Elettromagnetismo. Induttanza e mutua induttanza Energia Magnetica. Lezione n Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Induttanza e mutua induttanza Energia Magnetica Anno Accademico 2017/2018

2 Induttanza Consideriamo una spira percorsa da una corrente I La spira genera un campo magnetico B Per la legge di Biot e Savart, vedi diapositiva ) Notiamo che il campo magnetico dipende linearmente dalla corrente Il flusso di B attraverso la spira è dato da Sostituiamo l'espressione di B data dalla formula di Biot e Savart Di solito l'integrale è difficile da calcolare Tuttavia dice una cosa semplice e importante Il flusso è proporzionale alla corrente L è l'induttanza della spira L'unità di misura è l'henry Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 208

3 Induttanza La formula per l'induttanza può essere messa in una forma più semplice Partiamo dalla definizione di flusso Utilizziamo il Teorema di Stokes Utilizziamo l'espressione per il potenziale vettore ( diapositiva ) Introducendo nell'espressione per il flusso L'espressione trovata per L è più semplice Formula di Neumann È comunque un integrale complicato Diverge per un filo con raggio tendente a zero Serve un modello della ripartizione della corrente su un filo di raggio finito Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 209

4 Mutua induttanza Consideriamo adesso un sistema composto da due spire La spira 1 del caso precedente Percorsa da una corrente I 1 genera un campo B 1 La spira 2, posta in una posizione fissata rispetto alla spira 1 Naturalmente il campo magnetico B 1 ha anche un flusso concatenato alla spira 2 Spira 2 Ricordiamo la formula del potenziale vettore Spira 1 Usiamo ancora una volta il Teorema di Stokes Il flusso nella spira 2 dipende dalla corrente I 1 Formula di Neumann per la Mutua Induttanza Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 210

5 Mutua induttanza Se consideriamo adesso una corrente I 2 che circola nella spira 2 troviamo delle espressioni analoghe Le relazioni trovate insieme alle precedenti ci permettono di scrivere il sistema di relazioni L 1, L 2 M 12, M 21 Autoinduttanza Mutua induttanza L'uguaglianza M 12 = M 21 esprime una simmetria non evidente a prima vista Il flusso che una corrente I 1 induce nella spira 2 è uguale al flusso che una corrente I 2 induce nella spira 1 Il flusso Φ ij indica il flusso nella spira i dovuto alla corrente j Le relazioni trovate possono essere estese ad un sistema di N spire Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 211

6 Forze elettromotrici indotte Supponiamo adesso di variare la corrente I 1 che circola nella spira 1 Il flusso concatenato con la spira 2 varia Appare una forza elettromotrice indotta Spira 2 Abbiamo pertanto indotto una forza elettromotrice nella spira 2 agendo sulla spira 1 La forza elettromotrice E 21 genera una corrente nella spira 2 Non ci sono collegamenti elettrici diretti La variazione di corrente I 1 genera una variazione di flusso anche nella spira 1 stessa Anche nella spira 1 compare una forza elettromotrice Spira 1 Può risultare difficile dedurre i versi delle correnti indotte Spesso è più conveniente utilizzare la legge di Lenz Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 212

7 Esempio Consideriamo due solenoidi coassiali Solenoide 1 di raggio a, n 1 spire e lunghezza l 1 Solenoide 2 di raggio b, n 2 spire e lunghezza l 2 Calcoliamo la mutua induttanza nell'ipotesi il solenoide più interno sia molto lungo Il questa approssimazione il campo magnetico nel solenoide più interno è diretto lungo l'asse ed è uniforme Se nel solenoide interno circola una corrente I il campo magnetico è Il flusso concatenato con il solenoide esterno è Otteniamo infine una spira n 2 spire Osserviamo che se avessimo fatto il calcolo inverso le cose sarebbero state molto più complicate Il solenoide l 2 non è lungo; il suo campo non è uniforme Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 213

8 Circuiti con induttanze Consideriamo un solenoide di induttanza L collegato ad una batteria con fem E 0 Il conduttore dell'avvolgimento ha una resistenza complessiva R Da un punto di vista elettrico il solenoide è schematizzato come una resistenza e un'induttanza in serie Benché si tratti di caratteristiche distribuite è adeguato rappresentarle concentrate (lumped) Quando l'interruttore viene chiuso comincia a circolare una corrente i(t) La corrente nella resistenza provoca una caduta Ri La corrente nel solenoide genera un campo magnetico Il flusso concatenato varia Compare una forza elettromotrice indotta E i che si oppone alla variazione di flusso La forza elettromotrice indotta genera una corrente che riduce i(t) In sintesi le equazioni sono Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 214

9 Circuiti con induttanze Prima di risolvere matematicamente il problema cerchiamo di capire la fisica Prima della chiusura dell'interruttore, ovviamente, la corrente è nulla Per tempi molto grandi il circuito avrà raggiunto una condizione stazionaria Nel solenoide circola una corrente costante Non ci sono forze elettromotrici indotte (di/dt 0) Il solenoide genera un campo magnetico La corrente è data da Subito dopo la chiusura la corrente deve essere circa zero Se avesse una variazione discontinua la fem indotta sarebbe infinita La caduta di tensione sulla resistenza è trascurabile Ri 0 La fem indotta ha modulo circa uguale a E 0 e limita a zero la corrente L'induttanza limita la massima velocità di crescita della corrente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 215

10 Circuiti con induttanze Veniamo adesso alla soluzione dell'equazione differenziale Facciamo la sostituzione definiamo otteniamo La soluzione per t > 0 è La condizione iniziale i(0) = 0 dà Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 216

11 Trasformatore Consideriamo due solenoidi coassiali con n 1 e n 2 spire rispettivamente I raggi dei due solenoidi sono uguali Supponiamo inoltre che siano molto lunghi Il campo di induzione magnetica B è contenuto completamente all'interno dei solenoidi Colleghiamo un generatore di forza elettromotrice V P (t) variabile nel tempo al solenoide 1 (che ha n 1 spire) Circola una corrente e viene generato un campo magnetico Il flusso concatenato è Φ 1 = n 1 Φ ( Φ è il flusso attraverso una spira) Naturalmente il flusso concatenato al secondo solenoide è Φ 2 = n 2 Φ Nei solenoidi vengono indotte le forze elettromotrici E 1 e E 2 Se la resistenza dei solenoidi è piccola (vedi diapositiva ) Il simbolo del trasformatore nei circuiti è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 217

12 Energia del campo magnetico Abbiamo trovato l'equazione che descrive l'andamento temporale della corrente i(t) La batteria eroga una potenza P E La potenza dissipata nella resistenza è P R La potenza erogata è maggiore di quella dissipata La differenza è la potenza trasferita al solenoide Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 218

13 Energia del campo magnetico Pertanto viene trasferita una certa quantità di energia W al solenoide L'energia trasferita al solenoide è immagazzinata nel campo magnetico B Può essere recuperata "spegnendo" il campo magnetico come vedremo fra poco Si poteva giungere a questo risultato in modo diverso Consideriamo l'equazione del circuito moltiplichiamo per i Interpretiamo dicendo che per "mettere in moto" la corrente la batteria deve compiere un lavoro erogando una potenza P L Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 219

14 Energia del campo magnetico Vediamo cosa succede se si "spegne" il campo magnetico Modifichiamo il circuito con un deviatore In una posizione si "carica" il solenoide Nell'altra si "scarica" attraverso la resistenza R Supponiamo che nel solenoide circoli una corrente I 0 prima di spostare il deviatore Senza la batteria la corrente tende a diminuire Compare una fem indotta E i che si oppone alla diminuzione della corrente L'equazione del circuito è simile al caso precedente La soluzione è semplice Nella resistenza viene dissipata una potenza P R Osserviamo che l'energia immagazzinata nel campo viene "recuperata" e dissipata nella resistenza Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 220

15 Energia del campo magnetico Nell'esempio precedente abbiamo supposto che il solenoide venisse "spento" lentamente Si è "staccata" la batteria ma nello stesso istante si è chiuso il circuito su un altro ramo in modo che l'energia venisse dissipata nella resistenza Se invece il circuito venisse aperto di colpo la corrente dovrebbe passare a zero istantaneamente Una discontinuità nelle corrente genererebbe una fem infinita In pratica si sviluppa una fem molto elevata che genera scariche elettriche Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 221

16 Energia del campo magnetico Nell'esempio precedente abbiamo supposto che il solenoide venisse "spento" lentamente Si è "staccata" la batteria ma nello stesso istante si è chiuso il circuito su un altro ramo in modo che l'energia venisse dissipata nella resistenza Se invece il circuito venisse aperto di colpo la corrente dovrebbe passare a zero istantaneamente Una discontinuità nelle corrente genererebbe una fem infinita In pratica si sviluppa una fem molto elevata che genera scariche elettriche Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 222

17 Energia Magnetica Abbiamo che in un circuito con induttanza e resistenza appare una forza elettromotrice Il lavoro che la batteria fa nell'intervallo di tempo dt per trasportare la carica dq = Idt attraverso il circuito è Il lavoro della batteria viene quindi speso Per modificare il campo magnetico: IdΦ Come dissipazione Joule nella resistenza: RI 2 dt Nel seguito trascuriamo l'effetto Joule (R 0) dw b = IdΦ Supponiamo adesso di avere un sistema composto da più circuiti accoppiati La formula precedente viene generalizzata in La corrente del circuito k è I k La variazione del flusso del circuito k è dφ k Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 223

18 Energia Magnetica Se consideriamo un sistema di circuiti rigidi e stazionari dw b è l'energia che la batteria spende per modificare i campi magnetici Calcoliamo adesso l'energia necessaria per passare dalla condizione in cui tutte le correnti sono nulle alla condizione finale L'energia è indipendente dall'ordine con il quale si raggiunge la condizione finale Scegliamo di farlo facendo cambiare tutte le correnti in modo proporzionale In un dato istante tutte le correnti sono pari ad una frazione α della corrente finale: I k (α) = αi k dφ k (α) = Φ k dα Otteniamo La relazione trovata è generale Vale anche in presenza di materiali magnetici purché lineari Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 224

19 Energia Magnetica Nel caso di circuiti accoppiati il flusso del circuito k è dovuto alle correnti di tutti i circuiti Sostituendo nella formula dell'energia Troviamo adesso una relazione fra L 1, L 2 e M 12 = M nel caso di due circuiti accoppiati (n = 2, M 12 = M 21 = M) Il termine MI 1 I 2 può essere positivo o negativo Gli altri due termini sono sempre positivi W b è positiva o nulla per qualunque valore di I 1 o I 2 Posto l'energia diventa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 225

20 Energia Magnetica Deve essere Troviamo il minimo è un minimo Al minimo abbiamo Concludiamo che la mutua induttanza è limitata superiormente In generale si scrive Il valore k = 1 si ha quando tutte le linee di campo della spira 1 attraversano anche la spira 1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 226

21 Energia del campo magnetico Abbiamo espresso l'energia necessaria per stabilire una corrente I in una spira di induttanza L come Troviamo adesso un'espressione che esprima l'energia direttamente in funzione del campo magnetico B Iniziamo ancora dall'espressione del flusso Φ = LI Dalla definizione di flusso Introduciamo nell'espressione dell'energia Consideriamo adesso un tratto del circuito C Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 227

22 Energia del campo magnetico Osserviamo che dadl = dv Se da è una sezione costante la circuitazione diventa un integrale di volume Se la sezione del circuito non è infinitesima si può ripetere il ragionamento considerando In entrambi i casi otteniamo L'integrale è esteso a tutto il volume del circuito (J 0) Si può generalizzare estendendo a tutto lo spazio Ricaviamo un'altra espressione importante Esprimiamo J in funzione di B Usiamo l'equazione di Maxwell Inseriamo nell'espressione dell'energia W Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 228

23 Energia del campo magnetico Utilizziamo la relazione (diapositiva ) Nel secondo integrale utilizziamo il Teorema della divergenza L'integrale è esteso a tutto lo spazio La superficie S può essere molto distante dal sistema I campi A e B vanno a zero a grandi distanze pertanto l'integrale è nullo In definitiva otteniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 229

24 Energia del campo magnetico Interpretiamo il risultato appena trovato Al campo magnetico B è associata una densità di energia magnetica ρ M L'energia totale è l'integrale di volume della densità È interessante notare la stretta analogia con il caso elettrostatico Sottolineiamo ancora una volta che non è stato fatto lavoro contro la forza magnetica Il lavoro della forza magnetica è nullo L'energia immagazzinata nel campo magnetico B deriva dal lavoro fatto contro la forza elettromotrice indotta che si oppone alle variazioni di flusso Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 230

25 Energia elettrica e magnetica Per finire interpretiamo anche un importante risultato intermedio ( diap ) È importante perché esprime la densità di energia magnetica in funzione del potenziale vettore È analoga alla corrispondente relazione elettrostatica che esprime la densità di energia elettrica in funzione del potenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 231