Operatore applicato a prodotti

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1 Operatore applicato a prodotti Con l'operatore «Nabla" ( ) abbiamo definito tre operazioni applicandolo Ad una funzione scalare per costruire un vettore: gradiente φ Ad una funzione vettoriale per costruire uno scalare: divergenza F Ad una funzione vettoriale per costruire un vettore: rotore F Ci sono due modi per costruire una funzione scalare a partire da due funzioni (scalari o vettoriali) Prodotto di due funzioni scalari fg Prodotto di due funzioni vettoriali A B Analogamente ci sono due modi per costruire una funzione vettoriale a partire da due funzioni (scalari o vettoriali) Prodotto di una funzione scalare e una vettoriale fa Prodotto di due funzioni vettoriali A B Calcoleremo Il gradiente per i primi due casi La divergenza per gli altri due casi Il rotore per gli altri due casi In totale sei formule Abbiamo così esaurito tutte le possibilità di applicare l'operatore al prodotto di due funzioni (scalari o vettoriali) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 52

2 Operatore applicato a prodotti Gradiente di una funzione scalare (risultato di un prodotto) Divergenza di una funzione vettoriale (risultato di un prodotto) Rotore di una funzione vettoriale (risultato di un prodotto) Una precisazione sull'espressione Analogamente per le componenti y e z Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 53

3 Divergenza del campo magnetico Calcoliamo la divergenza di B Sottolineiamo che calcoliamo le derivate rispetto a r Con r intendiamo l'operatore che agisce sulle coordinate r Inoltre abbiamo scambiato l'ordine di derivazione integrazione Utilizziamo l'identità (C D) = B C C D Evidentemente r J(r ) = 0 J(r ) non dipende da r Notiamo che l'argomento di r è sostanzialmente il campo elettrostatico di una carica puntiforme Il suo rotore è pertanto nullo Pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 54

4 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Sorgenti del campo magnetico Circuitazione e rotore del campo magnetico Legge di Ampère; applicazioni Anno Accademico 2018/2019

5 Circuitazione del campo magnetico La divergenza del campo magnetico esprime una proprietà importante del campo Come in elettrostatica, ci permetterà di scrivere equazioni differenziali Tuttavia non definisce il legame del campo con le sue sorgenti Ricordiamo che nel caso del campo elettrico la circuitazione esprimeva la proprietà del campo di essere conservativo Ritorniamo al campo del filo infinito Le linee di campo sono delle circonferenze intorno al filo Il modulo del campo dipende dalla distanza dal filo Per completezza, le componenti sono Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 56

6 Circuitazione del campo magnetico Iniziamo con la circuitazione di B lungo il cammino indicato in figura L'integrale lungo Γ a e lungo Γ c è nullo Il cammino è radiale È perpendicolare al campo magnetico: B dl = 0 Lungo Γ b B è costante e l'integrale è Analogamente l'integrale lungo Γ d è Il segno meno deriva dal fatto che il campo magnetico e il cammino hanno verso opposto In definitiva Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 57

7 Circuitazione del campo magnetico Consideriamo ancora il campo magnetico di un filo infinito Calcoliamo adesso la circuitazione lungo il cammino Γ in figura Una circonferenza di raggio r 1 centrata sul filo Il campo magnetico e il cammino sono sempre paralleli Otteniamo pertanto In questo caso la circuitazione non è nulla A differenza dal caso precedente il cammino "gira intorno" a una corrente Si dice che la corrente è concatenata con il cammino Notiamo che il campo magnetico B non è conservativo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 58

8 Circuitazione del campo magnetico I due risultati trovati possono essere espressi con una unica legge La circuitazione del campo magnetico è uguale alla corrente concatenata con il cammino Se non c'è corrente concatenata la circuitazione è nulla Tuttavia abbiamo utilizzato cammini particolari Circonferenze, archi di circonferenza, raggi Dimostriamo adesso che i due risultati trovati valgono per cammini arbitrari Iniziamo con un cammino senza corrente concatenata Consideriamo ad esempio il cammino in figura Ogni arco Δθ negativo o positivo È evidente che può essere approssimato con cammini infinitesimi fatti con raggi e circonferenze Ci si convince facilmente che la circuitazione lungo il cammino è nulla I cammini radiali non contribuiscono I contributi dei cammini lungo gli archi si elidono Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 59

9 Circuitazione del campo magnetico Consideriamo adesso un cammino Γ a concatenato con una corrente Consideriamo anche il cammino Γ b La parte di "raccordo" può essere resa trascurabile La parte esterna Γ 1 coincide, a meno di un tratto infinitesimo, con Γ a La parte interna Γ 2, a meno di un tratto infinitesimo mancante, è una circonferenza come quelle utilizzato fino ad ora Rispetto alla corrente concatenata i cammini Γ 1 e Γ 2 sono percorsi in senso opposto Avremo Abbiamo visto che la circuitazione lungo Γ 2 è proporzionale alla corrente concatenata In questo caso con il segno meno Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 60

10 Circuitazione del campo magnetico Per finire consideriamo un cammino che "gira" intorno alla corrente più di una volta Utilizzando opportuni tratti radiali rispetto al filo, il cammino può essere suddiviso in più cammini chiusi ognuno dei quali "gira" intorno al filo una sola volta Se complessivamente il cammino gira intorno al filo N volte avremo Per tutti i casi considerati abbiamo usato il campo magnetico di un filo infinito Possiamo considerare un fatto sperimentale il risultato che la legge trovata vale per qualunque campo magnetico generato da un sistema arbitrario di correnti stazionarie Anche più fili percorsi da correnti diverse Il risultato è sempre Legge di Ampère Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 61

11 Rotore del campo magnetico Finora abbiamo considerato le correnti trasportate da fili conduttori I risultati trovati possono essere estesi a sistemi descritti dalla densità di corrente Supponiamo di analizzare un sistema caratterizzato da una densità di corrente J(x,y,z) Ricordiamo che la condizione di corrente stazionaria implica Per l'equazione di continuità avremo La legge di Ampère diventa Applichiamo il teorema di Stokes al primo membro Dato che la relazione vale per Γ (S) arbitrari Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 62

12 Rotore del campo magnetico Per concludere dimostriamo che il campo B espresso con la legge di Biot-Savart soddisfa l'equazione del rotore appena vista Calcoliamo il rotore Ancora una volta r agisce sulla variabile r e inoltre abbiamo scambiato derivate e integrale Elaboriamo l'integrando utilizzando la formula ( vedi diapositiva ) Poniamo temporaneamente u = r r' Il primo e il quarto termine sono nulli L'operatore r è applicato a una funzione di r Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 63

13 Rotore del campo magnetico Pertanto l'integrando si riduce a Introduciamo nella formula del rotore Dimostreremo che il primo integrale è nullo Nel secondo integrale (vedi elettromagnetismo 1 diapositiva 198) Inseriamo nell'integrale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 64

14 Rotore del campo magnetico Per completare la dimostrazione dimostriamo che il primo integrale è nullo Si tratta di tre integrali, uno per ciascuna componente Ad esempio la componente x r agisce su una funzione di r r Possiamo fare agire su r Utilizziamo l'identità (vedi diapositiva ) L'integrale della componente x diventa In magnetostatica r J(r ) = 0 Il primo integrale può essere trasformato con il teorema della divergenza Facendo tendere la superficie all'infinito l'integrale è nullo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 65

15 Magnetostatica ed elettrostatica Riepiloghiamo le leggi fin qui trovate per l'elettrostatica e la magnetostatica Elettrostatica Magnetostatica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 66

16 Unità di misura Le dimensioni e le unità di misura del campo di induzione magnetica B possono essere definite utilizzando la forza di Lorentz Assumiamo E = 0 Nel sistema MKSA le dimensioni del campo B sono L'unità di misura nel sistema MKSA è il Tesla, simbolo T Un campo magnetico di un Tesla esercita la forza di 1 N su una carica di 1 C che si muove con una velocità di 1 m/s Il campo magnetico terrestre è dell'ordine di 10 5 T È molto utilizzato un sottomultiplo improprio: il Gauss G Improprio perché in realtà è l'unità di misura nel sistema CGS Le dimensioni sono diverse Tuttavia, numericamente, 1T = 10 4 G Il campo magnetico terrestre è dell'ordine di 0.1 G Notiamo infine le dimensioni di B rispetto a quelle di E Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 67

17 Filo di raggio a percorso da corrente Consideriamo un filo percorso da una corrente I Non trascuriamo il raggio del filo Supponiamo che la corrente sia dovuta ad una densità di corrente uniforme sulla sezione del filo I Data la simmetria del problema le linee di campo sono delle circonferenze concentriche al filo Possiamo utilizzare la legge di Ampère per calcolare il campo magnetico All'esterno del filo r > a Uguagliando I All'interno del filo r < a Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 68

18 Filo di raggio a percorso da corrente Riepilogando r > a r < a I Scriviamo adesso il campo in forma vettoriale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 69

19 La spira "cosφ" Consideriamo adesso il campo generato da due fili percorsi da corrente La corrente nei due fili circola in senso opposto a I a I r r Consideriamo adesso i due fili parzialmente sovrapposti Nella regione di sovrapposizione la densità di corrente è nulla Una regione vuota, senza materiale Le densità di corrente che non si annullano sono come in figura Trasportano una densità di corrente uniforme ma con versi opposti Hanno una forma tale che lo spessore della regione J 0 varia come cosφ Consideriamo un punto nella regione J = 0 Dimostriamo che in questa regione il campo B ha solo la componente y Inoltre il campo ha modulo costante Ricordiamo che i campi dei due fili sono Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 70

20 La spira "cosφ" Consideriamo in dettaglio la regione interna Campo uniforme diretto verso il basso Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 71

21 I dipoli di LHC I 56 mm Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 72

22 I dipoli di LHC Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 73

23 I dipoli di LHC Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 74

24 Operatore applicato due volte Le relazioni viste nella diapositiva contengono solo derivate prime Applicando due volte l'operatore si ottengono espressioni con derivate seconde Una "derivata prima" costruita con può essere Uno scalare costruito con la divergenza A Si può calcolare il gradiente ( A) Un vettore costruito con un gradiente φ Si può calcolare la divergenza ( φ) = 2 φ Si può calcolare il rotore ( φ) =0 Un vettore costruito con un rotore A Si può calcolare la divergenza ( A) =0 Si può calcolare il rotore ( A) = ( A) 2 A L'elenco esaurisce tutte le possibilità Alcune espressioni le abbiamo già incontrate Nello studio dell'elettrostatica Il gradiente della divergenza è poco utile in fisica Le ultime due si possono facilmente calcolare in coordinate cartesiane utilizzando la definizione esplicita di Con 2 A si intende l'applicazione di 2 a ogni componente di A Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 75

25 Operatore applicato due volte Verifichiamo la relazione Ricordiamo le componenti di A Calcoliamo la divergenza Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 76

26 Il potenziale vettore In elettrostatica l'osservazione che la circuitazione di E era nulla ha permesso di introdurre il potenziale elettrostatico Ricordiamo la proprietà Assumiamo che il campo elettrico E abbia la forma Sottolineiamo che φ è determinato a meno di una costante L'equazione di campo è automaticamente soddisfatta In magnetostatica si può procedere in modo analogo Abbiamo visto che il campo magnetico B soddisfa l'equazione Questa equazione è soddisfatta automaticamente ponendo Il campo A prende il nome di Potenziale Vettore Il campo A non è univocamente definito (è definito a meno di un gradiente) Tutti i campi A A + φ producono lo stesso campo B Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 77

27 Il potenziale vettore Continuiamo il parallelo fra elettrostatica e magnetostatica In elettrostatica, dopo avere posto E = φ, la legge di Gauss portava all'equazione per il potenziale φ La legge di Gauss definisce il legame fra il campo E e la sua sorgente (la carica elettrica) Ripetiamo gli stessi passi nella magnetostatica Esprimiamo B tramite il potenziale vettore Utilizziamo la legge di Ampère in forma differenziale Sostituendo B = A Nella diapositiva abbiamo visto che Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 78

28 Il potenziale vettore Abbiamo già notato che il potenziale vettore A non è univocamente definito Si può sommare un campo che è il gradiente di un campo scalare, f(r), e ottenere lo stesso campo B Si può dimostrare che è sempre possibile trovare una funzione f(r) tale che Possiamo pertanto utilizzare la non univocità del potenziale vettore per imporre che A = 0ed eliminare il primo termine dell'equazione Pertanto l'equazione per A diventa Ribadiamo il significato di questa notazione (in coordinate cartesiane) L'operatore laplaciano viene applicato indipendentemente a ciascuna delle tre componenti di A Matematicamente abbiamo tre equazioni di Poisson Conosciamo le soluzioni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 79

29 Il potenziale vettore L'integrale è esteso a tutto lo spazio La condizione per la sua convergenza è che la densità di corrente J tenda a zero all'infinito La densità di corrente deve tendere a zero più velocemente di 1/r 2 Il potenziale vettore risulta meno utile del potenziale elettrico È una grandezza vettoriale (tre componenti; il potenziale elettrico solo una) Comunque in casi particolari si può definire un potenziale magnetico scalare che ha qualche utilità per problemi con materiali magnetici Tuttavia il potenziale vettore è di fondamentale importanza Come strumento teorico nello sviluppo dell'elettrodinamica Nella trattazione dei problemi con forze elettromagnetiche in meccanica quantistica Per un circuito con un filo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 80

30 Teorema di Helmholtz Vale la pena sottolineare alcuni aspetti matematici Abbiamo trovato delle equazioni differenziali per i campi E e B In entrambi i casi le equazioni definiscono il rotore e la divergenza del campo È legittimo chiedersi se matematicamente il problema è ben posto Il teorema di Helmholtz assicura che quanto asseriamo è matematicamente consistente Teorema di Helmholtz Sia dato un campo vettoriale F(r) tale che a) F = ρ(r) b) F = J(r) c) Le funzioni ρ(r) e J(r) si annullano all'infinito più velocemente di 1/r 2 Sotto queste condizioni il campo F(r) è univocamente determinato e ha la forma Componente solenoidale dove Componente irrotazionale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 81