Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Rotore e teorema di Stokes Forze magnetiche. Forza di Lorentz. Anno Accademico 2015/2016

2 Prodotto vettoriale Richiamiamo la definizione di prodotto vettoriale In inglese cross product Si usa anche la notazione Definizione 1 Un vettore perpendicolare al piano determinato da a e b Verso determinato con la mano destra Il modulo del vettore è absinθ È l'area del parallelogramma che ha come lati a e b Definizione 2 w b a Definizione 3 (tensore di Levi Civita) Sintetizzabile in Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 3

3 Prodotto vettoriale Come esempio, calcoliamo la componente x (i = 1) utilizzando il tensore di Levi Civita Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 4

4 Prodotto vettoriale Esempio Troviamo delle identità per il prodotto triplo a (b c) Ricordiamo il prodotto scalare di due vettori Il prodotto triplo è pertanto Esercizio Provare l'identità a (b c) = c (a b) Inoltre, dalla definizione di determinante, segue Infine notiamo che è l'area del parallelepipedo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 5

5 Rotore di un campo vettoriale Nello studio dell'elettrostatica abbiamo incontrato la legge di Gauss Inizialmente enunciata in forma integrale Successivamente in forma differenziale La forma differenziale evidenzia proprietà locali del campo elettrico E è una funzione del punto r Abbiamo inoltre espresso la proprietà del campo elettrostatico di essere conservativo utilizzando ancora una volta una legge integrale La circuitazione del campo elettrico è nulla Abbiamo finora evitato di introdurre la forma differenziale della legge sulla circuitazione per non complicare la trattazione dell'elettrostatica Tuttavia questo non è conveniente per gli sviluppi ulteriori dell'elettromagnetismo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 6

6 Rotore di un campo vettoriale Ricordiamo la procedura seguita nel caso della legge di Gauss Avevamo espresso il flusso attraverso una superficie come la somma di tanti flussi attraverso superfici sempre più piccole Al limite infinite superfici infinitesime Avevamo poi definito la divergenza come limite del rapporto fra il flusso e il volume racchiuso Analogamente consideriamo la circuitazione di un campo vettoriale V lungo una curva C Otteniamo lo stesso risultato se utilizziamo i cammini C 1 e C 2 Notiamo che gli integrali lungo la regione di confine fra C 1 e C 2 (regione B) si elidono Sono percorsi in senso inverso Rimangono i contributi del resto dei cammini Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 7

7 Rotore di un campo vettoriale Il processo appena descritto può essere ripetuto Sommando su tutti i cammini rimane solo il contributo del cammino originale (esterno) Al crescere del numero delle suddivisioni il valore delle circuitazioni Γ i diventa sempre più piccolo: Γ i 0 Nel caso della legge di Gauss avevamo definito una proprietà differenziale del campo legata alla legge del flusso calcolando il limite del rapporto fra il flusso Φ i e il volume V i con Φ i, V i 0 Tuttavia il limite del rapporto esisteva e definiva la divergenza del campo Analogamente possiamo trovare una proprietà differenziale del campo legata alla legge della circuitazione calcolando il limite del rapporto fra le circuitazioni Γ i e le superfici a i Tuttavia ci sono importanti differenze Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 8

8 Rotore di un campo vettoriale Esaminiamo le differenze La superficie a i è delimitata dal cammino C i in modo ambiguo Ad esempio le due superfici di seguito hanno lo stesso contorno C i ma hanno differenti valori a i e a i Il limite del rapporto Γ i /a i dipende dalla forma della superficie Si può ovviare a questa ambiguità utilizzando la normale n alla superficie Se si fa tendere a zero la superficie mantenendo fissa la direzione n della normale il limite è univoco È un limite diverso per ogni direzione In conclusione la grandezza che stiamo definendo è un vettore Mantenere fissa la direzione della normale equivale a dire che si sta calcolando la componente del vettore nella direzione di n Il limite (vettoriale) definisce il rotore del campo vettoriale V Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 9

9 Rotore di un campo vettoriale Notiamo che la grandezza che abbiamo definito è una funzione vettoriale del punto r Inoltre dobbiamo anche risolvere altre due ambiguità Un cammino può essere percorso in due sensi La normale alla superficie può avere due versi Si usa la convenzione della mano destra Lega il verso della normale al senso di percorrenza del cammino Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 10

10 Teorema di Stokes Il teorema di Stokes lega il flusso del rotore di un campo vettoriale V attraverso una superficie alla circuitazione del campo vettoriale V È analogo al teorema di Gauss che lega l'integrale di volume della divergenza di un campo vettoriale V al flusso del vettore V Consideriamo la circuitazione del campo V Per N sufficientemente grande Sostituendo Otteniamo pertanto il teorema di Stokes Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 11

11 Rotore in coordinate cartesiane La definizione di rotore che abbiamo dato, benché rigorosa, risulta poco conveniente per un utilizzo nei calcoli Ricaviamo un'espressione che consenta di scrivere per un campo vettoriale V le componenti di rot V Esplicitamente e semplicemente Il calcolo dipende dal sistema di coordinate utilizzato Iniziamo con le coordinate cartesiane Nelle esercitazioni: espressione del rotore in altri sistemi di coordinate La componente del rotore nella direzione n è n rot V Per trovare le tre componenti di rot V utilizziamo i tre versori cartesiani Ad esempio calcoliamo la componente z Utilizziamo un cammino rettangolare C z Delimita una superficie parallela al piano x y Il cammino è percorso in senso antiorario La normale alla superficie punta nella direzione positiva dell'asse z (regola della mano destra) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 12

12 Rotore in coordinate cartesiane Calcoliamo la circuitazione del campo V(r) lungo il cammino rettangolare della figura I lati del rettangolo sono infinitesimi e hanno lunghezza Δx e Δy Calcoliamo il campo V(r) nei punti r 1,r 2,r 3,r 4 Definiamo per abbreviare V i = V(r i ) Approssimando al primo ordine la circuitazione Le componenti del campo necessarie possono essere calcolate sviluppando al primo ordine intorno al punto r 0 Tutte le derivate sono calcolate nel punto r 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 13

13 Rotore in coordinate cartesiane Introduciamo nell'espressione della circuitazione Notiamo che il contributo V x0 nei termini V x1 e V x3 si cancella Analogamente il contributo V y0 nei termini V y2 e V y4 Otteniamo L'area della superficie delimitata dal cammino è a = ΔxΔy Dalla definizione di rotore otteniamo infine Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 14

14 Rotore in coordinate cartesiane Esaminiamo il risultato ottenuto In particolare l'ordine z x y Sono ordinate ciclicamente Le componenti del vettore V da derivare sono "le altre" rispetto alla coordinata z del rotore che stiamo calcolando Rispetto alla derivazione sono "scambiate" Avendo notato queste regolarità possiamo scrivere le altre due componenti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 15

15 Il rotore del campo elettrostatico Applichiamo il teorema di Stokes al campo elettrostatico E Sappiamo inoltre che per un campo elettrostatico e per un cammino arbitrario C L'arbitrarietà di C implica che per una superficie arbitraria S Ovviamente ne consegue che Questa è la forma differenziale della legge sulla circuitazione del campo elettrostatico È condizione necessaria e sufficiente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 16

16 Campi conservativi Vale la pena notare che se un campo vettoriale è il gradiente di un campo scalare il suo rotore è identicamente nullo Infatti sia Calcoliamo il rotore di V Ad esempio la componente x Sostituendo V y e V z Risultati analoghi per le altre due componenti Anche in questo caso si tratta di condizione necessaria e sufficiente Notiamo infine che nei libri inglesi e americani si usa una notazione differente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 17

17 Significato fisico del rotore Per comprendere il significato fisico del rotore utilizziamo ancora una volta un esempio preso dalla fluidodinamica Il flusso dell'acqua di un fiume La velocità non è uniforme È nulla sull'argine, massima al centro Un oggetto galleggiante è sottoposto ad un momento delle forze di attrito Le forze sono differenti perché le velocità sono differenti Dimensionalmente v è una velocità angolare Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 18

18 Le forze magnetiche Come per le forze elettriche anche per i fenomeni magnetici le prime conoscenze sono molto antiche Fin dall'antichità si conoscevano le proprietà di uno strano materiale, la magnetite Il nome ha un origine classica, dalla citta Magnesia (Asia Minore) presso cui si trovava facilmente questo materiale Oggi sappiamo che si tratta di una combinazione di ossidi di ferro: FeO Fe 2 O 3 È nota la capacita della magnetite di attirare la limatura di ferro Oggetti costruiti utilizzando la magnetite prendono il nome di magneti (permanenti) Una delle proprietà caratteristiche dei magneti è la presenza di due poli (Nord, Sud) Due poli magnetici si attraggono o si respingono Poli di segno diverso si attraggono Nord-Sud Poli di segno uguale si respingono Sud-Sud Nord-Nord Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 19

19 Le forze magnetiche Un'altra caratteristica importante di un magnete permanente è l'impossibilità di isolare un polo magnetico Il tentativo di isolare un polo, ad esempio spezzando il magnete, porta comunque alla formazione di due o più magneti sempre con due poli È un fatto sperimentale di fondamentale importanza l'impossibilità di isolare un polo magnetico È una differenza fondamentale con le forze elettriche Una delle applicazioni più importanti delle forze magnetiche è stata senza dubbio la bussola per la navigazione Se ne hanno notizie a partire dall'xi secolo Si tratta di un sottile magnete permanente (ago magnetico) libero di ruotare in un piano Il polo nord dell'ago indica la direzione del nord (magnetico) Oggi sappiamo che la terra possiede un campo magnetico analogo a quello di un magnete L'asse del dipolo magnetico forma circa 11.5 gradi con l'asse di rotazione L'ago magnetico si allinea con il campo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 20

20 Magneti permanenti I magneti permanenti applicano forze Ad altri magneti permanenti A oggetti metallici Generano un campo di forza: il campo magnetico Definiremo fra poco rigorosamente il campo magnetico Possiamo visualizzare il campo magnetico utilizzando un ago magnetizzato Vale la pena notare le somiglianze con il campo di un dipolo elettrico Vedremo che la somiglianza della "mappa" delle linee di forza non è casuale Attenzione: gli effetti del campo magnetico sono molto diversi da quelli del campo elettrico Si possono realizzare magneti permanenti di forme differenti Genera linee di forza parallele all'interno S N Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 21

21 Magneti permanenti I magneti permanenti applicano forze Ad altri magneti permanenti A oggetti metallici Generano un campo di forza: il campo magnetico Definiremo fra poco rigorosamente il campo magnetico Possiamo visualizzare il campo magnetico utilizzando un ago magnetizzato Vale la pena notare le somiglianze con il campo di un dipolo elettrico Vedremo che la somiglianza della "mappa" delle linee di forza non è casuale Attenzione: gli effetti del campo magnetico sono molto diversi da quelli del campo elettrico Si possono realizzare magneti permanenti di forme differenti Genera linee di forza parallele all'interno S N Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 22

22 L'esperimento di Oersted Per molti secoli la comprensione dei fenomeni magnetici non fece progressi di rilievo Coulomb studiò le forze fra magneti giungendo ad una legge formalmente simile a quella delle forze elettrostatiche Tuttavia non si trattò di una strada destinata a portare ulteriori progressi I fenomeni magnetici rimanevano separati da quelli elettrici Nel 1820 Oersted studiava gli effetti delle correnti Da poco le scoperte di Galvani e Volta avevano dotato gli scienziati di un nuovo strumento di ricerca per creare correnti elettriche: le batterie Oersted aveva intuito che le forze magnetiche avevano un'origine elettrica Il famoso esperimento di Oersted dimostra l'effetto di una corrente elettrica su un ago magnetico Una corrente elettrica genera un campo magnetico analogo a quello della terra Perpendicolare al filo Le cariche in movimento generano un campo magnetico È nato l'elettromagnetismo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 23

23 Forze fra correnti Quasi in contemporanea agli studi di Oersted avanzavano anche gli studi di Ampère Grazie alla possibilità di costruire batterie si potevano studiare gli effetti delle correnti elettriche Ampère scoprì che due fili percorsi da corrente esercitano forze l'uno sull'altro Ampère scopre la legge con cui due fili percorsi da corrente si attraggono o si respingono Correnti nello stesso senso Forza attrattiva Nel sistema MKSA Correnti in senso opposto Forza repulsiva Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 24

24 La forza di Lorentz Per iniziare lo studio quantitativo delle forze magnetiche abbandoniamo da ora in poi lo sviluppo storico Iniziamo dall'osservazione sperimentale che la forza magnetica viene esercitata su una carica elettrica in movimento Una prima caratteristica molto importante della forza magnetica è che essa dipende dalla velocità della carica test In particolare la forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità Ad esempio la deflessione di un fascio di elettroni Gli elettroni eccitano livelli energetici dell'argon che emette luce azzurrina Il magnete deflette il fascio Applica una forza centripeta Si può definire una procedura simile a quella utilizzata per la definizione operativa del campo elettrico Misurare la forza che viene esercitata su una carica di test Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 25

25 La forza di Lorentz Il risultato di una serie di esperimenti in una regione dello spazio condotti su cariche in movimento porterebbe al seguente risultato È possibile definire un campo vettoriale B(r) (detto induzione magnetica) funzione della posizione r La forza su una carica q che si muove con velocità v è data dalla relazione Se nella regione esiste anche un campo elettrico E la forza totale è L'ultima formula è la definizione della Forza di Lorentz Il fatto che si possa sempre trovare un campo vettoriale B che soddisfi la relazione precedente è una circostanza a priori non scontata La legge sopra enunciata vale anche per campi variabili nel tempo È una relazione locale Tutte le grandezze sono misurate nello stesso punto r = (x,y,z) e tempo t Tutte le grandezze sono misurate nello stesso sistema inerziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 26

26 La forza di Lorentz Insistiamo ancora sul fatto che una sola misura non è sufficiente Supponiamo infatti che per una velocita v 1 si sia misurata una forza F 1 Abbiamo già detto che sperimentalmente si trova che F 1 e v 1 sono perpendicolari Il vettore B deve giacere sul piano perpendicolare a F 1 Inoltre il modulo della forza è F 1 = qv 1 Bsinθ Tuttavia è evidente che esistono infiniti vettori B che giacciono sul piano e che producono la stessa forza F 1 Tutti i vettori B α tali che Bsinθ = B α sinα Un altro modo di mettere in evidenza l'indeterminazione Se B soddisfa Allora la relazione è soddisfatta anche da con k arbitrario Si può dimostrare che se v 1 e v 2 sono due velocita perpendicolari e le forze misurate sono F 1 e F 2 rispettivamente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 27

27 Proprietà della forza magnetica La forza di Lorentz è data da un prodotto vettoriale: F = q v B È perpendicolare al piano individuato dai vettori v e B Ovviamente i vettori v e B non sono necessariamente perpendicolari La velocità può essere scomposta in due componenti Una componente parallela al campo magnetico: v Una componente sul piano perpendicolare al campo magnetico: v Consideriamo dapprima il caso in cui v = 0 La forza di Lorentz diventa F B v La forza è nel piano perpendicolare a B ed è sempre perpendicolare a v Il modulo della forza è costante F = qv B La particella descrive un moto circolare uniforme Inoltre frequenza di ciclotrone Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 28

28 Proprietà della forza magnetica Consideriamo adesso il caso in cui v sia diversa da zero La forza magnetica continua a dipendere solo da v La particella percorre una traiettoria che proiettata su un piano perpendicolare a B è ancora un moto circolare uniforme Tuttavia la componente v non è modificata Non ci sono forze in questa direzione La coordinata parallela a B della traiettoria varia come v t La traiettoria della particella è un'elica Ricordiamo che il raggio del moto circolare diminuisce al crescere di B Se B è molto intenso il moto è confinato a "seguire" le linee del campo magnetico Considerazione analoghe anche nel caso di B non uniforme In presenza di non uniformità del campo (gradienti) si realizzano effetti di contenimento Bottiglie magnetiche Fenomeni di questo tipo, spettacolari, sono le aurore polari Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 29

29 Aurore polari wiki/file:jupiter.aurora.hst.mod.svg Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 30