Capacita` di un conduttore isolato

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Arnaldo Borrelli
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1 Capacita` di un conduttore isolato Carica sulla superficie di un conduttore isolato Q =!! (! r )da Potenziale del conduttore in un punto qualsiasi V = 1!! ( r )! da (Equipotenziale) 4!" 0 r La distribuzione di carica tale da rendere nullo il campo all interno del conduttore e` unica

2 Q = Capacita` di un conduttore isolato!! (! r )da V = 1!! ( r )! da 4!" 0 r farad Capacita` F = C V Q! Q' =!Q!! "! ' = "!! V "V ' =!V C = Q V Non varia al variare della carica sul conduttore. Dipende solo dalla geometria.

3 Esempio: capacita` di un conduttore sferico di raggio R La carica q e` distribuita sulla superficie V (R) = q 4!" 0 R C = q V (R) = 4!" 0 R R (m) C (F) x x x10-3 9x capacita` della terra ~ 71 µf

4 Sistemi di conduttori Conduttore isolato carico C C q q - - C +q Avviciniamo C scarico V 1 < Induzione incompleta (non tutte le linee di forza da C 1 vanno su C ) viene aumentato da +q viene diminuito da q in modo maggiore perche` -q e` piu` vicina a C 1 C 1 ' = q 1 V ' 1 > q 1 = C 1

5 Sistemi di conduttori conduttori isolati nel vuoto Cariche e Q Superficie Σ 1 e Σ per ciascun conduttore: Q =! 0! " E # nda!! = $ " %V # nda! = $ " &V &n da!!!

6 Sistemi di conduttori V (! r ) =! 1 (! r ) +V! (! r ) Soluzione dell equazione di Laplace (unica), con φ i che si annullano all infinito, e φ i = 1 su Σ i (sovrapposizione effetti) "V =!!!$ 0 da "n # 1 "V Q =!!!$ 0 da "n #

7 Sistemi di conduttori V (! r ) =! 1 (! r ) +V! (! r ) Soluzione dell equazione di Laplace (unica), con φ i che si annullano all infinito, e φ i = 1 su Σ i (sovrapposizione effetti) # "! =!! 0 1 "n +V "! &!* % ( da $ "n ' ) 1 # "! Q =!! 0 1 "n +V "! &!* % ( da $ "n ' )

8 Sistemi di conduttori V (! r ) =! 1 (! r ) +V! (! r ) Soluzione dell equazione di Laplace (unica), con φ i che si annullano all infinito, e φ i = 1 su Σ i (sovrapposizione effetti)!!! =!! 0 1!n +V!! # "!n ' 1 $ & %!( da = c 11 + c 1 V! *! Q = )! 0 1 *n +V *! # " *n ' $ & %!( da = c 1 + c V

9 Sistemi di conduttori! = c 11 + c 1 V +!c 1n V # n # Q = c 1 + c V +!c n V " n # # $ Q n = c n1 + c n V +!c nn V n " i = j coefficienti di capacita` c ij = # $ i! j coefficienti di induzione Q = CV (notazione matriciale) c ii > 0 c ij < 0 Noti i coefficienti di capacita` e di induzione di un sistema di conduttori, se sono specificati i potenziali a cui sono tenuti si possono determinare le cariche. c ij = c ji

10 Sistemi di conduttori La matrice c ij e` invertibile V i = a i1 + a i Q + + a in Q n = a ij Q j Fornisce i potenziali dei conduttori note le loro cariche a ij > 0 Coefficienti di potenziale a ij > a ii a ij = a ji

11 Sistemi di conduttori Supponiamo che:! 0, Q = Q 3 =!Q n = 0 Il potenziale dei vari conduttori e` proporzionale alla carica (V =! 1! 1 da!", =!"! 1 da #! $!" 1 $!V ) r! 1 = a 11, V = a 1,, V n = a n1 Annullando tutte le cariche tranne una alla volta e sommando i potenziali (principio di sovrapposizione) si ottiene il sistema visto. Dato che il potenziale ha il segno della carica, ne segue che i coefficienti sono positivi.

12 Esempio: conduttori sferici concentrici = a 11 + a 1 Q Mettiamo una carica sul conduttore interno. V = a 1 + a Q R 1 R R 3 Q V Quello esterno ha carica totale nulla.! + Q " - 1 = 4!" R 1 R R 0 a 3 $ 11 = 1 ' 1! * ), $ 4!" # & 0 ( R 1 R R 3 +. = 4!" R 0 V $ $ 3 % $ a 1 = 1 1 $ / 4!" 0 R 3 Ora mettiamo Q su quello esterno. V a 1 1 = = a 4πε R 1 1 Q = V = 4πε 0 R3 1 1 a = 4πε 0 R3

13 Esempio: conduttori sferici concentrici a11 = + 4πε 0 R1 R R3 1 1 a1 = 4πε 0 R3 1 1 a = = a 4πε R 1 1 a = 4πε 0 R C = A det A= a11a ( a1) = ( + ) 4πε 0 R1 R R3 R3 R = ( ) 4πε 0 R3 R1 R c 11 a = = det A 4πε R R 1 a c = c = = c det A c a 11 = = det A R1 R R ( ) R R R 3 1

14 Esempio: conduttori sferici concentrici = 4!" 0 1 R 1! 1 R (!V ) = c 11 (!V ) c = 4πε 11 0 R RR 1 R 1 La carica dipende solo dalla d.d.p. tra i conduttori Q + Q = ( c c ) V = 4πε R V = CV C e` la capacita` del conduttore esterno. La sua carica +Q e` la somma della carica Q introdotta dall esterno e della carica indotta dall interno.

15 Condensatori Consideriamo conduttori tra i quali ci sia induzione completa. Il sistema si chiama condensatore. I due conduttori si chiamano armature. = Q = a 11 Q! a 1 Q = Q(a 11! a 1 ) Q =!QV = a 1 Q! a Q = Q(a 1! a )!V = (a 11 + a! a 1 )Q = Q C C = 1 a 11 + a! a 1 capacita` del condensatore dipende solo dalla geometria (e dal mezzo tra le armature)

16 Esempio. Capacita` di un condensatore sferico. C = 4!" 0 R 1 R R! R 1 Q -Q Q R 3 R 1 R lim R!" C = 4!" 0 R 1 (conduttore sferico isolato: 1 armatura all infinito) Esercizio: calcolare la capacita` nel limite h=r -R 1 << R 1 ~R =R Valutarla per h=1 mm, R=1 m

17 d Capacita` di un condensatore cilindrico. R 1 R Abbiamo visto che:!v =! "# 0 log R R 1 Q = λd C d C πε 0 = R log R Q = = V V 1 1 πε 0d R log R 1 supponiamo d>>r 1, h= R R << R, R R Esercizio: calcolare il limite per 1 1

18 Capacita` di un condensatore piano. Due conduttori piani paralleli, di area A, distanti h. Le supponiamo grandi, per trascurare gli effetti ai bordi.!v = he = h! = h! A " 0 " 0 A = h Q! 0 A Q ε A 0 C = = V 1 V h A meno di effetti ai bordi

19 Effetti di bordo Le espressioni delle capacita` dei condensatori piani e cilindrici sono corrette solo nel limite di armature di estensione infinita + - Se ci fosse una transizione netta tra campo regolare e campo nullo:!! E! d s! " 0 (impossibile, E e` conservativo)

20 Collegamento di condensatori Il condensatore e` un dispositivo che puo` immagazzinare carica elettrica E` globalmente neutro, ma mantiene una carica +Q ed una Q separate spazialmente Collegando le armature si provoca il movimento di elettroni da un armatura all altra e il condensatore si scarica Si possono collegare piu` condensatori tra loro formando dei condensatori equivalenti

21 Collegamento di condensatori Q -Q Q -Q C +Q -Q V V A V A V B V C V = C C 1 C Q C serie V A!V C = Q C 1 + Q C = Q C V A!V B = Q C 1 Q VB VC = C = + C C C 1

22 Collegamento di condensatori Q = + Q parallelo C +Q -Q V Q C 1 C V C C Q = C = + V V V 1 C = C + C 1

23 Collegamento di condensatori n condensatori in serie: n " i=1 C!1 = C i!1 n condensatori in parallelo: C = n! C i i=1

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