Momento angolare. l = i h ( x ) li = i h ε ijk x j x k. Calcoliamo le relazioni di commutazione tra due componenti del momento angolare

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1 1 Momento angolare. Il momento della quantitá di moto (momento angolare) é definito in fisica classica dal vettore (nel seguito usiamo la convenzione che gli indici ripetuti vanno intesi sommati) l = x p li = ε ijk x j p k i, j, k = 1,, 3 (1) dove ε ijk é il tensore a tre indici completamente antisimmetrico di Levi-Civita che vale zero se due indici sono uguali e vale ε 13 = ε 31 = ε 13 = 1 ε 113 = ε 31 = ε 31 = 1 () Possiamo quantizzare l eq.(1) senza simmetrizzare perché nel prodotto appaiono x j e p k con j k e [x j, p k ] = 0. L operatore autoaggiunto quantistico corrispondente é l = i h ( x ) li = i h ε ijk x j x k (3) Calcoliamo le relazioni di commutazione tra due componenti del momento angolare [l 1, l ] = [x p 3 x 3 p, x 3 p 1 x 1 p 3 ] = [x p 3, x 3 p 1 ] + [x 3 p, x 1 p 3 ] = x [p 3, x 3 ] p 1 + p [x 3, p 3 ] x 1 = i h(x 1 p x p 1 ) = i h l 3 (4) dove abbiamo usato la formula per il commutatore del prodotto di due operatori [AB, CD] = A[B, C] D + AC[B, D] + [A, C] BD + C [A, D] B (5) Analogamente si dimostra [l, l 3 ] = i h l 1 [l 3, l 1 ] = i h l [l i, l j ] = i h ε ijk l k (6) Quindi le tre componenti del momento angolare non commutano tra di loro. Definiamo il quadrato del momento angolare Si trova, usando la formula l = l 1 + l + l 3 (7) [A, BC] = [A, B] C + B [A, C] (8) [l 1, l1] = 0 [l 1, l] = i h (l 3 l + l l 3 ) [l 1, l3] = i h (l 3 l + l l 3 ) (9) sommando le tre equazioni si ottiene [l 1, l ] = 0 [l i, l ] = 0 i (10)

2 siccome analoghe relazioni valgono per le altre componenti del momento angolare. É utile introdurre i due operatori gradino l ± definiti da che soddisfano le regole di commutazione l ± l 1 ± il = l x ± il y (11) [l 3, l ± ] = ±l ± [l ±, l ] = l 3 (1) Quindi le componenti del momento angolare commutano con la somma dei loro quadrati. Determiniamo le autofunzioni comuni al l ed ad una componente che indichiamo con l 3. É conveniente scrivere l z e l come operatori differenziali nelle coordinate polari (r, θ, ϕ) l 3 l z = i h ϕ ( ) + cot θ cos ϕ ϕ l 1 l x = i h sin ϕ θ ( l l y = i h cos ϕ ) + cot θ sin ϕ θ ϕ [ l ± = h e ±iϕ ± θ + i cot θ ] ϕ [ ( l 1 = h sin θ ) + 1 sin θ θ θ sin θ Le precedenti equazioni si ricavano dalle relazioni ] ϕ (13) (14) (15) (16) (17) z = r cos θ x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ (18) e dalle espressioni delle nove derivate parziali x i = r x i r + θ x i Le autofunzioni dei due operatori soddisfano θ + ϕ x i ϕ (19) La prima equazione si scrive l 3 Y lm (θ, ϕ) = m h Y lm l Y lm = l(l + 1) h Y lm (θ, ϕ) (0) i h ϕ Y lm(θ, ϕ) = m h Y lm Y lm (θ, ϕ) = F lm (θ) e imϕ (1) La ortogalizzazione della funzione rispetto alla variabile ϕ richiede π 0 E m (ϕ) E m(ϕ) dϕ = π δ mm = π 0 e i(m m )ϕ dϕ m Z () Le funzioni Y lm (θ, ϕ) sono dette armoniche sferiche e si esprimono in termini delle funzioni associate di Legendre (m 0) Y lm (θ, ϕ) = ( 1) m [ l + 1 4π ] 1/ (l m)! Pl m (θ) e imϕ (3) (l + m)!

3 3 Dove le funzioni associate di Legendre si esprimono in termini dei Polinomi di Legendre I polinomi di Legendre sono dati da Pl m (θ) = sin m θ P l (θ) = 1 l l! Le funzioni Y lm (θ, ϕ) soddisfano le relazioni di ortonormalitá e di completezza [ ] l d P l (θ) (4) d cos θ [ ] l d (cos θ 1) l (5) d cos θ Y l m (θ, ϕ) Y lm(θ, ϕ) dω = δ mm δ ll (6) l l=0 m= l Y lm(θ, ϕ) Y lm (θ, ϕ ) = δ(θ θ )δ(ϕ ϕ ) sin θ (7) La completezza delle armoniche sferiche implica che ogni funzione f(θ, ϕ) a quadrato integrabile sulla sfera si puó esprimere come serie di Y lm (θ, ϕ) con f(θ, ϕ) = c lm = π 0 dϕ l l=0 m= l π Per riflessione spaziali si ha (θ, ϕ) (π θ, ϕ + π) Si ha Armoniche sferiche per l = 0 e l = 1 0 c lm Y lm (θ, ϕ) (8) dθ Y lm(θ, ϕ) f(θ, ϕ) (9) Y lm (π θ, ϕ + π) = ( 1) l Y lm (θ, ϕ) (30) Y lm(θ, ϕ) = ( 1) m Y l, m (θ, ϕ) (31) Y 10 = 1 3 Y 10 = 4π 4π cos θ 3 Y 11 = 8π sin θ eiφ = Y1, 1 (3)

4 4 Autovalori del momento angolare. Formulazione algebrica Le relazioni di commutazione degli operatori autoaggiunti o hermitiani associati alla osservabile momento angolare definita da (denotiamo gli operatori e gli autovalori rispettivamente con le lettere maiuscole e minuscole) L = r p (33) sono (in seguito usiamo il cosidetto sistema di unitá naturale in cui h = 1) [L i, L j ] = i hε ijk L k i, j, k = 1,, 3 (34) dove ε ijk é il tensore a tre indici completamente antisimmetrico di Levi-Civita che vale zero se due indici sono uguali e vale Sono utili le seguenti identitá: k=1 ε 13 = ε 31 = ε 13 = 1 ε 113 = ε 31 = ε 31 = 1 (35) ε ijk ε mnk = δ im δ jn δ in δ jm (36) j,k=1 ε ijk ε njk = δ in (37) L operatore i,j,k=1 ε ijk ε ijk = 6 (38) L = L i (39) i=1 commuta con tutti gli L i [L i, L ] = 0 (40) Infatti si ha: [L i, L ] = [L i, 3 k=1 L k] = 3 k=1 {L k [L i, L k ] + [L i, L k ] L k } = 3k=1 i hε ikj { L k L j + L j L k } = 0 (41) Si ha, dalla definizione eq.(1): [L i, x j ] = i hε ijk x k (4) [L i, p j ] = i hε ijk p k (43) Defininiamo gli operatori L ± = L 1 ± i L (44)

5 5 Quindi L 1 = L + + L L = L + L (45) i Tali operatori non sono autoaggiunti: L + é l aggiunto di L. Le relazioni di commutazione di questi operatori si ricavano dalla eq.(34) e sono Dall eq.(39) e eq.(46) si ha [L +, L ] = h L 3 [L 3, L ± ] = ± h L ± (46) L = L +L + L L + + L 3 = L + L hl 3 + L 3 = L L + + hl 3 + L 3 (47) Siccome i tre operatori L i (o equivalentemente L ±,3 ) non commutano, non é possibile trovare una base di autostati comune. Possiamo solo trovare una base comune di autostati di L e di uno dei tre, convenzionalmente si sceglie L 3. Vediamo come dalle relazioni di commutazione degli operatori é possibile ricavare lo spettro degli autovalori e l azione di tutti gli operatori sugli autostati. Sia lm > la base di autostati comune di L e L 3. L lm > = h l(l + 1) lm > L 3 lm >= hm lm > (48) dove abbiamo scritto l autovalore di L nella forma l(l +1) per ragioni di convenienza che saranno chiare successivamente. Dalla struttura degli operatori autoaggiunti o hermitiani sappiano che m e l(l + 1) sono reali. Inoltre dalla forma dell operatore L, vedi eq.(39) o eq.(47), possiamo dedurre che l(l + 1) 0. In effetti abbiamo che < lm L lm > = i=1 < lm L i lm > = L i lm > 0 (49) i=1 dove abbiamo usato la proprietá che l operatore L i é autoaggiunto ed abbiamo indicato con L i lm > la norma quadrata dello stato L i lm >. Notiamo che l espressione l(l + 1) é invariante per la sostituzione l l 1. Quindi l(l + 1) 0 richiede o l 0 o l 1. Sceglieremo l 0, ma come sará chiara in seguito la scelta é irrilevante. Assumereno che gli stati lm > siano normalizzati < lm lm >= 1 (50) Se applichiamo l operatore L 3 allo stato L ± lm > usando la relazione di commutazione eq.(46) si ha L 3 L ± lm > = [L 3, L ± ] lm > + L ± L 3 lm > = ± h L ± lm > + hm L ± lm >= h(m ± 1) lm > (51) Quindi lo stato L ± lm > é ancora autostato di L 3 con autovalore (m ± 1). Evidentemente tale stato é ancora autostato di L con lo stesso autovalore perché L commuta con L ±. Inoltre abbiamo < lm L L ± lm > = < lm L L 3 L 3 lm > = h (l(l + 1) m m ) = L ± lm > (5)

6 6 Quindi, essendo la norma di uno stato sempre non negativa, deduciamo Ne segue l(l + 1) m(m ± 1) 0 (53) m > 0 l(l + 1) m(m + 1) m < 0 l(l + 1) m(m 1) (54) Per m < 0 possiamo scrivere m(m 1) = m( m + 1) = m ( m + 1) quindi riscriviamo l eq.(53) nella forma l(l + 1) m ( m + 1) l m (55) dove abbiamo indicato con m il modulo del numero m ed abbiamo usato la proprietá che l 0. L azione degli operatori L ± é quindi di alzare o abbassare l autovalore di L 3 di un unitá. Vengono quindi usualmente chiamati operatori gradino o operatori di shift. A causa della disuguaglianza eq.(55) deve esistere un m max, rispettivamente m min, tale che Dall azione di shift degli operatori L ± segue che Inoltre, facendo uso dell eqq.(48), (47) e (56) abbiamo L + lm max > = L lm min > = 0 (56) m max = m min + n con n Z + (57) L lm max > = h l(l + 1) lm max > = (L L + + hl 3 + L 3) lm max > = h (m max + m max) lm max > (58) L lm min > = h l(l + 1) lm min > = (L + L hl 3 + L 3) lm min > = h ( m min + m min) lm min > (59) Dall eqq.(58) e (59) deduciamo l = m max o m max 1 = l (60) l = m min o m min 1 = l (61) Siccome per definizione m max m min l unica scelta consistente é l = m max = m min 0 (6) Quindi per l eq.(57) si ha l = n l Z + (63)

7 7 Siccome ogni valore m differisce di un intero da m max = m min = l segue che m Z (64) Adesso siamo in grado di calcolare l azione degli operatori gradino sullo stato lm > L ± lm > = < lm L L + lm > = h (l(l + 1) m(m ± 1)) (65) Dove abbiamo usato l eq.(47) per esprimere L, L + in funzioni di L e L 3, l eq.(48) e l ortonormalizzazione dello stato lm >. Quindi possiamo scrivere con F ± (l, m) = Dall eq.(66) ed eq.(67) segue che Osserviamo che L ± lm > = hf ± (l, m) l, m ± 1 > (66) l(l + 1) m(m ± 1) = (l m)(l ± m + 1) (67) L + lm >= 0 m = l L lm >= 0 m = l (68) 1. Il valore medio di L x e L y nello stato lm > é zero. Dall eq.(45) si ha < lm L x lm > = < lm L + + L lm > = h/ (F α (l, m) < lm l, m α 1 > = 0 (69) α=±. Dimostriamo che il valore di aspettazione di L j per j = x, y sono uguali. In fatti usando l eq..(45) si ha < lm L x lm > = < lm L + + L + L + L + L L + lm > 4 Dall eqq.(70), (66) e (67) si ha = < lm L +L + L L + lm > = < lm L 4 y lm > (70) < lm L x lm > = < lm L y lm > = h l(l + 1) m (71) 3. L elemento di matrice di qualunque operatore L i tra stati con diverso valore di l é zero. Infatti usando l eq.(48) per l > 0 si ha L < l m L i lm > = < l m L i l(l + 1) lm > = h l (l + 1) l(l + 1) < l m L i lm > = 0 per l l (7) Nell equazione precedente abbiamo usato le proprietá che L commuta con L i, eq.(40), ed é autoaggiunto, quindi puó agire sul bra < l m.

8 8 4. Il valore dell osservabile momento angolare é quantizzato contrariamente al caso della fisica classica. Inoltre il valore massimo della sua componente lungo un asse (nel nostro caso l asse 3 o asse z) é inferiore al valore massimo del momento angolare: l(l + 1). Questa ultima proprietá, anch essa tipica della meccanica quantistica, l < si puó capire alla luce delle relazioni di indeterminazione delle variabili complentari. Ricordiamo che (A, B, C operatori autoaggiunti) [A, B] = ic ( A) ( B) < [A, B] > 4 Calcoliamo sullo stato di massimo valore di L z, che indichiamo con µ, il valore medio dell operatore L, usando l eqq.(48)-(47) si ha (λ = l(l + 1)) Se (73) < L > = λ = < L 1 > + < L > + < L 3 > (74) < L 3 > = h λ < L 1 > = < L > = 0 (75) Siccome abbiamo dimostrato che il valore di aspettazione di L i (i = 1, ) sugli autostati di L 3 é zero, si ha ( L i ) = < L i > e quindi violeremmo l eq.(73) per A = L 1 e B = L. Siccome chiaramente le componenti 1 e sono equivalenti (quindi L 1 = L ) l eq.(73) richiede all uguaglianza: ( L i ) = < L 3 > = h µ dove abbiamo usato l eq.(34). Inserendo la precedente equazione nell eq.(74) si ha (76) l(l + 1) = µ + µ + µ = µ(µ + 1) µ = l (77) Quindi il valore massimo trovato per l autovalore di L 3 é consistente con le relazioni di indeterminazione. In conclusione: Lo spettro dell operatore L é formato dagli autovalori della forma h l(l + 1) con l Z + Gli autostati sono degeneri essendoci (l + 1) autostati corrispondenti allo stesso autovalore e specificati dall indice intero o semi-intero m che varia da l m l. Gli autovalori dell operatore L 3 sono della forma hm, con m numero intero o semiintero. Chiaramente anche gli autovalori degli operatori L 1 e L hanno la stessa struttura. Lo spettro degli operatori L i é lo stesso. Gli autostati di L e L 3 per ogni valore di l formano un sottospazio di Hilbert a dimensione finita e pari l + 1. Gli stati dello spazio di Hilbert sono ortonormali < l m lm >= δ ll δ mm (78)

9 9 L azione degli operatori gradino sugli stati lm > é determinata dall eq.(66) e trasforma stati normalizzati in stati normalizzati moltiplicandoli per una funzione di l, m data dall eq.(67). La funzione F + (rispettivamente F ) si annulla quando m ha il massimo (minimo) valore m = l (m = l). Data la base lm > possiamo calcolare la matrice ( (l + 1) (l + 1) ) rappresentativa degli operatori dalla relazione < lm A lm > = A m m dove A {L i, L ±, L } (79) Chiaramente la matrice di L é la matrice identitá in l + 1 dimensioni moltiplicata per ( h l(l + 1)); la matrice L 3 é una matrice diagonale (con determinante nullo per l intero e sempre a traccia nulla) mentre le matrici L 1, L, L ± sono matrici non diagonali, le prime due hermitiane. Per la completezza della base possiamo esprimere gli autostati di L j, (j = 1, ) in termini degli autostati di L 3 L j lk > j = hk lk > j lk > j = l m= l c (m) (j),k lm > (80) Tali stati sono tra di loro ortonormalizzati, se l m= l c (m) (j),k = 1 (81) Come esempio calcoliamo gli autostati di L x per l = 1 ( 1k > x ) in funzione degli autostati di L z ( 1m > z = 1m >). Per definizione di autostati L x 1k > x = hk 1k > x k {±, 0} (8) Usando l eq.(45) e la completezza degli autostati 1m > z = 1m > nel sottospazio di Hilbert corrispondente a l = 1, si ha L x 1k > x = hk m=±,0 c (m) (x),k 1m >= m c (m) ( L+ 1m > + L 1m >) (83) (x),k = m 1 c(m) (x),k h( m(m + 1) 1, m + 1 > + m(m 1) 1, m 1 >) Identificando i coefficienti dei vettori di base 1m > del primo e secondo rigo dell equazione precedente si trova: Da cui si ricava c (0 (x),k k c (1) (x),k = 1 c(0 k c (0) (x),k = 1 (c( 1 (x),k k c ( 1) (x),k = 1 c(0 (x),k (x),k (84) (1 + c (x),k ) c (1) (x),k = c 1 (x),k = 1 k c(0 (x),k (85) si determina dalla condizione di normalizzazione eq.(81).