ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA. 22 giugno Traccia di soluzione

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1 ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA giugno 08 Traccia di soluzione ) Ponendo α = /σ ), il valore medio della posizione è + ψ ˆx ψ = dx ψ ˆx x x ψ = dx ψ x)xψx) = α + dx x e αx x 0), ) e con un semplice cambio di variabile sotto integrale x = x x 0 otteniamo: α + ) dx x + x 0 ) e αx ) α = 0 + x 0 = x 0, ) α in cui abbiamo usato il noto risultato per l integrale gaussiano. Il valor medio dell impulso è ψ ˆp ψ = + dx ψ x x ˆp ψ = dx ψ x) i ) ψx) α + = i dx [ αx x 0 )] e αx x 0) α = i α + dx x e αx ) = 0. 3) Senza svolgere alcun calcolo avremmo potuto osservare che ψx) è una funzione pari, la derivata è quindi una funzione dispari e questo significa che la funzione integranda è dispari su dominio pari, per cui il risultato è nullo. L indeterminazione in posizione al tempo t = 0 è data da x = x x. Calcoliamo il valor medio di ˆx : + α + ψ ˆx ψ = dx ψ ˆx x x ˆx ψ = dx ψ x)x ψx) = dx x + x 0 ) e αx ) α + } } = dx x ) e αx ) α x 0 = α α + 3 x 0 = α α + x 0 4) e quindi usando x = x 0 otteniamo x = /α, da cui ricordandoci che σ = /α ritroviamo x σ, coerentemente con il significato di σ di varianza della gaussiana. L indeterminazione in impulso al tempo t = 0 si ottiene analogamente: ψ ˆp ψ = + dx ψ ˆp x x ˆp ψ = dx +i ) ψ x) i ) ψx) α + = + dx α x x 0 ) e αx x 0) α = + α α = α 3 = 4σ, 5) che è anche il risultato di p poichè p = 0 come in 3). ) Le equazioni del moto alla Heisenberg per gli operatori x e p sono: dx dt = i [H, x] = i [ p, x ] + i m δ[x, x] = p m 6) dp dt = i [H, p] = i [ p, p ] + i δ[x, p] = δ, m 7)

2 in cui ci siamo serviti della formula [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B 8) e di [x, p] = [p, x] = i, oltre che del fatto che [A, A] = 0. Partendo dall equazione differenziale 7) e poi risolvendo 6), troviamo le soluzioni: pt) = p0) δt 9) xt) = x0) + p0) m t δ m t. 0) Pertanto, i valori medi di posizione e impulso a un tempo t qualunque sono dati da: xt) = x0) + t m p0) δ m t = x 0 δ m t ) pt) = p0) δt = δt ) mentre, poichè p t) = p 0) + δ t p0)δt, abbiamo p t) = p 0) + δ t e quindi: che vediamo quindi essere indipendente dal tempo. pt) = α + δ t δ t = α, 3) 3) Partendo dalle equazioni di moto alla Heisenberg già introdotte nelle equazioni 6) e 7), l obiettivo è quello di calcolare i commutatori [H, q] e [H, p] assumendo un hamiltoniana generale, somma di un termine cinetico T p) e di un potenziale V q), dove T e V sono funzioni regolari dipendenti solo da p e q rispettivamente. Esse possono essere quindi sviluppate in una serie di potenze nel loro argomento del tipo: F x) = f x. 4) Abbiamo quindi per esempio: [ ] [T p), q] = t p, q = = t p[p, q] + [p, q]p } = t p [p, q] + p[p, q]p i p } = t p[p, q] i p } t p [p, q] i p i p } = = t p [p, q] )i p } = i t p = i p t p T p) = i p. 5) Con passaggi analoghi si dimostra che: [V q), p] = i V q). 6) q Pertanto le equazioni di moto alla Heisenberg per posizione e impulso possono essere riscritte come: da cui, prendendo i valori medi, otteniamo il teorema di Ehrenfest. dq dt = i H [H, q] = p 7) dp dt = i [H, p] = H q, 8)

3 4) Calcoliamo xt) = x t) xt). Da 0) abbiamo che: x t) = x 0) + p 0) t m + δ t 4 4m + x0)p0) + p0)x0) } t δt δt3 x0) p0) m m m, 9) ma ricordandoci dei risultati della domanda ) otteniamo: x t) = α + x 0 + αt m + δ t 4 4m + x0)p0) i } t m x δt 0 m. 0) Calcoliamo il valor medio di x0)p0) : ψ ˆxˆp ψ = + dx x ψ x) i ) α + ψx) = i α + = i α dx x + x 0 )x e αx ) = i α dx [ αxx x 0 )] e αx x 0) α α 3 = i ) e quindi il termine in parentesi graffa in 0) si annulla. Quindi, dato che xt) = x 0 + δ t 4 δt x 4m 0 m abbiamo infine: xt) = α + αt m = x0) + αt m. ) Il principio di indeterminazione invece afferma che: xt) x0) 4 [xt), x0)]. 3) Calcoliamo il commutatore al membro di destra di 3): [xt), x0)] = t m [p0), x0)] = i t m 4) e quindi concludiamo che: xt) t 4m x0) = αt m. 5) Quindi per grande t, trasurando il termine x0) a membro destro della Eq. ), si vede che l indeterminazione di una misura di posizione è la minima permessa dal principio di indeterminazione. 5) Scriviamo l equazione agli autovalori nella base degli impulsi: p Ĥ ψ = E p ψ. 6) Ricordando che p ˆx ψ = i /p)ψp) otteniamo l equazione differenziale: p ψp) = [ ] p i δ m E ψp) 7) con soluzione dove N è una costante di normalizzazione. [ ]) i p 3 ψp) = N exp δ 6m Ep, 8) Questa funzione d onda non può mai essere normalizzata in senso proprio. Questo è dovuto al fatto che per x infty se > 0) il potenziale soddisfa lim x V x) = e quindi il valore dell energia, qualunque esso sia, è sempre maggiore del potenziale. La funzione d onda ha quindi 3

4 sempre un andamento oscillante nel limite e non può essere normalizzata in senso proprio. Questo si vede anche esplicitamente osservando che l autofunzione ψp) soddisfa + dp N =. 9) È possibile invece normalizzare le autofunzioni di energia in senso improprio in quanto possiamo imporre che ψ E ψ E = δe E ): + ) ) i E E ψ E ψ E = N dp exp δ [E E ] p = N δ = N δ}δe E ), 30) δ da cui leggiamo N = δ. 3) Osserviamo infine che lo spettro non è degenere. Possiamo capirlo come conseguenza del fatto che lim x V x) = > E per ogni E. Pertanto, pr x l autofunzione di energia è esponenziale. Ma delle sue soluzione esponenziali una diverge e non è quindi accettabile. Resta pertanto una unica soluzione accettabile per ogni E 6) Partendo dall espressione generale per l operatore di evoluzione temporale St) e inserendo l hamiltoniana, otteniamo: [ ] [ )] t p St) = exp i Ht = exp i m + δx. 3) Sviluppando l esponente del membro a destra della formula BCH abbiamo: a p + a p + bx + [a b i )p + a b i )] + dove c è una costante. Identificando a = t i m [ i ) a b ] = a p + a i a b) p + bx + c, 33) b = tδ i a = δt i m otteniamo l uguaglianza tra 33) e l esponente di 3) a meno di una costante che possiamo sommare e sottrarre, e quindi usando la formula BCH possiamo scrivere [ ) ] [ t p t p St) = exp i m + δx + c exp [ c] = exp[ c] exp i m + δt }] [ ] t m p exp i δx} 35) e quindi le costanti richieste si ottengono dividendo quelle della Eq. 34) per t/i, ossia 34) a = m, b = δ, a = δt m. 36) La dipendenza temporale per l autofunzione di energia 8) è quindi data da: [ t p ψ E t) = p St) ψ E = exp p + δtp )] [ exp δt ] ψ E p, 0). 37) i m p Ma poiché exp [ δt ] ) ψ E p, 0) = ψ E p, 0) + p p ψ Ep, 0) δt) + ) p ψ Ep, 0) δt) ) 4

5 nel membro di sinistra riconosciamo lo sviluppo in serie di Taylor di ψ E p+δt, 0) e quindi concludiamo che [ t ψ E p, t) = exp p + δtp )] ψ E p + δt, 0). 39) i m Questo significa che, a meno di una fase, l autofunzione al tempo t si ottiene da quella al tempo t = 0 attraverso la sostituzione p p + δt, consistentemente con l equazione del moto alla Heisenberg Eq. 9). 7) Nella base delle coordinate, l equazione agli autovalori ha la forma } m x + δx ψx) = Eψx). 40) Nel limite per x + de δ > 0) il potenziale è infinitamente alto, pertanto qualunque autostato di energia sia esponenzialmente soppresso. In questo limite, il membro a destra di 40) è trascurabile e quindi l equazione agli autovalori si riduce a ψx) = δxψx). 4) m x La soluzione di questa equazione è di tipo esponenziale: ponendo ψx) = exp fx)) abbiamo f x)) = mδ x + f x). 4) Se f e f sono funzioni crescenti di x, allora f è positiva e dalla 4) abbiamo f x)) f x) per x +, pertanto trascurando la derivata seconda in 4) otteniamo: il che ci permette di concludere che f x) = mδ x, 43) fx) x 3/ x +. 44) Nel limite x invece abbiamo la situazione opposta: E > V, e quindi qualsiasi autostato di energia ha un comportamento oscillante. In questo linite dunque possiamo sempre porre ψx) = singx) + δ). In modo analogo a prima otteniamo l equazione differenziale per la g: g x)) = mδ x + g x) cotgx)). 45) Trascurando la derivata seconda, poichè g x)) g x) concludiamo che gx) x 3/ x. 46) 5