Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Dipolo oscillante Radiazione di una carica in moto Casi dell'accelerazione parallela e perpendicolare alla velocità Anno Accademico 2018/2019

2 Radiazione Quando una carica subisce un'accelerazione si genera una perturbazione elettromagnetica che si disaccoppia dalle sorgenti che l'hanno generata La perturbazione generata viaggia allontanandosi dalla sorgente Trasporta energia e quantità di moto La potenza (Joule al secondo) al tempo t della radiazione è data dal flusso del vettore di Poynting attraverso (ad esempio) la superficie A di una sfera di raggio r (con r molto grande) La potenza al tempo t deve essere uguale alla potenza emessa dalla sorgente al tempo precedente t 0 = t r/c Abbiamo pertanto Il limite per r deve essere uguale a P source (t 0 ) e quindi indipendente da r Pertanto il flusso del vettore di Poynting non deve dipendre da r Il flusso del vettore di Poynting su una sfera di raggio r vale circa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 480

3 Radiazione Il ragionamento precedente ci dice che i campi statici o quasi statici che conosciamo non possono essere campi di radiazione Ad esempio, per un campo statico I campi derivati dai potenziali ritardati hanno dei termini che dipendono dalla derivata rispetto al tempo delle sorgenti e che variano come 1/r Ad esempio consideriamo il campo elettrico (vedi diapositiva ) origine Contiene termini che hanno la dipendenza da 1/r corretta Per studiare la radiazione pertanto occorre Studiare la soluzione per i campi a grande distanza dalla sorgente Trascurare i termini che vanno a zero all'infinito più velocemente di 1/r Questi termini si annullano per grandi distanze In particolare diventa nullo il flusso di energia attraverso una superficie punto di osservazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 481

4 Radiazione di dipolo elettrico Consideriamo un sistema composto da due piccole sfere collegate da un cavo collegato ad un generatore di corrente. Il sistema è orientato lungo l'asse z Al tempo t le due sfere hanno carica è un dipolo Il generatore fornisce pertanto una corrente Calcoliamo il potenziale ritardato dovuto alle due cariche (v. diapositiva ) Matematicamente la densità di carica è data da Inseriamo nella formula del potenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 482

5 Radiazione di dipolo elettrico L'integrale è molto semplice per la presenza della funzione δ Otteniamo Fino a questo punto il calcolo è stato esatto Applichiamo adesso tre approssimazioni La prima che la dimensione del dipolo oscillante sia molto piccola d r Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 483

6 Radiazione di dipolo elettrico La seconda approssimazione assume che il dipolo sia piccolo rispetto alla lunghezza d'onda della radiazione: d λ Inseriamo nell'equazione del termine oscillante Ritorniamo all'espressione del potenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 484

7 Radiazione di dipolo elettrico Riassumiamo i risultati ottenuti Introduciamo le approssimazioni nella formula di φ Il primo termine varia come 1/r, come atteso per la radiazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 485

8 Radiazione di dipolo elettrico Applichiamo adesso la terza approssimazione La distanza dal dipolo è molto maggiore della lunghezza d'onda Il secondo termine è trascurabile In conclusione il potenziale scalare è Riassumiamo le approssimazioni usate: d λ r Calcoliamo adesso il potenziale vettore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 486

9 Radiazione di dipolo elettrico Applichiamo le approssimazioni La dimensione del dipolo molto minore della distanza d r La corrente del dipolo è (vedi diapositiva ) Assumiamo che z <d sia molto minore della lunghezza d'onda λ Si può trascurare l'ultimo termine Otteniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 487

10 Radiazione di dipolo elettrico In previsione della derivazione dei campi E e B esprimiamo A in coordinate sferiche Ricordiamo che I potenziali sono pertanto (usiamo V invece di φ per evitare confusione) Calcoliamo il gradiente di V Trascuriamo i termini 1/r 2 rispetto a ω/rc (approssimazione tre) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 488

11 Radiazione di dipolo elettrico Inoltre Otteniamo infine il campo elettrico di radiazione Per il campo magnetico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 489

12 Radiazione di dipolo elettrico Calcoliamo le derivate Il secondo termine va come 1/r 2 ed è trascurabile rispetto al primo Concludiamo Come previsto la soluzione è un'onda elettromagnetica che si propaga in direzione radiale I campi E rad e B rad sono perpendicolari alla direzione di propagazione Inoltre sono perpendicolari fra di loro e E rad /B rad = c Osserviamo che non sono onde piane bensì onde sferiche Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 490

13 Radiazione di dipolo elettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 491

14 Energia radiata dal dipolo oscillante Calcoliamo in vettore di Poynting L'intensità dell'onda si ottiene mediando su un ciclo L'intensità dipende dall'angolo polare A distanza r fissata dall'origine l'intensità ha l'andamento La lunghezza del vettore è proporzionale a <S> Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 492

15 Energia radiata dal dipolo oscillante La potenza radiata attraverso una superficie sferica di raggio r si trova calcolando il flusso del vettore di Poynting In definitiva Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 493

16 Radiazione di una carica puntiforme Nella diapositiva abbiamo calcolato i campi di una carica in movimento Abbiamo già notato che il campo ha due componenti Un campo di velocità che dipende da 1/r 2 Un campo di accelerazione che dipende da 1/r Questa parte è quella che da luogo alla radiazione Concentriamoci pertanto sulla componente di accelerazione origine punto di osservazione Studieremo questo problema in alcune situazioni interessanti che però permettono di semplificare la formula Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 494

17 Radiazione di una carica puntiforme Una prima condizione che studiamo è quella di un moto non relativistico Assumiamo che la velocità della particella sia trascurabile v c, β 1 Da ora in poi assumiamo che le quantità siano tutte ritardate ed eliminiamo la notazione [ ] ret Ricordiamo che il campo magnetico è Calcoliamo il vettore di Poynting Osserviamo che il vettore di Poynting è parallelo al vettore "Punta" verso la posizione ritardata della particella origine punto di osservazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 495

18 Radiazione di una carica puntiforme Calcoliamo Osserviamo che Inoltre (vedi diapositiva ) Otteniamo Consideriamo la posizione ritardata r 0 (t r ) Consideriamo la radiazione che attraversa una sfera centrata in r 0 (t r ) di raggio R(t r ) Chiamiamo θ l'angolo fra l'accelerazione a e la direzione ritardata origine punto di osservazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 496

19 Radiazione di una carica puntiforme La potenza che attraversa una superficie è Vista dalla superficie della sfera la carica irraggia in modo analogo al dipolo La figura a "ciambella" con asse l'accelerazione origine punto di osservazione La potenza totale si calcola integrando L'integrale è elementare e conduce alla famosa formula di Larmor In accordo con l'espressione per il dipolo (vedi ) con Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 497

20 Radiazione nel caso di v e a parallele Consideriamo adesso il caso in cui a e v sono parallele senza assumere che la velocità sia trascurabile rispetto a c Ricordiamo la formula per il campo elettrico di radiazione Poiché a e v sono parallele Osserviamo (e ricordiamo) che Sviluppiamo il prodotto triplo Ricordiamo che Pertanto Inseriamo nell'espressione per E rad Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 498

21 Radiazione nel caso di v e a parallele Avevamo ricavato una formula per il vettore di Poynting Ricordiamo che Calcoliamo il quadrato di E rad Sviluppiamo il quadrato Il vettore di Poynting è pertanto Infine Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 499

22 Radiazione nel caso di v e a parallele Esaminiamo la formula trovata Somiglia molto alla formula non relativistica C'è una fondamentale differenza Il denominatore g 6 Prima studiare l'effetto di questo termine notiamo una sottile circostanza L'espressione di dp/dω è relativa al tempo t Fornisce il tasso di emissione sulla sfera di raggio R(t r ) Se siamo interessati al tasso di emissione al tempo t r ("sulla carica") dobbiamo applicare una correzione origine punto di osservazione Calcoliamo la derivata (vedi diapositiva ) Otteniamo infine Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 500

23 Radiazione nel caso di v e a parallele Il fattore g 5 nel denominatore modifica la distribuzione angolare della radiazione Per velocità non relativistiche (β 0) la distribuzione angolare tende a quella trovata nel caso non relativistico Osserviamo che la direzione del moto e dell'accelerazione coincidono e costituiscono un asse di simmetria del problema La radiazione è emessa simmetricamente intorno alla traiettoria Vale anche nel caso relativistico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 501

24 Radiazione nel caso di v e a parallele Quando la velocità non può essere trascurata il denominatore concentra la radiazione a piccoli angoli Il numeratore comunque rende nulla la radiazione emessa in avanti La quantità totale di energia emessa dipende dalla velocita Per trovare la potenza totale occorre integrare su tutto l'angolo solido posto cosθ = x Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 502

25 Caso di v e a perpendicolari Velocità e accelerazione sono perpendicolari sono un altro caso importante Ad esempio in un moto circolare come negli acceleratori In questo caso non esiste un asse di simmetria Assumiamo che a e v giacciano sul piano x z In particolare Il punto di osservazione r Ricordiamo la formula per la distribuzione della radiazione nel caso generale Un calcolo un po' lungo porta alla seguente espressione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 503

26 Caso di v e a perpendicolari Consideriamo prima di tutto il limite non relativistico (β 0) Se chiamiamo α l'angolo fra e abbiamo Ritorniamo pertanto alla "ciambella" non relativistica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 504

27 Caso di v e a perpendicolari Veniamo al caso relativistico La figura mostra la forma della distribuzione della radiazione Anche in questo caso per chiarezza è mostrata solo metà della distribuzione Integrando su tutto l'angolo solido si ottiene la potenza totale irraggiata Notiamo che a differenza del caso precedente (v a) la potenza totale varia come γ 4 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 505

28 Stabilita dell'atomo di idrogeno Consideriamo il modello classico dell'atomo di idrogeno Un elettrone di massa m e e carica e che ruota in un'orbita di raggio r 0 Al centro un nucleo di massa infinita che genera un campo coulombiano Dall'equazione del moto circolare uniforme Il moto è non relativistico L'energia dell'elettrone è Durante il suo moto l'elettrone irraggia e perde energia Il raggio diminuisce La variazione di energia dovuta alla diminuzione del raggio deve essere uguale all'energia persa per radiazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 506

29 Stabilita dell'atomo di idrogeno Ricordiamo la formula di Larmor Uguagliando (attenzione ai segni) Ricaviamo dt Calcoliamo il tempo necessario perché il raggio passi da r 0 a 0 Nell'atomo classico l'elettrone "cade" nel nucleo in 13 ps!! Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 507