorialmente i dipoli generati rispettivamente dall'atomo di ossigeno e dai due atomi di idrogeno. Calcoliamo allora le componenti x e y dei vettori distanza, e x y - 1: Componenti di H: - 2: Componenti di H: 5

6 - 3: Componenti di O Qui d è la distanza tra il centro dell atomo di ossigeno e il centro dell atomo di idrogeno. Poiché : Sommando componente a componente: Il vettore polarizzazione allora sarà: Nella molecola d'acqua possiamo calcolare il momento di dipolo totale conoscendo quello associato ai singoli legami a idrogeno. Il momento associato al legame O-H vale 1,51 D. Il senso della freccia indica il verso dello spostamento del baricentro della nuvola elettronica di legame (fig. 7). Il momento dipolare totale è il vettore risultante dei momenti dipolari dei singoli legami. Il debye è l'unità di misura del momento di dipolo elettrico e nel Sistema Internazionale vale 1 D = C m. Allora il momento di dipolo totale sarà: Se consideriamo un grande numero di molecole in assenza di un campo elettrico ciascun momento di dipolo avrà orientazione casuale, per cui il momento medio è nullo: In presenza di un campo elettrico esterno sui dipoli sarà applicato un momento meccanico che tenderà ad allineare alla direzione di A questo effetto si oppone però l agitazione termica, sicchè 6

7 Quando si ha a che fare con cariche molto piccole e prossime l'una all'altra, come per esempio nelle molecole, l'unità di misura definita nel Sistema Internazionale (coulomb per metro), è troppo grande. Nello studio delle proprietà elettriche delle molecole si preferisce così usare il debye, che non fa parte né del Sistema Internazionale. Polarizzazione dei solidi In un solido ionico in presenza di un campo elettrico esterno le distanze tra ioni posso variare. Possiamo descrivere con buona approssimazione la risposta alle sollecitazione con un modello in cui descriviamo il solido come un insieme di masse collegate da molle (che rappresentano i legami ionici).(fig. 8). Può capitare che nonostante il campo sia orientato in una certa direzione, il momento di dipolo si orienti in un'altra direzione. Ciò accade perché talvolta è più facile che gli ioni si muovano in una direzione piuttosto che in un'altra. Questo fenomeno è noto come "anisotropia" (come accade ad esempio nei cristalli liquidi). - Si parla di mezzi dielettrici lineari se il momento di dipolo medio è linearmente proporzionale al campo elettrico esterno: <p> - Si parla invece di mezzi dielettrici non lineari se il momento di dipolo medio non è linearmente proporzionale ad ( questi tipi di materiali sono spesso utilizzati nell'optoelettronica). Vettore polarizzazione Definiamo il vettore di polarizzazione come il prodotto tra il numero di dipoli per unità di volume n = e il momento di dipolo medio. Sostituendo i rispettivi valori di n e abbiamo che: Possiamo dire che il vettore di polarizzazione è definito anche come dipolo elettrico per unità di volume. Cariche superficiali di polarizzazione 7

8 In un dielettrico polarizzato, lo spostamento microscopico delle cariche determina la formazione di cariche superficiali, dette cariche di polarizzazione. Calcoliamo la carica totale spostata alla superficie di un blocchetto a forma di parallelepipedo (fig. 9): Qui è il numero di dipoli di una superficie; è la carica che si è sposta sulle superfici; è lo spostamento di carica dovuto alla polarizzazione. La densità di polarizzazione allora sarà: Consideriamo ora un dielettrico polarizzato in cui le facce non sono uguali (fig. 10). Che succede se una faccia è obliqua? Poiché il mezzo è complessivamente neutro le cariche sulle due facce devono essere uguali: Le aree delle superfici sono però diverse, ovvero (fig. 11) Allora anche le densità di carica sulle due superfici saranno diverse, in particolare: Considerando che: si ha che: 8

9 Notando che è l'angolo compreso tra e ( è la normale di ) possiamo scrivere: Polarizzazione di volume. Consideriamo ora un dielettrico polarizzato e immaginiamo di dividere il dielettrico in tante parti. Se la polarizzazione non è uniforme le cariche totali sulle superfici non saranno uguali. Di conseguenza poiché il dielettrico è globalmente neutro, dobbiamo supporre la presenza di cariche all'interno del volume. Si parla allora di cariche polarizzazione di volume. (Fig. 12). Le condizioni per le quali ciò può avvenire sono due: se ci sono cariche libere nel volume (per cariche libere intendiamo cariche elettriche aggiunte in eccesso all'interno del volume); se il dielettrico non è omogeneo, ovvero la costante dielettrica cambia da punto a punto. Condensatori in presenza di elettrici In presenza di un dielettrico in un condensatore il valore della capacita elettrostatica aumenta. Dalla formula della capacita elettrostatica capiamo che a parità di differenza di potenziale, se la capacità aumenta anche la carica sarà maggiore. Possiamo inoltre notare che anche il valore dell'energia elettrostatica è legato a quello della capacità. Infatti: Dove C è la capacità del condensatore, V la differenza di potenziale e Q la carica su ogni armatura Cosa succede al campo elettrico? 9

10 Nella fig. 13 a. è mostrata la situazione che si determina quando abbiamo un dielettrico interposto tra le armature di un condensatore: il dielettrico si polarizza a causa del campo elettrico generato dalle armature e le cariche di polarizzazione si dispongono in corrispondenza delle cariche libere di segno opposto. Si nota inoltre che in prossimità di ogni armatura la densità di carica sarà uguale alla differenza tra la densità di polarizzazione ( ) e la densità di carica libera ( ). Questa situazione è equivalente a quella di un condensatore formato da due piani carichi come illustrato fig. 13 b. La carica totale su ogni armatura risulterà minore rispetto a quello di un condensatore vuoto, di conseguenza anche il campo elettrico avrà una minore intensità: E<. Introduciamo quindi la costante di proporzionalità tra E ed detta costante dielettrica : varia a seconda del dielettrico: nei gas è molto vicino ad uno; nelle molecole polari e in particolare nei cristalli ionici ha un valore elevato (per l'acqua ) nella maggior parte dei dielettrici. Possiamo facilmente verificare che la che la capacità C di un condensatore è inversamente proporzionale alla distanza tra le due armature. Avremo che: Da questo risultato, sembrerebbe che la capacità possa essere resa grande a piacere diminuendo la distanza tra le armature d. In pratica, però, il minimo valore di d è limitato dalla scarica elettrica che può avvenire attraverso il dielettrico che separa le armature. Per ogni distanza d fissata la differenza di potenziale massima che può essere applicata ad un condensatore senza che si produca la scarica dipende dalla rigidità dielettrica (la massima intensità del campo elettrico) del dielettrico, che per l aria vale V/m. Se il campo elettrico nel materiale supera la rigidità dielettrica, le proprietà isolanti vengono meno e il materiale comincia a condurre. La maggior parte dei materiali isolanti ha rigidità dielettriche e costanti dielettriche superiori a quelli dell aria come indica la Tabella 1. 10

11 Relazione costitutiva di un dielettrico Il campo elettrico E in un condensatore in presenza di un dielettrico è: D altro canto, per definizione di abbiamo anche che La densità di polarizzazione vale quindi: Moltiplicando e dividendo per : Ma sappiamo che e =E Quindi: Questa relazione si può scrivere anche in forma vettoriale: e viene detta relazione costitutiva del dielettrico e varia a seconda del materiale. Questa relazione non è valida per: i dielettrici non lineari (perché P può non essere linearmente proporzionale a E); i mezzi anisotropi. 11

12 ESERCIZIO 1 Si consideri un condensatore di ampiezza d e superficie al cui interno sono presenti due dielettrici, le cui costanti dielettriche sono rispettivamente, che occupano entrambi una superficie nel condensatore. Sapendo che sulle armature è presente una carica Q, calcolare: - La capacità totale - Le singole capacità e associate alla parti del condensatore in cui sono presenti solo il dielettrico 1 e il dielettrico 2 - I campi elettrici e associati alla parti del condensatore in cui sono presenti solo il dielettrico 1 e il dielettrico 2 - Le differenze di potenziali e associate alla parti del condensatore in cui sono presenti solo il dielettrico 1 e il dielettrico 2 - La carica di polarizzazione del condensatore Dati: Q,,, d, Calcolare:,,,,, 12

13 Questo condensatore è equivalente al parallelo tra i condensatori e, i cui dielettrici hanno rispettivamente costanti, e le armature poste a distanza = = d, hanno aree rispettivamente = = Per le proprietà del parallelo, = =, = =. Inoltre Quindi: Calcoliamo ; ; Calcoliamo E : ; Calcoliamo la differenza di potenziale: Inoltre: 13

14 ESERCIZIO 2 Si consideri un condensatore di ampiezza e superfice al cui interno sono presenti due dielettrici, le cui costanti dielettriche sono rispettivamente, disposti uno sopra l'altro entrambi di ampiezza d. Sapendo che sulle armature è presente una carica Q, calcolare: - La capacità totale - Le singole capacità e associate alla parti del condensatore in cui sono presenti solo il dielettrico 1 e il dielettrico 2 - I campi elettrici e associati alla parti del condensatore in cui sono presenti solo il dielettrico 1 e il dielettrico 2 - Le differenze di potenziali e associate alla parti del condensatore in cui sono presenti solo il dielettrico 1 e il dielettrico 2 14

15 - La densità di polarizzazione tra i due dielettrici del condensatore Dati: Q,,, Calcolare:,,,,, Possiamo considerare questo condensatore come due condensatori in serie con costanti dielettrici rispettivamente Allora essendo i due condensatori in serie: I campi elettrici: Le differenze di potenziale: 15

16 Allora: A questo risultato si sarebbe potuto anche pervenire considerando la differenza di potenziale di capacità equivalente : di un condensatore Consideriamo ora le cariche e le densità di polarizzazione: La carica di polarizzazione tra i due dielettrici è: ESERCIZIO 3 Calcolare la distanza minima possibile tra le armature di un condensatore sapendo che ai suoi capi viene applicata una d.d.p. di 1V e al cui interno viene posto un dielettrico di silice (fig. 1). 16

17 Data la rigidità dielettrica dell ossido di silicio V/m e la differenza di potenziale è di V = 1 Volt : Poichè: Dove E nel nostro caso rappresenta il breakdown field ( ), avremo quindi: da cui: Sostituendo i valori numerici: 2 nm 17