Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 4. Equazione di Dirac 3 Scattering di Coulomb. Effetti polarizzatori Tecniche di tracce di matrici γ

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1 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n Equazione di Dirac 3 Scattering di Coulomb. Effetti polarizzatori Tecniche di tracce di matrici γ anno accademico

2 Interazione elettromagnetica A questo punto passiamo all equazione di Dirac Con la sostituzione minimale diventa Utilizzeremo questa formula per lo studio dello scattering da potenziale Vale la pena isolare il potenziale di interazione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 87

3 Limite di bassa energia È molto istruttivo studiare il limite di bassa energia dell equazione trovata Verifichiamo se ci conduce all equazione di Schrödinger con l interazione elettromagnetica Per poter confrontare con l equazione non relativistica occorre tenere conto che l energia relativistica include la massa a riposo della particella Se H è l Hamiltoniana dobbiamo isolare la massa scrivendo H = H 1 + m Inoltre isoliamo la massa a riposo anche nella dipendenza temporale ponendo Ψ o lentamente variabile Inseriamo nell equazione di Dirac per trovare l'equazione per 0 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 88

4 Limite di bassa energia Riepilogando A questo utilizziamo la rappresentazione di Pauli-Dirac e la rappresentazione a blocchi dello spinore Arriviamo al sistema di equazioni Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 89

5 Limite di bassa energia Consideriamo la seconda equazione Ricordiamo che Ψo varia lentamente, vale a dire Quindi anche le due componenti ψ e φ variano lentamente Abbiamo pertanto approssimazione non relativistica Introduciamo nella prima equazione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 90

6 Limite di bassa energia Si può verificare che (vedi esercizio 4.14) Pertanto l equazione diventa Questa equazione coincide con l equazione ottenuta partendo dall equazione di Schrödinger con la sostituzione minimale (diapositiva ) a meno di un termine Il termine in più descrive l accoppiamento del momento magnetico intrinseco dell elettrone con il campo magnetico Inoltre riproduce perfettamente il fattore giromagnetico g = 2 che nella teoria non relativistica era stato introdotto empiricamente In conclusione Il limite E << m dell equazione di Dirac riproduce l equazione di Pauli Il fattore giromagnetico g = 2 è predetto dalla teoria di Dirac Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 91

7 Scattering Coulombiano: spin 0 Come prima applicazione della teoria relativistica consideriamo lo scattering Coulombiano per una particella di spin 0 La funzione d onda della particella obbedisce all equazione di Klein-Gordon Come nel caso dell equazione di Dirac l interazione elettromagnetica viene introdotta utilizzando la sostituzione minimale Vediamo come si modifica l operatore μ μ Inserendo nell equazione di Klein-Gordon otteniamo prima si moltiplica a destra per φ dopo si applica μ al prodotto A μ φ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 92

8 Scattering Coulombiano: spin 0 A questo punto il problema può essere risolto utilizzando la teoria perturbativa dipendente dal tempo L ampiezza di transizione da uno stato iniziale i ad uno stato finale f dovuta ad un potenziale V è data dall approssimazione (primo ordine) Utilizziamo il potenziale di Klein-Gordon Al primo ordine possiamo trascurare il termine in q 2 Otteniamo in definitiva Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 93

9 Scattering Coulombiano: spin 0 Possiamo elaborare il primo termine integrando per parti Assumiamo che il potenziale A μ all infinito si comporti in modo tale da far tendere a zero il primo termine L ampiezza di transizione diventa L espressione dentro parentesi quadra ricorda la corrente di probabilità Si definisce la corrente di transizione elettromagnetica fra gli stati i e f Utilizzando questa corrente l ampiezza di transizione diventa Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 94

10 Scattering Coulombiano: spin 0 A questo punto utilizziamo due soluzioni con energia positiva dell equazione di KG: ad esempio un elettrone con carica q = e e > 0 Un onda piana per lo stato iniziale Un onda piana per lo stato finale Abbiamo scelto la costante di normalizzazione N = 1 (v. diapositiva ) Inserendo nella corrente di transizione Otteniamo pertanto Consideriamo infine un potenziale Coulombiano Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 95

11 Scattering Coulombiano: spin 0 L ampiezza di transizione diventa pertanto notare il segno e lo scambio i f I due integrali sono indipendenti L integrale rispetto al tempo conduce ad una funzione δ Il secondo integrale è la trasformata di Fourier del potenziale di Coulomb Si calcola facilmente come limite per m 0 del potenziale di Yukawa Inserendo nell ampiezza di transizione δ(e i E f ) E i = E f Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 96

12 Scattering Coulombiano: spin 0 Nella teoria perturbativa dipendente dal tempo la sezione d urto è data dalla regola d oro di Fermi La quantità Φ è il flusso di particelle La quantità è la probabilità di transizione per unità di tempo e si calcola a partire dall elemento di matrice M fi E La quantità ρ(e f ) è la densità degli stati i = E f L elemento di matrice ridotto V fi viene introdotto per isolare la funzione δ Il modulo quadrato della funzione δ non è definito Viene calcolato con un opportuno processo di limite Ricordando il risultato della diapositiva precedente Isoliamo l elemento di matrice ridotto Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 97

13 Scattering Coulombiano: spin 0 Veniamo adesso alla densità degli stati Ad una energia E f corrispondono tutti gli stati con momento p f Il numero di stati nell elemento d 3 p f dello spazio delle fasi è Il fattore 2E f nel denominatore è stato introdotto in modo da rendere dn invariante per trasformazioni di Lorentz Uguagliando al numero di stati nell intervallo de f Calcoliamo esplicitamente dn in funzione di de f Utilizzando le coordinate sferiche In conclusione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 98

14 Scattering Coulombiano: spin 0 Per finire il flusso Φ Fin qui le probabilità calcolate sono relative al un flusso di particelle incidenti corrispondenti alle funzioni d onda usate J ds Occorre tenere conto della normalizzazione degli stati Abbiamo visto che per le soluzioni dell equazione di KG utilizzate (N = 1) si ha Abbiamo pertanto scattering elastico p i = p f In conclusione otteniamo la sezione d urto differenziale per lo scattering di una particella a spin 0 da un potenziale Coulombiano Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 99

15 Scattering Coulombiano: spin 0 Un ultima elaborazione per sostituire l angolo di difffusione al momento trasferito Otteniamo pertanto p f p i q La sezione d urto diventa pertanto Da confrontare con la formula non relativistica Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 100

16 Scattering Coulombiano: spin ½ Calcoliamo adesso la sezione d urto per particelle di spin ½ Il calcolo segue le linee precedenti seguite per la particella di spin 0 Occorre utilizzare gli spinori Ricordiamo che l introduzione dell interazione elettromagnetica tramite l accoppiamento minimale aveva condotto all equazione di Dirac con potenziale V D Come nel caso dell equazione di KG utilizziamo la teoria perturbativa dipendente dal tempo L elemento di matrice diventa Utilizziamo due soluzioni con energia positiva Uno stato iniziale con momento p i e spin s i Uno stato finale con momento p f e spin s f Inserendo nell elemento di matrice Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 101

17 Scattering Coulombiano: spin ½ Introduciamo I = γ 0 γ 0 fra lo spinore u f e il potenziale V D Inoltre semplifichiamo la notazione: u i (p i,s i ) = u i, etc. Elaboriamo l espressione del potenziale Inserendo nell elemento di matrice Come nel caso di KG è interessante introdurre la corrente di transizione elettromagnetica Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 102

18 Scattering Coulombiano: spin ½ Per finire, consideriamo un elettrone ( q = e e > 0 ) in un campo Coulombiano statico Confrontando con il calcolo per la particella di spin 0 Il calcolo dell integrale è identico al caso della particella di spin 0 Al termine 2E i = (p 0 i + p 0 f) sostituiamo Introducendo anche in questo caso l elemento di matrice ridotto otteniamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 103

19 Scattering Coulombiano: spin ½ Gli stati iniziale e finale possono avere ciascuno due stati di polarizzazione Indicandoli convenzionalmente + oppure otteniamo 4 sezioni d urto Supponiamo di distinguere (misurare) la polarizzazione dello stato finale Se non utilizziamo un fascio polarizzato la sezione d urto si ottiene mediando le due sezioni d urto con polarizzazione dello stato iniziale + e media Se non si osserva neppure la polarizzazione nello stato finale la sezione d urto misurata è la somma dσ = dσ + + dσ Somma, non media! Occorre pertanto calcolare L espressione C può essere calcolata utilizzando, ad esempio, la forma esplicita degli spinori nella rappresentazione di Dirac Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 104

20 Scattering Coulombiano: spin ½ Il calcolo di forza bruta (vedi problema 8.5) porta al risultato Introducendo nella formula della sezione d urto Otteniamo finalmente Osserviamo che la differenza con la particella di spin 0 è data dal fattore 1 β 2 sin 2 θ/2 Il fattore diventa importante per β 1 Interazione di tipo magnetico: nel sistema di riposo dell elettrone al campo elettrico si aggiunge un campo magnetico come effetto relativistico La sezione d urto tende a zero per β 1 e θ π Vedremo che è dovuto alla conservazione del momento angolare Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 105

21 Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ Il calcolo del prodotto di spinori (C) utilizzando la rappresentazione esplicita è già abbastanza lungo e noioso Lo scattering Coulombiano è un caso semplice È stato sufficiente calcolare il modulo dell elemento temporale dato che solo A 0 era diverso da zero C è una sola particella perchè calcoliamo una scattering da potenziale In casi più complessi abbiamo bisogno di tecniche più potenti Introduciamo queste tecniche partendo dal caso semplice dello scattering coulombiano Prima di fare la semplificazione per campo coulombiano statico abbiamo Calcoliamo il modulo quadrato Considerando per il momento il caso di fascio non polarizzato senza misura della polarizzazione nello stato finale dobbiamo calcolare Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 106

22 Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ Consideriamo il tensore L μν Utilizziamo Scriviamo esplicitamente gli indici delle matrici Adesso i simboli sono numeri e possono essere spostati a piacere Inoltre invertiamo l ordine delle sommatorie su if rispetto a quelle su αβρσ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 107

23 Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ Le somme su i e su f sono due matrici Abbiamo Riconosciamo Il prodotto di 4 matrici La traccia della matrice risultante Adesso occorre calcolare le matrici A e B Notiamo che queste somme hanno una somiglianza con le relazioni di completezza (slide ) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 108

24 Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ In realtà c è più che una somiglianza Gli operatori A e B sono la parte con energia positiva delle relazioni di completezza Ricordiamo le equazioni di Dirac per gli spinori u e v Definiamo gli operatori Utilizzando le equazioni precedenti possiamo facilmente verificare che E analogamente Gli operatori Λ ± sono gli operatori di proiezione per le energie positive e negative rispettivamente Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 109

25 Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ Possiamo pertanto scrivere (un modo complicato per scrivere 0) Inoltre Mettendo insieme i vari pezzi otteniamo Un calcolo analogo con gli spinori di energia negativa permette di concludere Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 110

26 Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ Ritorniamo al tensore L μν (diapositiva ) Introducendo i risultati trovati per gli operatori A e B Il problema del calcolo dell elemento di matrice è stato ricondotto al calcolo di una traccia Sviluppando la matrice di cui vogliamo calcolare la traccia La traccia che cerchiamo è la somma delle tracce individuali Riconosciamo 3 tipologie La traccia del prodotto di 4 matrici La traccia del prodotto di 3 matrici La traccia del prodotto di 2 matrici Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 111

27 Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ Riportiamo di seguito le principali proprietà delle tracce di prodotti di matrici γ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 112

28 Scattering Coulombiano: spin ½ Possiamo adesso utilizzare le regole precedenti per calcolare il tensore leptonico numero dispari di matrici Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 113

29 Scattering Coulombiano: spin ½ Ricordiamo che nel problema dello scattering di Coulomb il potenziale era L unico elemento del tensore leptonico che sopravvive è L 00 Nello scattering elastico E i = E f = E e p i = p f = p La quantità L 00 appena calcolata coincide con la somma C della diapositiva Il calcolo prosegue come in precedenza e, ovviamente, si arriva allo stesso risultato Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 114

30 Scattering Coulombiano: spin ½ Vedremo che i calcoli che abbiamo fatto possono messi in relazione a diagrammi: Diagrammi di Feynman Ad esempio il calcolo perturbativo al primo ordine dello scattering di coulomb per un fermione ha come diagramma Una corrente elettromagnetica p i γ μ p f Interagisce con fotone (potenziale) A μ A questo diagramma si può associare automaticamente il tensore leptonico Questa espressione si scrive percorrendo da destra a sinistra il diagramma Stato finale Vertice Stato iniziale Vertice Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 115

31 Effetti di polarizzazione In alcuni casi il metodo delle tracce introdotto non è direttamente utilizzabile Quando si usa un fascio polarizzato Se si vuole misurare la polarizzazione nello stato finale Possiamo però chiederci se si può utilizzare una strategia simile Rivediamo i punti essenziali Per limitare la somma agli stati di energia positiva abbiamo utilizzato i proiettori In tal modo si può estendere la somma agli stati di energia negativa I proiettori ci assicurano che questi (stati p 0 <0) non contribuiscono effettivamente nella somma La linearità dei proiettori permette di fare prima la somma su tutti gli stati e solo successivamente applicare il proiettore Un metodo analogo per studiare la polarizzazione richiede i proiettori di spin Vogliamo costruire un operatore con le seguenti proprietà Alcune importanti proprietà di questi operatori Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 116

32 Effetti di polarizzazione Nel calcolo del tensore leptonico L μν siamo partiti dall espressione Supponiamo che lo stato iniziale sia polarizzato Non abbiamo più la somma sugli stati iniziali (somma su σ 2 ) Inoltre, dal momento che rimane un solo stato, si elimina la media Per potere utilizzare le relazioni di completezza occorre reintrodurre la somma sugli stati iniziali Possiamo utilizzare i proiettori di spin Se introduciamo il proiettore possiamo estendere di nuovo la somma ai due stati di polarizzazione È sufficiente introdurre P Σ una sola volta Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 117

33 Effetti di polarizzazione Da questo punto in poi il calcolo procede come nel caso senza polarizzazione Si arriva al risultato Analogamente, se si volesse misurare la polarizzazione dello stato finale si introdurrebbe il proiettore P (s f ) Pertanto abbiamo bisogno degli operatori di proiezione Anticipiamo la forma di un proiettore di spin Il tensore leptonico, per una polarizzazione +s i dello stato iniziale, diventa Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 118

34 Proiettori di spin Approfondiamo innanzitutto il significato dei proiettori di spin Lo spin non si conserva per una particella in movimento Abbiamo introdotto lo spin facendo riferimento al sistema di riposo Nel sistema di riposo la definizione di un proiettore è semplice L operatore di spin è S = ½ I possibili stati di un fermione possono essere descritti con i due spinori u con p = 0 e con polarizzazione ±ξ non dipende dalla rappresentazione Come nella teoria non relativistica si ha non dipende dalla rappresentazione Pertanto, nel sistema di riposo, i proiettori sono semplicemente Si ha ovviamente Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 119

35 Proiettori di spin Estendiamo le definizioni alle soluzioni di energia negativa v Abbiamo una complicazione aggiuntiva L interpretazione di hole associa lo spin fisico agli autovalori di ξ con i segni invertiti ξ interpretazione fisica ξ positrone rappresentazione matematica positrone Il valore della grandezza fisica associata all antiparticella è l autovalore in rosso cambiato di segno Ovviamente vogliamo un formalismo che superi questa difficoltà Un operatore il cui autovalore abbia il segno corretto automaticamente Possiamo utilizzare la proprietà che gli spinori u e v sono autovettori di γ 0 con autovalori +1 e 1 rispettivamente Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 120

36 Proiettori di spin Possiamo pertanto modificare l operatore ξ nel seguente modo Con questo operatore ovviamente ξ ξ Per quanto riguarda gli spinori u non cambia nulla dato che γ 0 u = u Gli operatori di proiezione, nel sistema di riposo, sono pertanto Proiettano gli stati con polarizzazione fisica ±ξ Si comportano allo stesso modo per gli spinori u e v Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 121

37 Proiettori di spin Fin qui abbiamo fatto considerazioni nel sistema di riposo della particella Possiamo ottenere gli spinori per una particella in movimento con una trasformazione di Lorentz y' y K' x' K x z' z Vogliamo trovare un operatore che Svolga il ruolo di ξ γ 0 nel sistema di riferimento K Agisca direttamente sugli spinori u(p,s) e v(p,s) Abbia autovalori +1 e 1 uguali a quelli di ξγ 0 nel sistema di riposo Cominciamo con scrivere in modo covariante l operatore ξγ 0 nel sistema K Innanzitutto consideriamo le seguenti espressioni di (diapositiva ) sottointesa la somma su j Otteniamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 122

38 Proiettori di spin Riepilogando Dal momento che nel sistema di riposo s ν =(0,ξ) possiamo scrivere Si può dimostrare che L operatore si trasforma nell operatore L operatore applicato agli spinori u e v nel sistema K dà lo stesso risultato che dava nel sistema di riposo K Abbiamo pertanto trovato l operatore che applicato agli spinori di particelle in moto ci dice qual è lo spin nel sistema di riposo Ovviamente gli operatori sono gli operatori di proiezione che cercavamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 123