Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Equazione del potenziale Forza di Lorentz Funzioni di Green Teoria dell'elettrone Anno Accademico 2018/2019

2 Equazione per i potenziali Scriviamo l'equazione per i potenziali In forma covariante è molto semplice Ricordiamo l'equazione di Maxwell non omogenea (vedi diapositiva ) Sostituiamo l'espressione di F μν in funzione del potenziale A μ Otteniamo Se imponiamo il gauge di Lorenz μ A μ = 0 otteniamo È un'equazione dell'onda non omogenea Coincide con le equazioni che avevamo trovato precedentemente (dia. 457) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 540

3 Forza di Lorentz Abbiamo detto che la forza di Lorentz è relativisticamente corretta a condizione di utilizzare la quantità di moto relativistica Per esprimere in forma covariante la forza di Lorentz occorre utilizzare la forza di Minkowski (vedi diapositiva ) Possiamo riscrivere la forza di Lorentz come Ricordiamo la quadri-velocità Otteniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 541

4 Forza di Lorentz Analogamente per le componenti K 2 e K 3 Possiamo definire allo stesso modo la componente temporale Interpretiamo la formula che dà K 0 Anche la componente K 0 ha la forma prevista per la forza di Minkowski In definitiva la forza di Lorentz in forma covariante è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 542

5 Riepilogo delle formule principali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 543

6 Equazione di Poisson: funzione di Green Sappiamo che il potenziale elettrostatico obbedisce all equazione di Poisson La funzione di Green dell'equazione di Poisson è definita dall equazione Una soluzione particolare dell'equazione è data da Infatti La soluzione del problema si trova sommando una soluzione φ c dell'equazione di Laplace scelta in modo tale che Φ(r) = φ(r) + φ c (r) soddisfi le condizioni al contorno Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 544

7 Equazione di Poisson: funzione di Green Ritorniamo alla definizione delle funzione di Green Notiamo che il secondo membro è funzione solo di r r Anche G( r, r ) deve dipendere solo dalla differenza r r La soluzione si trova facilmente con la trasformata di Fourier L equazione diventa Uguagliando gli integrandi otteniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 545

8 Equazione di Poisson: funzione di Green Nel seguito poniamo q = q e r = r Passiamo alle coordinate sferiche Integriamo sull'angolo solido La soluzione dell equazione di Poisson è pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 546

9 Potenziale ritardato: funzione di Green Abbiamo ricavato (vedi diapositiva ) le equazioni dei potenziali elettrodinamici in forma covariante In notazione più esplicita, per la componente A μ Definiamo la funzione di Green (ricordiamo che x 0 = ct) Ricordiamo che si tratta di una soluzione particolare La soluzione generale si trova sommando una soluzione dell'equazione omogenea in modo che siano rispettate le condizioni al contorno Spesso si impone una condizione asintotica Pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 547

10 Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico Inoltre è necessario definire le condizione al contorno per G(x x ) Una soluzione dell equazione non omogenea è Normalmente si richiede la causalità La richiesta di causalità impone che contribuiscano solo i valori di j μ (x ) per tempi x 0 precedenti al tempo x 0 in cui è valutato A μ (x) Occorre pertanto che sia G(x x )= 0per x 0 x 0 < 0 Tuttavia le condizioni asintotiche precedenti possono richiedere altre condizioni La condizione asintotica per x 0 coincide con la condizione di causalità Le funzioni di Green (diverse) che si ottengono nei due casi hanno un nome La funzione di Green ritardata La funzione di Green anticipata Nonostante la seconda possa apparire priva di senso fisico sono entrambe molto importanti e usate Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 548

11 Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico Anticipiamo il risultato del calcolo della funzione di Green Poniamo q 0 = ω q 2 = ω 2 q 2 q = k c = 1 Utilizzando le trasformate di Fourier, analogamente a quanto fatto per l'equazione di Poisson si trova Inserendo nell'equazione Uguagliando gli integrandi Nel dominio della variabile x Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 549

12 Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico Esplicitamente Osserviamo che la parte spaziale coincide con quella trovata per l'equazione di Poisson La parte temporale implica invece che il campo al tempo t è determinato dalla corrente al tempo precedente t Svolgiamo il calcolo (ricordiamo che abbiamo posto c = 1) Iniziamo con l integrazione della componente temporale dω Introduciamo la variabile complessa z =(ω,ξ) Nel piano z il denominatore ha due poli ω ± = ± q = ±k L'integrale diverge: ha due poli sull'asse ω Per dare un significato all integrale occorre definire come trattare le singolarità z = (ω,ξ) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 550

13 Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico Ci sono 2 poli. Utilizziamo il metodo dei residui Chiudiamo il cammino con una circonferenza Per t < 0 chiudiamo nel semipiano inferiore Abbiamo visto che per la causalità è necessario che G(x x ) = 0per t = x 0 x 0 < 0 Pertanto evitiamo le singolarità con un cammino che lasci i poli all esterno affinché l integrale sia nullo Per t > 0 chiudiamo nel semipiano superiore L integrale è uguale alla somma dei residui In conclusione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 551

14 Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico Pertanto la funzione di Green è adesso data dall integrale (ricordiamo k = q ) Anche in questo caso passiamo alle coordinate sferiche Per semplicità omettiamo per il momento Θ(t) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 552

15 Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico Reintroduciamo Θ(t) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 553

16 Funzioni di Green: Campo Elettromagnetico Ricordiamo che La funzione Θ(x) è nulla per x < 0 ovvero per t t < 0 Possiamo quindi ignorare la prima funzione δ(t+r) il cui argomento non è mai nullo Reintroduciamo c In conclusione Abbiamo calcolato la funzione di Green ritardata Notiamo che l argomento della funzione δ() si annulla quando Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 554

17 Potenziali ritardati: soluzioni Possiamo adesso scrivere la soluzione per l'equazione del potenziale Introduciamo G ret Otteniamo L'integrale su t è immediato Nell'espressione di j μ t viene sostituito da t r Il risultato è Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 555

18 Massa elettromagnetica La formulazione di Maxwell dell'elettrodinamica costituisce ancora oggi uno dei maggiori risultati della fisica Nell'ultimo decennio del XIX secolo i brillanti risultati della teoria indussero i fisici a pensare che l'elettromagnetismo potesse spiegare tutto In particolare si arrivò a pensare che il concetto di massa proprio della meccanica potesse in realtà avere origine elettromagnetica Vale la pena osservare che queste riflessioni avvenivano prima ancora della pubblicazione dell'articolo di Einstein sull'elettrodinamica dei corpi in movimento (1905) Pionieri degli studi sulla struttura dell'elettrone sono stati Lorentz e Abraham, ancora prima della scoperta dell'elettrone da parte di Thomson avvenuta nel 1897 Già prima della scoperta dell'elettrone lo stesso Thomson calcolò la massa elettromagnetica dell'elettrone Per parlare di massa elettromagnetica dell'elettrone occorre formulare un modello Utilizzeremo il modello di Lorentz L'elettrone, a riposo, è una sfera di raggio r e e di carica totale q e = e La carica è una densità superficiale σ = e/4πr e2 sulla superficie della sfera Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 556

19 Massa elettromagnetica Calcoliamo innanzitutto l'energia associata al campo elettrostatico dell'elettrone a riposo Un calcolo semplice fatto agli inizi del corso All'interno della sfera il campo è nullo All'esterno della sfera, per r > r e si ha L'energia del campo è Abbiamo già osservato che il risultato diverge per r e 0 Sembra indispensabile che l'elettrone classico non sia puntiforme Abbiamo calcolato l'energia del campo Prima della relatività ristretta non era evidente che questa poteva essere considerata un contributo alla massa a riposo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 557

20 Quantità di moto dell'elettrone A questo punto Thomson, Lorentz, Abrahm osservano che un elettrone in movimento genera anche un campo magnetico Non era disponibile la relatività ristretta ma dalle equazioni di Maxwell si erano ricavati i campi di cariche in movimento Ad esempio i campi di una carica in moto rettilineo uniforme (vedi ) Al campo dell'elettrone è associata una densità di quantità di moto g Assumiamo che la velocità sia non relativistica Trascuriamo i termini in v 2 (β 2 ) Il campo g è g giace nel piano individuato dall'asse z e dal vettore r Il vettore g forma un angolo π/2 θ con l'asse z Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 558

21 Quantità di moto dell'elettrone Calcoliamo la quantità di moto del campo Consideriamo l'elemento di volume in figura Le componenti di g perpendicolari all'asse z si elidono Rimane la componente z di g Otteniamo Osserviamo che il campo dell'elettrone ha una quantità di moto lungo v In meccanica la quantità di moto è mv Possiamo definire una massa elettromagnetica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 559

22 Energia cinetica dell'elettrone Calcoliamo l'energia associata al campo di un elettrone in moto rettilineo uniforme Utilizziamo i campi della carica in moto Approssimiamo E 2 e B 2 all'ordine β 2 (l'energia è proporzionale a v 2 ) Si verifica che l'integrale del termine in β 2 di E 2 da contributo nullo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 560

23 Energia cinetica dell'elettrone Utilizziamo la stessa espressione per l'elemento di volume Inseriamo nella formula per U Introduciamo l'espressione già usata per m em Osserviamo che l'energia del campo della carica in movimento è maggiore dell'energia della carica ferma La differenza è interpretabile come l'energia cinetica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 561

24 Teoria classica dell'elettrone I risultati fin qui esposti fecero nascere l'idea che la massa dell'elettrone fosse una conseguenza dell'elettromagnetismo Non si conoscevano particelle neutre Il neutrone non era stato scoperto Tuttavia i fisici avevano presente che la particella avrebbe potuto avere anche una massa di origine non elettromagnetica Lorentz estese i calcoli abbandonando la restrizione di velocità piccole Giunse al risultato che la quantità di moto dell'elettrone era Da qui nacquero gli studi che portarono alle trasformazioni di Lorentz prima che Einstein introducesse la teoria della relatività ristretta In un primo tempo si pensò che la massa elettromagnetica variasse con la velocità (m em γ) mentre la massa meccanica fosse costante Furono condotti molti esperimenti in tal senso per scoprire quanta massa fosse di origine elettromagnetica e quanta no I risultati naturalmente non misero in evidenza differenze Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 562

25 Teoria classica dell'elettrone Nel 1905 Einstein pubblicò il suo lavoro sulla relatività ristretta Nel suo articolo Einstein stabilì punti importanti Anche la quantità di moto "meccanica" varia come mγv La massa che figura nelle formule dell'energia e della quantità di moto deve essere uguale alla massa a riposo Nel caso dell'elettrone dovrebbe essere Ma il risultato trovato finora è Questo problema generò molta confusione per tanti anni Ci sono due possibili soluzioni Definizione covariante degli integrali Introduzione di una forza "coesiva" Il guscio di carica è soggetto a una pressione che tende a farlo esplodere È necessaria una pressione negativa per bilanciare la pressione elettromagnetica Il tensore degli stress di Poincaré Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 563

26 Teoria classica dell'elettrone Entrambe le soluzioni risolvono, in modo diverso, il problema Anche se il problema del fattore 4/3 è risolto il modello non risponde più all'esigenza iniziale L'esistenza di una forza non elettromagnetica che rende stabile l'elettrone implica che non è possibile una teoria solo elettromagnetica Consideriamo risolto questo problema e assumiamo che una definizione covariante (corretta) degli integrali che definiscono E e p elimini il fattore 4/3 Affrontiamo un altro importante e fondamentale problema Il campo dell'elettrone esercita una forza sull'elettrone stesso? In elettrostatica o per particelle in moto rettilineo uniforme abbiamo sempre assunto che non ci sia una auto-forza (self force) Tuttavia l'esistenza della radiazione impone che questa forza ci sia! A causa della radiazione l'elettrone in moto perde energia Significa che sull'elettrone viene esercitata una forza che riduce la sua energia Questa forza non può essere applicato che dal campo dell'elettrone La componente di radiazione del campo applica una auto-forza Possiamo anche chiamarla reazione della radiazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 564

27 Teoria classica dell'elettrone Il primo a trovare una espressione (approssimata) per la reazione della radiazione fu Lorentz Lorentz affronto il problema di un modo accelerato ma periodico Ad esempio in dipolo oscillante Ricordiamo la formula per la potenza irradiata da una particella accelerata La formula di Larmor (vedi diapositiva ) Il lavoro (cambiato di segno) fatto dalla auto-forza sull'elettrone deve essere uguale all'energia radiata Nell'ipotesi di un moto periodico l'integrale su un periodo del primo termine è nullo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 565

28 Teoria classica dell'elettrone Possiamo uguagliare gli integrandi è otteniamo È la famosa formula di Abraham-Lorentz per la reazione della radiazione L'equazione del moto di un elettrone diventa pertanto Questa equazione ha numerosi problemi Prevede moti accelerati anche per F ext = 0 In casi particolare prevede accelerazioni prima che F ext venga applicata Ad esempio per una forza a gradino Si tratta di soluzioni non fisiche Ricordiamoci che si tratta di un'equazione approssimata Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 566

29 Teoria classica dell'elettrone Che l'auto-forza sia diversa da zero è un fatto sorprendente Per un elettrone fermo l'auto-forza è nulla La risultante delle forze che ogni parte esercita sulle altre è nulla Per una carica accelerata la situazione è molto diversa La forza si calcola con un campo ritardato Il campo ritardato è diretto verso la posizione ritardata dell'elettrone Ad esempio, nella figura, la parte β esercita una forza sulla parte α che non è diretta verso il centro istantaneo Il risultato è che la risultante è diversa da zero Per una carica in moto rettilineo uniforme la risultante è nulla Lorentz trovò anche una soluzione senza l'ipotesi di moto periodico Il suo punto di partenza fu la famosa formula per la forza E e B sono i campi ritardati prodotti dall'elettrone L'integrale è esteso alla sfera che utilizziamo come modello dell'elettrone Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 567

30 Teoria classica dell'elettrone Il calcolo dell'integrale è piuttosto complicato Vedi ad esempio Rohrlich F. - Classical Charged Particles, 3rd ed. - World Scientific 2007 Yaghjian A. - Relativistic Dynamics of a Charged Sphere, 2nd ed. - Springer 2006 Lorentz trovò una soluzione tramite una serie Isoliamo i primi due termini L'espressione trovata per F self dipende dalla struttura dell'elettrone Escluso il termine proporzionale alla derivata di a tutti gli altri dipendono dalla forma specifica della distribuzione di carica ρ Inoltre contiene derivate dell'accelerazione a tutti gli ordini È incompatibile con la meccanica che prevede un problema di secondo ordine Determinato da due sole condizioni iniziali Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 568

31 Teoria classica dell'elettrone Introduciamo esplicitamente la massa elettromagnetica Introduciamo nella formula di F self Il problema della presenza di derivate a tutti gli ordini risulta essere attenuato per un elettrone puntiforme r e 0 In tal caso tutte le derivate di a di ordine superiore al primo scompaiono Purtroppo il termine di ordine zero diverge m em Dirac suggerì una interpretazione che oggi è accettata universalmente Con l'idea di far tendere r e a zero scriviamo l'equazione del moto Portiamo il termine con m em a secondo membro Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 569

32 Teoria classica dell'elettrone L'osservazione di Dirac è che la teoria elettromagnetica non predice la massa delle particelle La situazione è così ancora oggi Abbiamo inventato il meccanismo di Higgs per dare massa alle particelle Tuttavia ancora oggi la definizione delle masse rimane fenomenologica Deve essere misurata con un esperimento Nella formula data l'unica espressione che ha senso è la somma m em + m 0 Nessuna delle due può essere determinata dalla teoria Dirac suppose che entrambe fossero infinite, di segno diverso e che la loro differenza avesse un limite definito m e Il limite m e è misurato con un esperimento Pertanto nel limite r e 0 l'equazione diventa Questa procedura/interpretazione prende il nome di rinormalizzazione della massa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 570