Tesina di Fisica Generale II

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1 Tesina di Fisica Generale II Corso di laurea di scienza e ingegneria dei materiali 1 gruppo Coordinatore Scotti di Uccio Umberto Tesina svolta da: nnalisa Volpe N Catello Staiano N Raffaele Sentiero N Simmetrie Una simmetria di una figura geometrica è una trasformazione che lascia la figura invariata. Le simmetrie permettono di conoscere la forma delle linee di campo e il campo elettrico ha determinate proprietà che consentono di calcolare il flusso. Esaminiamone alcune che permettono la risoluzione di determinati problemi di fisica: 1) Simmetria sferica: la figura è invariante per rotazione intorno ad un qualunque asse passante per il centro. Esempi : -Carica puntiforme; -sfera uniformemente carica, ρ = costante ; - Superficie uniformemente carica di una sfera, σ = costante; 2) Simmetria assiale o cilindrica: la figura è invariante per rotazione intorno ad un asse ed invariante per traslazione lungo lo stesso asse (asse z). N..: Tale simmetria si riferisce ad oggetti illimitati, ma in fisica non possiamo avere a che fare con oggetti illimitati. La distribuzione di carica può essere approssimata ad una distribuzione illimitata se la si guarda abbastanza da vicino. Per i cilindri reali è possibile utilizzare quest approssimazione quando i nostri calcoli vengono eseguiti ad una distanza dal cilindro molto minore rispetto l altezza del cilindro stesso.

2 Esempi : - Filo, λ = costante; - Cilindro pieno, ρ = costante ; -Superficie, σ = costante; 3) Simmetria piana : la figura è invariante per traslazione, per riflessione e per rotazione attorno un asse perpendicolare. Esempi : - piano carico; - coppia di piani paralleli carichi; pplicazioni del teorema di Gauss Sfera metallica carica superficialmente bbiamo una sfera metallica di raggio a, con una distribuzione di carica superficiale uniforme σ. Come ausilio di calcolo utilizziamo una superficie di Gauss, scelta con regole vincolate alla simmetria del problema. dottiamo dunque una sfera concentrica a quella metallica avente raggio r. 1) Calcoliamo il campo elettrico nei punti esterni alla sfera (r > a)

3 Le linee di campo hanno direzione radiale per simmetria. Il vettore campo elettrico, quindi, è parallelo e concorde al vettore normale n. Calcolo il flusso: φ ( ) = n d = Ed = E d =E4πr 2 Il flusso è pari a E4πr 2 in ogni problema a simmetria sferica. Ricordiamo il teorema di Gauss : φ ( ) = int ε 0 Poiché tutte le cariche sono interne a : int = tot tot = 4πa 2 σ E4πr 2 = int ε 0 E = 4πε 0 r 2 Da questo risultato si evince che il campo elettrico generato dalla sfera metallica al suo esterno è uguale a quello di una carica puntiforme posta nel centro 2) Calcoliamo il campo elettrico nei punti interni della sfera ( r < a)

4 Considero il flusso calcolato nel caso 1) essendo valido per ogni problema a simmetria sferica. φ ( ) = E4πr 2 Poiché la carica si trova tutta all esterno int = 0 E = 0 Il grafico E(r) è discontinuo in r = a. La discontinuità non è eliminabile. Si può dimostrare che ciò accade tutte le volte che compaiono distribuzioni di carica superficiali. 3) Determiniamo il potenziale elettrico in tutti i punti dello spazio. Sappiamo che in generale vale: V() - V() = ds Scegliamo come punto di riferimento mettendolo all infinito, quindi V() = ds ll esterno il potenziale ha un andamento del tipo 1. ll interno il potenziale è costante perché, non r essendoci campo elettrico, non possono esserci differenze di potenziale. Ponendo sulla superficie:

5 V = ds Ci muoviamo lungo una linea di campo che ha direzione radiale, quindi ds = E dr V = ds = E dr = Ea = F E q a = k q2 a qa 2 = k q a Calcolo del campo elettrico di una sfera metallica carica uniformemente Consideriamo una distribuzione volumica di carica ρ uniforme all interno di una sfera di raggio a. Scegliamo una superficie gaussiana di raggio r. 1) calcoliamo il campo elettrico nei punti esterni alla sfera (r > a) Tenendo conto del risultato dell esercizio precedente φ ( ) = E4πr 2

6 E per il teorema di Gauss φ ( ) = int ε 0 Per l uguaglianza dei primi membri segue che i secondi membri sono uguali: int E4πr 2 = int E = ε 0 4πr 2 ε 0 Poiché ci troviamo all esterno la carica interna è uguale alla carica totale: int = E = 4πr 2 ε 0 2) Calcoliamo il campo elettrico nei punti interni alla sfera (r < a) In questo caso la carica interna sarà uguale al prodotto tra la distribuzione di carica ρ e il volume di. int = ρ 4 3 πr3 Sostituiamo tale espressione nel teorema di Gauss : 4πr 2 E = ρ 4 3 πr 3 ε 0 E= ρr 3ε 0 Dimostriamo che la funzione è continua : calcoliamo il limite destro e sinistro ρr - lim f(x) = lim = ρ a r a r a 3ε 0 3ε 0 ρr - lim f(x) = lim = ρ a r a + r a + 3ε 0 3ε 0 Il limite destro e sinistro coincidono quindi la funzione è continua.

7 3) Calcoliamo il potenziale elettrostatico alla superficie della sfera Scegliamo come punto di riferimento mettendolo all infinito, quindi V() = superficie allora : ds e ponendo sulla V = ds = E dr = Ea = F E q a = k q2 a qa 2 = k q a Il potenziale elettrostatico è sempre una funzione continua, perché è una funzione integrale. In questo caso l argomento dell integrale, ovvero E, è continuo, dunque non vi è un punto angoloso. Calcolo del campo elettrico in simmetria piana Consideriamo una superficie piana con distribuzione di carica superficiale σ. Per la simmetria del problema in ciascun semispazio le linee di campo elettrico sono perpendicolari alla superficie. è uniforme. Come superficie di comodo scegliamo un cilindro costituito a sua volta da tre superfici: la superficie laterale LT e le superfici di base 1 e 2 tali che : 1 = 2 e parallele al piano. Il flusso attraverso sarà dato dalla somma dei flussi attraverso 1, 2 e LT

8 φ ( ) = φ 1 ( ) + φ 2 ( ) + φ LT ( ) φ LT ( ) = 0 poiché le linee del campo elettrico corrono parallele alla superficie senza attraversarla, il che implica che il vettore campo elettrico è perpendicolare al vettore normale di LT φ 1 ( ) = φ 2 ( ) in quanto 1 = 2 e // n dunque: φ ( ) = 2φ 1 ( ) = 2E 1 La carica interna è localizzata nell intersezione tra la superficie di Gauss e il piano, quindi int = σ 1. Per il teorema di Gauss : 2E 1 = σ 1 E= σ ε 0 2ε 0 Da questo risultato notiamo che E non dipende da nessun parametro geometrico, quindi è uniforme in ciascun semispazio. Calcolo di e V tra due piani paralleli Consideriamo due piani paralleli con distribuzione di carica uniforme +σ e σ uguale in valore assoluto.

9 Per il principio di sovrapposizione = 1 + 2, 1 sarà il campo elettrico generato dalla distribuzione di carica positiva, mentre 2 sarà quello generato dalla distribuzione di carica negativa. Il campo elettrico è orientato come in figura poiché le linee di campo escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative. I due piani dividono lo spazio in tre regioni: due esterne ed una interna. Nelle due regioni esterne il campo elettrico totale è nullo, in quanto 1 e 2 sono paralleli e discordi, mentre nella regione interna 1 e 2 sono paralleli e concordi, dunque = 2 1. Scegliamo un asse z orientato verso il basso e perpendicolare ai piani. Poniamo l origine O a metà tra i due piani. In base al risultato precedente E = σ ε 0. 2 è positivo e costante al centro mentre è nullo fuori. Il campo elettrico va dal potenziale più alto a quello più basso. Chiamiamo d la distanza tra i due piani equipotenziali. La differenza di potenziale V è data da : V = Il campo elettrico è uniforme quindi: V = E ds = E d ds

10 Condensatore 1) Condensatori in parallelo Due condensatori collegati come in figura costituiscono un collegamento in parallelo. V 1 = V 2 = V = Poiché: 1 = C 1 V 2 = C 2 V = CV Si ha: C 1 V + C 2 V = CV C = C 1 + C 2 2) Condensatori in serie Due condensatori collegati come in figura costituiscono in collegamento in serie

11 1 = 2 = V = V 1 + V 2 V 1 = 1 C 1 V 2 = 2 C 2 uindi: C = 1 C C 2 1 C = C 1 C 2 -Esercizio sui condensatori in un circuito-

12 Trovare la capacità equivalente tra a e b per la combinazione di condensatori in figura(a). Riduciamo la combinazione per passi successivi come in figura. I due condensatori in parallelo C 21 e C 22 si combinano secondo C 2 eq = C 21 + C 22. nalogamente i condensatori C 31 e C 32, anch essi in parallelo, hanno una capacità equivalente C 3 eq = C 31 + C 32. Il ramo superiore in figura (b) consiste di due condensatori C 1 e C 2 eq in serie che si combinano secondo: 1 = C 12 eq C 1 C 2 eq nalogamente il ramo inferiore in figura (b) consiste di due condensatori C 3 eq e C 4 in serie che danno una capacità equivalente 1 = Infine i due condensatori C C 34 eq C 3 eq C 12 eq e C 34 eq in figura(c) sono in 4 parallelo e hanno una capacità equivalente come mostrato in figura (d) C 12 eq + C 34 eq Esercizio Calcolare l area di un condensatore a facce piane e parallele conoscendo la distanza tra i due piani d, il potenziale elettrostatico Ve la carica q. V 0 = 1 V; d = 10 mm; q = 100 e. V 0 V 0 = Ed Da cui: E = V 0 d

13 E = σ q = ε 0 ε 0 V 0 = q d ε 0 = qd ε 0 V 0 = 100e 0,01m 1V 8, Fm 1 = 1, m 2 Condensatore sferico Un condensatore sferico è costituito da due sfere concentriche di raggi a e b tali che a < b e con carica sull armature. La sfera di raggio b è cava e contiene al suo interno la sfera di raggio a. Consideriamo una superficie sferica concentrica alle armature, di raggio r tale che a < r < b. pplichiamo il teorema di Gauss φ ( ) = ε 0 Poiché: φ ( ) = E ε 0 = E = Eε 0 = Eε 0 4πr 2 E = 4πε o r 2 Per quanto riguarda la differenza di potenziale: V = ds Ci muoviamo lungo una linea di campo che ha direzione radiale, quindi ds = E dr b V = E a b dr = dr 4πε 0 r 2 = a 4πε 0 ( 1 a 1 b ) = b a 4πε 0 ab La capacità: C = V = 4πε 0 ab b a

14 Esercizio lcuni processi che avvengono sulla superficie terrestre e nell'atmosfera generano una distribuzione di cariche negativa sulla superficie della Terra stessa e positiva nell'atmosfera. Possiamo assimilare il sistema Terra-atmosfera come un condensatore sferico. 1) Dopo aver fatto queste affermazioni calcolare la capacità della Terra acquisendo come seconda armatura la ionosfera. R T = Raggio della Terra = 6, km h = altezza ionosfera = 200km Il potenziale in un punto sulla superficie terreste è pari a : V = k r La differenza di potenziale delle armature : 1 1 V = ( ) = 4πε 0 r superficie r ionosfera C = V = 4πε 0 R T (R T +h) = 4πε0 [ h R T (R T +h) ] h sostituendo i valori numerici: ( 1 1 ) 4πε 0 R T R T +h = h ( ) 4πε 0 R T (R T +h) C = 4πε 0R T (R T + h) h = 4π(8, C 2 N m 2 )(6, km)(6, km + 200km) 200km = ( 1000m 1km ) 0,02F 2) Consideriamo h infinitamente grande e calcoliamo la capacità della Terra per tale h. Calcoliamo il seguente limite: 2 4πε 0 R T (R T + h) 4πε 0 R T h + 4πε 0 R T lim = lim = 4πε h + h h + h 0 R T = 7, F