La risposta numerica deve essere scritta nell apposito riquadro e giustificata accludendo i calcoli relativi.

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1 Corso di Laurea in Matematica Prima prova in itinere di Fisica 2 (Prof. E. Santovetti) 22 ottobre 207 Nome: La risposta numerica deve essere scritta nell apposito riquadro e giustificata accludendo i calcoli relativi. Problema. Sono dati due gusci sferici concentrici di spessore trascurabile di raggio R e 2R, come in Figura. Il guscio interno ha una densità di carica superficiale σ = C/m 2 mentre il guscio esterno ha densità di carica σ/4, entrambe uniformi. La carica totale presente sul guscio interno vale Q = 0.5 nc. Calcolare (a) il massimo valore del campo elettrico (modulo) e (b) l energia elettrostatica del sistema. Calcolare infine (c) la minima velocità che deve avere un elettrone, che parte dal centro, per uscire dalla sfera più esterna. E ma [V/m] = 638 U [J] = v min [m/s] = Problema 2. Tre condensatori piani identici (Σ = 47.0 cm 2, d = 0.4 mm) sono connessi come nella Figura 2. Inizialmente l interruttore S è aperto e i condensatori sono scarichi. Si chiude l interruttore su una batteria V 0 = 20.0 V e i condensatori si caricano. Calcolare (a) la carica che passa attraveso l interruttore. A questo punto si apre l interruttore e successivamente si riempie il condensatore di destra di materiale dielettrico. Se durante il riempimento del condensatore, attraverso il punto A passa la carica Q = 9.2 nc, calcolare (b) la costante dielettrica del mezzo e (c) la nuova differenza di potenziale tra le armature dei condensatori. Q [C] = ε r = 0.9 V [V] = 4.66 Problema 3. Si consideri il circuito di Figura 3, in cui R = 2.5 Ω, la batteria vale ε = 2.0 V e il ramo in cui è inserito l amperometro A ha una resistenza trascurabile. Calcolare (a) la corrente fornita dalla batteria e (b) la corrente letta dall amperometro. Si vuole diminuire la potenza dissipata sul circuito e, a tale fine, si può tagliare uno dei rami del circuito (escluso naturalmente il ramo in cui c è la batteria). Quale ramo tagliereste? Si calcoli il rapporto della potenza dissipata avendo tagliato il ramo rispetto a quella iniziale. i b [A] = 2.30 i A [A] = r = Problema 4. Sono dati due fili rettilinei, infiniti e paralleli, percorsi dalla corrente = 5.20 A in verso opposto, e separati dalla distanza 2d. Tra i due fili è presente una spira quadrata di lato d percorsa dalla corrente i 2 = 560 ma. Il piano della spira è perpendicolare al piano dei due fili paralleli e la geometria è descritta in dettaglio nella Figura 4. Prendendo un sistema di assi cartesiani, i fili hanno equazione ( = 0, = ±d) e scorrono lungo z, mentre la spira quadrata giace sul piano z con due lati contigui che giacciono proprio sugli assi e z. Si calcoli la forza magnetica che i due fili infiniti esercitano (a) sul lato e (b) sul lato 3 della spira. Dimostrare infine (c) che la forza dei due fili sui lati 2 e 4 della spira è nulla (singolarmente). (facoltativo) Cosa succede se la corrente sui fili infiniti scorre nello stesso verso (verso le z positive)? F [N] = F 3 [N] = Dati utili: = F/m, µ 0 = 4π 0 7 H/m, e = C, m e = Kg.

2 σ/4 σ R e S A V 0 Figura 2 Problema 2 Figura Problema z R 3R 2 d 3 ε A 4 d 4R 2R Figura 3 Problema 3 Figura 4 Vista in prospettiva (sinistra) e dall alto (destra) del guardando lungo l asse z, dal lato delle z positive. La spira quadrata giace sul piano z, con i lat e 4 rispettivamente sull asse z e. La corrente del filo infinito in = d è nel verso delle z crescenti come la corrente sul lato della spira. 2

3 Soluzione Problema Dobbiamo calcolare campo e potenziale della distribuzione continua costituita dalle due sfere. Data la simmetria sferica, possiamo sicuramente invocare il teorema di Gauss, dividendo il nostro spazio in tre diverse regioni: dentro la sfera più interna (r < R); tra le due sfere (R r < 2R); fuori dalla sfera esterna (r 2R). In tutti i casi, il campo è radiale e la superficie gaussiana che prenderemo è una sfera di raggio generico r. Prima di procedere calcoliamo il raggio R dal fatto che conosciamo la densità σ e la carica totale Q. All interno della sfera piccola: Q = 4πR 2 σ R = Q = m. 4πσ Tra le due sfere: r < R : Φ(E) = Q int 4πr 2 = Q int = 0 E = 0 R r < 2R : Fuori dalla sfera esterna: Φ(E) = Q int 4πr 2 = Q E(r) = Q 4π r 2 r 2R : Φ(E) = Q int 4πr 2 = Q Q = 0 E = 0 Il valore massimo assunto dal campo è dunque quello che si ha nelle immediate vicinanze della sfera interna, all esterno di questa, e vale E ma = E(r R ) = Q 4π R 2 = σ = 638 V/m. L energia elettrostatica del sistema la calcoliamo partendo dalla densità di energia e integrando sul volume dove il campo è diverso da zero cioè tra le due sfere. U = u E dτ = ε 2R 0 E(r) 2 4πr 2 dr = Q2 2R dr V 2 R 8π R r 2 = Q2 6π R = J. Per calcolare la minima velocità che deve avere un elettrone per uscire dalle sfere, possiamo usare la conservazione dell energia. In particolare, poiché il campo è diverso da zero solo tra le due sfere, possiamo scrivere 2R 2 m ev 2 = e V = e Edr = Qe 2R dr R 4π R r 2 = Qe Qe v = 8π R 4π m e R = m/s. Problema 2 I tre condensatori sono posti in parallelo. Ognuno si porta alla tenzione V 0 e dunque acquista una carica Q = V 0 C. La carica che passa per l interruttore sarà tre volte la carica Q. Q = V 0 C = V 0 Σ d = 5.94 nc Q tot = 3Q = 7.8 nc Una volta caricati i condensatori e aperto l interruttore S, la carica totale rimane costante. Finchè non c è il dielettrico, i condensatori hanno tutti la stessa capacità e dunque hanno tutti la stessa carica Q. Numeriamo ora i condensatori da a 3 (da sinistra verso destra nella figura) e sia il condensatore 3 quello in cui si inserisce il dielettrico. Quando metto il dielettrico, sul condensatore 3 si accumula più carica perché aumenta la sua capacità rispetto agli altri due. Indichiamo con l apice le cariche dopo l inderimento del dielettrico. La carica finale sul condensatore 3 la conosco e vale Q 3 = Q Q = 5. nc D altra parte la carica totale rimane la stessa ed inoltre i tre condensatori condividono la stessa differenza di potenziale (sono in parallelo). Possiamo dunque scrivere 3

4 Q Q 2 Q 3 = Q tot = 3Q, Q C = Q 2 C = Q 3 ε r C e abbiamo un sistema di tre equazioni nelle tre incognite Q, Q 2 e ε r che fornisce la soluzione Q = Q 2 = Q Q 2 =.38 nc ε r = Q 3 Q = Q Q Q = Q La tenzione finale la troviamo facilmente dalla carica rimasta sui condensator,2, cioè V = Q Q C = Σ d Q 2 = V 0 d Q 2 Σ = 4.66 V Problema 3 Prendiamo le correnti di maglia come nella figura e scriviamo le equazioni sulle tre maglie ε 5R Ri 2 4Ri 3 = 0 () 4Ri 2 R = 0 (2) 6Ri 3 4R = 0. (3) Questo sistema si risolve facilmente ricavando i 2 e i 3 dalle equazioni (2) e (3) rispettivamente e sostituendo in (). Risolvendo otteniamo = 2ε 25R = A i 3 = 8ε 25R =.546 A i 2 = 3ε 25R = A La corrente è proprio la corrente del generatore mentre la corrente dell amperometro è i A = i 3 i 2 = ε 5R 0.960A e scorre da sinistra verso destra, essendo i 3 > i 2, con i versi delle correnti assunti nella Figura. Vediamo ora cosa succede alla potenza e come si può ridurre. Per calcolare la potenza dissipata conviene sicuramente considerare la resistenza equivalente vista dalla batteria e usare la formula ε P = i g ε = ε2 R eq Minimizzare la potenza significa massimizzare la resistenza equivalente. Senza tagliare nessun ramo abbiamo R eq = R 3R 2R 4R = 3 4 R 4 3 R = 25 2 R P = 2ε2 25R = 27.6 W Possiamo tagliare uno dei cinque rami di sinistra del circuito, quattro sono quelli con le resistenze e uno è il ramo dell amperometro. Si fa presto a vedere che la resistenza equivalente più alta la si ottiene tagliando il ramo con la resistenza 2R, lasciando in questo modo la resistenza 4R in serie al parallelo R 3R. Abbiamo allore R eq = 4R 3 4 R = 9 4 R P = 4ε2 P = 2. W r = 9R P = R eq R = 25 eq 57 = R 4R i 2 i 3 A 3R 2R 4

5 Problema 4 Per calcolare la forza che i due fili esercitano sul lato e sul lato 3 possiamo usare la formula che ci dà la forza tra due fili per unità di lunghezza e poi moltiplicare per il lato d. Inoltre sappiamo che la forza è attrattiva se le correnti sono nello stesso verso e repulsiva se le correnti sono contrarie. Per distinguere i due fili infiniti, indichiamo con a il filo infinito con la corrente che sale ( = d) e con b il filo infinito con la corrente che scende ( = d). La situazione è rappresentata nella figura. Per quanto riguarda il lato della spira, la forza esercitata dal filo a, con la corrente che sale, è attrattiva, mentre quella del filo b è repulsiva. Il modulo di queste due forze è identico e agiscono entrambe nella direzione delle positive. a F a F b F b3 F a3 F a = F b = µ 0 i 2 2πd d La forza totale sarà la somma e dunque b F = F a F b = µ 0 i 2 = N π diretta lungo l asse nel verso positivo. Le forze che si esercitano sul lato 3, data la sua posizione, non sono più nella stessa direzione e la situazione è quella della figura, in cui le forze formano un angolo di 45 o rispetto all orizzontale. I moduli invece risultano uguali e pari a F a3 = F b3 = µ 0 i 2 2π 2d d = µ 0 i 2 2π 2 La somma questa volta va fatta usando le componenti. Si vede facilmente che la componente delle due forze si annulla e rimane solo la componente. F 3 = F a3 F b3 = 2F a3 sin45 o = µ 0 i 2 2π = N diretta nel verso delle negative. Vediamo infine la forza sul lato 2 della spira. Questo non è parallelo al filo infinito dunque non possiamo usare la forza tra due fili paralleli ma dobbiamo usare la legge elementare di Laplace che ci dice che su un tratto di filo dl, percorso dalla corrente i, in un campo B c è una forza a df = idl B D altra parte si può facilmente vedere (vedi figura al lato) che il campo prodotto dai due fili infiniti nel piano z (piano della spira) è proprio lungo l asse, avendo i due campi prodotti dai due fili la stessa componente e componente uguale e contraria lungo. Dunque sui due lati 2 e 4 il campo B è proprio parallelo alla corrente e dunque la forza è nulla. dl B a B b Vediamo brevemente cosa succede se la corrente scorre nello stesso verso sui due fili infiniti e assumiamo che anche sul filo b la corrente salga. Al centro dei due fili il campo è nullo, dunque sul lato della spira F = 0. Ugualmente, considerando b 5

6 la forza tra due fili, i due fili attraggono il lato nello stesso modo e la forza si annulla. Nella posizione del lato 3 il campo vale lo stesso di prima ma è ora lungo e dunque la forza è in modulo la stessa di prima ma ora è lungo, nel verso positivo. Vedendola direttamente con le forze dei singoli fili, ora queste due sono entrambe repulsive e dunque la risultante è lungo positiva. La situazione è rappresentata nella figura di sotto. Infine vediamo sui lati 2 e 4. Ora il campo magnetico risultante è lungo e dunque abbiamo una forza non nulla lungo z, infatti nel punto generico dell asse i campi prodotti dai due fili infiniti ora hanno componente uguale ed opposta mentre esattamente la stessa componente che vale µ 0 B = 2 2π d 2 2 d 2 2 = µ 0 π d 2 2 j nel verso delle positive. La forza magnetica si troverà integrando la forza elementare sul tratto d, dunque F = µ 0 i 2 π d Poiché sul lato 2 la corrente scorre nel verso positivo delle, la forza sul lato 2 risulterà orientata nel verso delle z positive. Naturalmente la forza su lato 4 sarà esattamente uguale ed opposta cambiando solo il verso della corrente sul lato della spira quadrata. 0 d d 2 2 = µ 0 i 2 2π ln(d2 2 ) d = µ 0 i 2 0 2π ln2 = N. a F a F b =0 F a F b3 F a3 F b b 6