Lez. 19 Potenziale elettrico

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1 Lez. 19 Potenziale elettrico Prof. 1 Dott., PhD Dipartimento Scienze Fisiche Università di Napoli Federico II Compl. Univ. Monte S.Angelo Via Cintia, I-80126, Napoli mettivier@na.infn.it

2 Quando la carica puntiforme, q 0, è immersa in un campo elettrostatico E, la forza elettrica sulla carica è q 0 E. Questa forza è la somma vettoriale delle singole forze esercitate su q 0 dalle varie cariche che generano il campo E. Segue che la forza q 0 E è conservativa, perché le singole forze, governate dalla legge di Coulomb, sono conservative. 3 Quando la carica puntiforme si muove sollecitata dalla forza elettrica all interno del campo elettrico, il campo compie lavoro sulla carica. Per uno spostamento infinitesimo ds di una carica puntiforme q 0, il lavoro compiuto dal campo elettrico sulla carica è F e ds = q 0 Eds. Il lavoro svolto dal campo sulla carica puntiforme è simile al lavoro svolto dal campo gravitazionale su un oggetto che cade. Abbiamo trovato che l energia potenziale gravitazionale di un sistema isolato oggettocampo varia di una quantità uguale al lavoro, cambiato di segno, svolto dal campo sull oggetto. Analogamente, il lavoro svolto dal campo elettrico sulla particella carica varia l energia potenziale del sistema isolato caricacampo di una quantità du = - dw = -q 0 Eds. 4 2

3 Per uno spostamento finito della particella di prova di carica q 0 fra i punti A e B, la variazione di energia potenziale del sistema carica-campo è U U B U A q Questo integrale non dipende dal cammino seguito per andare da A e B. B 0 A Eds 5 L energia potenziale U del sistema di una carica di prova q 0 in un campo elettrico E dipende dalla carica di prova e da tutte le sorgenti del campo elettrico. L energia potenziale U del sistema per unità di carica di prova q 0 è invece indipendente dal valore di q 0 e ha un valore unico in ciascun punto del campo elettrico. Possiamo rimuovere l effetto della carica di prova dividendo l energia potenziale del sistema per la carica di prova. La grandezza U/q 0 è chiamata potenziale elettrico V (o semplicemente potenziale): V U q 0 6 3

4 Poiché l energia potenziale è uno scalare, il potenziale è pure una grandezza scalare. Si noti che il potenziale non è una proprietà del sistema carica-campo, poiché abbiamo diviso l energia potenziale del sistema per la carica. Esso è una proprietà soltanto del campo. Quindi, in una situazione fisica, possiamo immaginare di togliere la carica di prova dal campo. Il potenziale esiste ancora nel punto accupato dalla carica di prova ed è dovuto alle cariche sorgenti che determinano il campo elettrico. 7 La differenza di potenziale, V = V B V A, fra i punti A e B è definita come la variazione di energia potenziale del sistema carica-tempo, quando la carica di prova q 0 si muove fra i punti, divisa per la carica q 0 della particella di prova: V U q 0 B A Eds 8 4

5 Abitualmente fisseremo il potenziale dovuto a una o più cariche sorgenti pari a zero in un punto posto all infinito (cioè, in un punto infinitamente lontano dalle cariche sorgenti che generano il campo). Con questa scelta, diciamo che il potenziale elettrico di un punto arbitrario è uguale al lavoro per unità di carica necessario per portare una particella di prova dall infinito al punto, diviso per la carica della particella di prova. Così, se prendiamo V A =0 all infinito, allora il potenziale in ogni punto P sarà: dove E è il campo elettrico generato dalle cariche sorgenti. 9 Poiché il potenziale è una misura dell energia per unità di carica, l unità di misura del potenziale nel SI è il joule su coulomb chiamato volt (V): 1V 1 J /C Un unità d energia comunemente usata in fisica è l elettronvolt (ev): 1 ev = (1e)(1 V) = (1.6 x C)(1J/C) = 1.6 x J Un ev è l energia cinetica guadagnata da una particella con carica e accelerata attraverso una differenza di potenziale di 1 V. 10 5

6 Consideriamo un campo elettrico uniforme diretto lungo l asse y negativo. Calcoliamo la differenza di potenziale fra due punti, A e B, separati da una distanza d, essendo d misurata parallelamente alle linee di campo. V B V A V E V B A B A ds Ed Eds E cos0 ds Eds Il segno meno deriva dal fatto che il punto B si trova a un potenziale minore del punto A; cioè, V B < V A. In generale, le linee di campo elettrico sono sempre puntate nella direzione di un potenziale elettrico decrescente. B A 0 B A 11 Supponiamo, ora, che una particella di prova con carica q 0 si muova da A a B. La variazione dell energia potenziale elettrica del sistema carica-tempo si può calcolare U q0 V q0ed Da questo risultato vediamo che se q 0 è positiva, U è negativa. Questo significa che quando una carica positiva si muove nel verso del campo elettrico, l energia potenziale elettrica del sistema carica-campo diminuisce. 12 6

7 Questa situazione è analoga alla variazione di energia potenziale gravitazionale mgd di un sistema campo-oggetto quando un oggetto con massa m cade per una altezza d in un campo gravitazionale uniforme, come mostrato in fig.. 13 Se una particella di carica positiva q 0 è abbandonata in quiete nel campo elettrico, essa subisce una forza elettrica q 0 E nella direzione e verso di E (verso in basso in fig). Perciò, essa accelera verso il basso, guadagnando energia cinetica. Poiché la particella carica guadagna energia cinetica, il sistema carica-campo perde una uguale quantità di energia potenziale. 14 7

8 Se q 0 è negativa, allora U è positiva e la situazione è rovesciata. Se una particella carica negativamente è abbandonata in quiete nel campo E essa viene accelerata in verso opposto a quello del campo elettrico. Il sistema carica-campo perde energia potenziale elettrica quando una carica negativa si muove nel verso opposto al campo elettrico. 15 Consideriamo ora il caso più generale di una particella carica che si muove fra due punti qualsiasi in un campo elettrico uniforme, come in fig.. Se r rappresenta il vettore spostamento fra i punti A e B, l eq. dà: dove ancora E, essendo costante, è stato portato fuori dal segno di integrale. Inoltre, la variazione di energia potenziale del sistema carica-campo sarà U = q 0 V = -q 0 E r 16 8

9 I nostri risultati dimostrano che tutti i punti che giacciono in un piano perpendicolare a un campo elettrico uniforme si trovano allo stesso potenziale. Ciò può essere visto in fig., dove la differenza di potenziale V B -V A = -E r = - E rcosq = -Ed = V C V A. Quindi V B = V C. Viene dato il nome di superficie equipotenziale a una qualunque superficie costituita da un insieme di punti che hanno lo stesso potenziale elettrico. E da notare che poiché U = q 0 V, non si compie alcun lavoro quando una particella di prova si muove fra due punti qualsiasi di una superficie equipotenziale. Le superfici equipotenziali di un campo elettrico uniforme sono costituite da una famiglia di piani tutti perpendicolari al campo. 17 Una batteria da 12 V è collegata a due piastre parallele come in fig.. La separazione fra le piastre è 0.3 cm e il campo elettrico è supposto uniforme. (Questa ipotesi è ragionevole se la distanza fra le piastre è piccola rispetto alle dimensioni delle piastre e se escludiamo punti vicino ai bordi). Determinare il campo elettrico fra le piastre. 18 9

10 Consideriamo una carica puntiforme positiva isolata q. Ricordiamo che una tale carica produce un campo elettrico radiale non uniforme uscente dalla carica. Per calcolare il potenziale elettrico alla distanza r dalla carica, partiamo dall espressione generale della differenza di potenziale, l eq. Poiché il campo elettrico di una carica puntiforme è dato da E = keqr/r2, dove r è il versore uscente dalla carica puntiforme nella direzione r, la grandezza Eds si può esprimere come 19 Il prodotto scalare è rds = ds cosq, dove q è l angolo formato tra r e ds. Inoltre, si noti che dscosq è la proiezione di ds lungo r, cosicchè ds cosq = dr. Con questa sostituzione si trova che Eds = (keq/r2)dr, per cui l espressione della differenza di potenziale diventa: 20 10

11 L integrale di linea di Eds è indipendente dal cammino percorso da A a B, come deve essere, perché il campo elettrico di una carica puntiforme è conservativo. Inoltre, l eq. esprime l importante risultato che la differenza di potenziale fra due punti qualsiasi A e B dipende soltanto dalle coordinate radiali r A ed r B. Per convenzione si sceglie come riferimento il potenziale nullo per r A =. Con questa scelta, il potenziale elettrico dovuto a una carica puntiforme in un punto a distanza r dalla carica è dato da: da ciò vediamo che V è costante su una superficie sferica di raggio r. 21 Quindi, concludiamo che le superfici equipotenziali per una carica puntiforme isolata sono rappresentate da una famiglia di sfere concentriche alla carica, come mostrato in fig.. Si noti che le superfici equipotenziali sono perpendicolari alle linee di campo elettrico, come nel caso di un campo elettrico uniforme

12 Il potenziale elettrico generato da due o più cariche puntiformi si ottiene applicando il principio di sovrapposizione. Ovvero, il potenziale in un certo punto P dovuto a più cariche puntiformi è la somma dei potenziali dovuti alle singole cariche. Per un sistema di cariche, possiamo scrivere il potenziale totale in P nella forma assumendo il potenziale ancora nullo all infinito e dove r i è la distanza del punto P dalla carica q i. Si noti che la somma nell eq. è una somma algebrica di scalari e non una somma vettoriale. Quindi, per un insieme di cariche è più facile calcolare V che calcolare E. 23 Consideriamo, ora, l energia potenziale elettrica di interazione di un sistema di particelle cariche. Se V 2 è il potenziale elettrico dovuto alla carica q 2 in un punto P, il lavoro necessario per portare una seconda carica q 1 dall infinito in P senza accelerazione è dato da q 1 V 2. Questo lavoro rappresenta l energia immagazzinata nel sistema, tale energia appare nel sistema come energia potenziale U del sistema delle due particelle (fig.) quando le particelle sono separate da una distanza r

13 Quindi si può esprimere l energia potenziale di una coppia di particelle cariche come: Si noti che se le cariche sono di segno uguale, U è positiva. Ciò è consistente col fatto che cariche simili si respingono e quindi bisogna compiere un lavoro positivo sul sistema per avvicinare le due cariche. Al contrario, se le cariche sono di segno opposto, la forza è attrattiva e U è negativa. Ciò significa che si deve compiere un lavoro negativo per avvicinare due cariche di segno opposto. In questo caso, un lavoro negativo viene compiuto da un agente esterno contro la forza attrattiva che si esercita tra le due cariche di segno opposto, le quali si attraggono l una all altra e quindi è necessario applicare una forza per evitare che la carica q 1 acceleri su q Un condensatore consiste di due conduttori di forma qualsiasi tra i quali è stabilita una differenza di potenziale V. Supponiamo che i conduttori abbiamo cariche opposte in segno ma di modulo uguale. Ciò può essere ottenuto collegando i due conduttori scarichi ai poli di una batteria. Una volta fatto ciò e scollegata successivamente la batteria, le cariche rimangono sui conduttori. Descriviamo ciò dicendo che il condensatore immagazzina cariche

14 La capacità C di un condensatore è definita come il rapporto tra la carica del condensatore e il valore assoluto della differenza di potenziale ai capi del condensatore: C Q V Per definizione, la capacità è una grandezza sempre positiva. Inoltre, essendo la differenza di potenziale proporzionale alla carica, il rapporto Q/ V è una costante per un dato condensatore. L eq. ci dice che la capacità di un sistema è una misura della quantità di carica che può essere immagazzinata nel condensatore per una data differenza di potenziale. L unità di capacità del sistema SI è il coulomb su volt, chiamata farad (F). 27 Un condensatore piano è costituito da due piastre parallele della stessa area A separate da una distanza d. Se il condensatore è carico, una piastra ha carica Q mentre l altra carica -Q. la carica per unità di superficie su ciascuna delle piastre (dette armature) è, in valore assoluto, s=q/a. Se le armature sono molto vicine tra loro (rispetto alla loro lunghezza e alla larghezza), si può adottare un modello semplificato in cui il campo elettrico sia uniforme fra le piastre e zero altrove. Secondo l esempio il campo elettrico fra le armature è: 28 14

15 Poiché il campo è uniforme, la differenza di potenziale ai capi del condensatore si può trovare Troviamo che la capacità è data da: pertanto, la capacità di un condensatore piano è proporzionale all area delle armature e inversamente proporzionale alla loro distanza. 29 Nello studio dei circuiti elettrici, usiamo una speciale rappresentazione grafica semplificata detta diagramma circuitale. Un tale diagramma usa i simboli circuitali per rappresentare i vari elementi del circuito. I simboli circuitali sono collegati da linee rette che rappresentano i fili conduttori fra gli elementi del circuito. La fig. mostra i simboli circuitali per un condensatore, una batteria e un interruttore aperto, insieme con il colore del loro codice

16 Due condensatori, collegati come nella rappresentazione grafica di fig., costituiscono un collegamento in parallelo. 31 La fig. mostra il diagramma circuitale di questa configurazione. Le armature di sinistra di entrambi i condensatori sono collegate mediante un filo conduttore al polo positivo della batteria e sono quindi al suo stesso potenziale. Analogamente, le armature di destra sono collegate al polo negativo della batteria e sono quindi al suo stesso potenziale. La tensione applicata ai capi della combinazione è perciò la tensione dei morseti della batteria. Inoltre, la tensione ai capi di ciascun condensatore è la stessa di quella ai morsetti della batteria

17 La carica totale Q immagazzinata nei due condensatori è: Q = Q 1 + Q 2 Supponiamo, ora, di voler sostituire questi due condensatori in fig. con un condensatore equivalente avente una capacità C eq. Questo condensatore equivalente deve accumulare una carica Q quando è collegato alla batteria. Inoltre dalla fig. si vede che la tensione ai capi del condensatore è V. Quindi, abbiamo: Q = C eq V e, per i singoli condensatori: Q 1 = C 1 V Q 2 = C 2 V Sostituendo queste relazioni ottiene: C eq V = C 1 V + C 2 V ossia C eq = C 1 + C 2 (collegamento in parallelo) 33 Estendendo questo ragionamento a tre o più condensatori collegati in parallelo, si trova che la capacità equivalente è: C eq = C 1 + C 2 + C 3 +.(collegamento in parallelo) da ciò si vede che la capacità equivalente di un insieme di condensatori collegati in parallelo è la somma algebrica delle singole capacità ed è maggiore di quella di ciascuno dei singoli condensatori

18 Consideriamo, ora, due condensatori collegati in serie, come mostrato in fig.. Per il collegamento in serie dei condensatori, il valore assoluto della carica è lo stesso su tutte le armature. 35 Supponiamo ora di voler determinare la capacità di un condensatore equivalente che svolga la stessa funzione del collegamento in serie. Una volta carico, il condensatore equivalente deve avere una carica Q sull armatura destra e +Q su quella sinistra. Applicando la definizione di capacità al circuito mostrato in fig., abbiamo V = Q/C eq dove V è la differenza di potenziale ai capi della batteria e C eq è la capacità equivalente

19 Poiché l armatura destra di C 1 e l armatura sinistra di C 2 nella fig. formano un conduttore isolato, ambedue le armature si trovano allo stesso potenziale V i, dove la i indica il conduttore isolato. La notazione V sinistra rappresenta il potenziale dell armatura sinistra di C 1, e V destra rappresenta il potenziale dell armatura destra di C 2. Poiché queste due ultime armature sono collegate direttamente alla batteria, la differenza di potenziale fra esse deve essere: V = V sinistra V destra 37 Se sommiamo e sottraiamo V i a questa equazione, abbiamo: V = (V sinistra V i ) +(V i V destra ) che possiamo scrivere come: V = V 1 + V 2 dove V 1 e V 2 sono le differenze di potenziale ai capi dei condensatori C 1 e C 2. In generale, la differenza di potenziale ai capi di un qualsiasi numero di condensatori in serie è uguale alla somma delle differenze di potenziale ai capi dei singoli condensatori

20 Poiché la relazione Q = C V può essere applicata a ciascun condensatore, la differenza di potenziale ai capi di ognuno di essi è data da: V 1 = Q/C 1 V 2 = Q/C 2 Sostituendo queste espressioni precedenti abbiamo: Q/C eq = Q/C 1 + Q/C 2 Semplificando Q, arriviamo alla relazione: 1/C eq = 1/C 1 + 1/C 2 (collegamento in serie) 39 Applicando la stessa analisi a tre o più condensatori in serie, si trova che la capacità equivalente è 1/C eq = 1/C 1 + 1/C 2 + 1/C 3 + (collegamento in serie) Ciò dimostra che il reciproco della capacità equivalete è la somma algebrica dei reciproci delle singole capacità e la capacità equivalente di un collegamento in serie è sempre minore delle capacità dei singoli condensatori