Oscillatore Armonico in M.Q.

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1 Oscillatore Armonico in M.Q. Oscillatore Armonico Unidimensionale Risoluzione in coordinate cartesiane L oscillatore armonico unidimensionale è un sistema che ha la seguente Hamiltoniana: H = P M + Mω x Tale Hamilatoniana è indipendente dal tempo, l equazione di Shroedinger da risolvere è quindi quella indipendente dal tempo degli auto valori dell energia: Hψ = E n ψ L operatore H è quello corrispondente all Hamiltoniana precedente: Quindi l equazione è ħ H = ħ M x + Mω x M x ψ n + Mω x ψ n = E n ψ n Questa equazione è comunemente risolta nei testi base di Meccanica Quantistica. Per la risoluzione si osserva che asintoticamente Quindi si cerca una soluzione del tipo x ψ x ψ ψ n = C n P n (αx)e ħ x Dove C n è un coefficiente di normalizzazione, P n è un polinomio (soluzione in serie di potenze) ed α è una costante che ha le dimensioni dell inverso di una lunghezza per rendere adimensionale la variabile del polinomio αx. Ponendo L equazione che si ottiene per P n è allora Scrivendo il polinomio α = P (E) EP (E) + E P(E) = 0 ħω

2 P(E) = a k E k k=0 Otteniamo la relazione (k + )(k + )a k+ = k + E ħω a k Dal fatto ce il polinomio deve contenere un numero finito di termini, altrimenti la soluzione sarebbe non normalizzabile, otteniamo che deve esistere k intero tale che k + E ħω = 0 Da qui otteniamo che gli auto valori del sistema devono essere E n = ħω + n La relazione lega ogni coefficiente k-esimo a quello k--esimo, quindi a priori per ogni n ci potrebbero essere due serie indipendenti, una di coefficienti di potenze pari ed una di potenze dispari. Però per n pari terminerà solo la serie dei coefficienti di potenze pari, e per n dispari solo quella dispari, e quindi la soluzione può contenere solo potenze pari per n pari e solo potenze dispari per n dispari. Questo è coerente col fatto che poiché l Hamiltoniana commuta con la parità le soluzioni devono essere auto stati della parità, cioè avere parità definita. I primi coefficienti non nulli sono sempre necessariamente quello per k=0 nel casi pari e k= nel caso dispari, in quanto (k + )(k + ) non si annulla per nessun k 0. I polinomi soluzioni dell equazione sono i polinomi di Hermite H n Tali polinomi sono ortogonali rispetto al prodotto + de e E H n (E)H m (E) Come ci aspettavamo essendo auto vettori dell Hamiltoniana riferiti a differenti auto valori. I primi polinomi di Hermite sono: H 0 (x) = H (x) = x H (x) = 4x H 3 (x) = 8x 3 x H 4 (x) = 6x 4 48x + H 5 (x) = 3x 5 60x 3 + 0x

3 Dalla condizione di ortonormalità delle funzioni d onda otteniamo C n = π 4 n n! E otteniamo l espressione generale per la funzione d onda: ψ n = π 4 n n! Hn Elenchiamo qui le prime funzioni d onda in ordine di n crescente: ψ 4 (x) = e ψ (x) = e ψ 3 (x) = e x ħ ψ 0 (x) = e ψ (x) = e x ħ x ħ x ħ ( ħ ) 4 π 4 x ħ x( π 4 x e ħ )3 4 ( + 4x ħ 8π 4 ħ x )( ħ ) 4 x(x 3ħ)( π 4 ħ ħ )3 4 ( ħ ) 4 (4m ω x 4 + 3ħ( 4x + ħ)) 96π 4 ħ Oscillatore Armonico Bidimensionale L oscillatore armonico bimensionale è un sistema che ha la seguente Hamiltoniana: H = P M + Mω r = P x M + Mω x + P y M + Mω y Risoluzione in coordinate cartesiane Tale Hamilatoniana è indipendente dal tempo, l equazione di Shroedinger da risolvere è quindi quella indipendente dal tempo degli auto valori dell energia, ma stavolta serviranno auto valori per determinare lo stato del sistema: Hψ = E a,b ψ L operatore H è quello corrispondente all Hamiltoniana precedente: H = ħ M x ħ M y + Mω x + Mω y

4 Quindi l equazione è ħ M x ψ a,b ħ M y ψ a,b + Mω x ψ a,b + Mω y ψ a,b = E a,b ψ a,b Vediamo che l equazione ammette come soluzioni normalizzabili solo soluzioni a variabili separabili, cioè del tipo ψ a,b (x, y) = Ψ a (x)ψ b (y) Se dividiamo da entrambe la parti per la funzione d onda otteniamo Il termine Ψ a (x) M Ψ a (x) ħ Ψ b (y) M Ψ b (y) + Mω x + Mω y = E a,b ħ Ψ a (x) M Ψ a (x) + Mω x ħ Dipende al più da da x, mentre l altro termine Ψ b (y) M Ψ b (y) + Mω y ħ Dipende al più da y, e la loro somma è una costante. Allora i due termini devono essere entrambi indipendenti sia da x che da y, ed essere delle costanti. Possiamo allora scomporre l equazione nel seguente sistema: ħ M Ψ a (x) Ψ a (x) + Mω x + Mω x = E a Ψ b (y) M Ψ b (y) + Mω x + Mω y = E b E a + E b = E a,b ħ Le due equazioni differenziali sono uguali a quelle dell oscillatore armonico unidimensionale, quindi le soluzioni sono quelle già trovate. Otteniamo così che gli auto valori sono E a,b = ħω + a + ħω + b = ħω( + a + b) E le funzioni d onda sono in forma generale: ψ a,b (x, y) = π a a! b b! Ha x Hb y e ħ x e ħ y

5 Risoluzione in coordinate polari L operatore H va scritto ora in coordinate polari: H = ħ M r r r r + r θ + Mω r H = ħ M r r r ħ r M r θ + Mω r Si può riconoscere nel secondo termine il quadrato dell operatore L z : H = ħ M r r r r L z Mr + Mω r L z = i ħ θ In queste coordinate allora si possono trovare soluzioni che siano auto sati sia dell energia che di L z. L equazione è: M r r r r ψ n,m ħ M r θ ψ n,m + Mω r ψ n,m = E n,m ψ n,m ħ Ponendo ψ n,m (r, θ) = A n,m ϱ n,m (r)φ m (θ) dove A n è un opportuno coefficiente di normalizzazione, dividendo per la funzione d onda e moltiplicando per r troviamo Il termine M rϱ n,m (r) r r r ϱ n,m(r) ħ φ m (θ) M φ m (θ) + Mω r 4 = E n,m r ħ r M rϱ n,m (r) r r r ϱ n,m(r) + Mω r 4 E n,m r ħ r Dipende al più da da r, mentre l altro termine φ m (θ) M φ m (θ) ħ Dipende al più da θ, e la loro somma è una costante. Allora i due termini devono essere entrambi indipendenti sia da r che da θ, ed essere delle costanti. Ponendoli uguali a una costante osservo che il termine in θ da gli auto stati di L z :

6 φ m (θ) M φ m (θ) = L z M = ħ m M ħ Dove m sarà detto numero quantico azimutale. Le soluzioni sono φ m (θ) = e imθ Perché la funzione d onda sia periodica di π come deve essere poiché una rotazione di π lascia il sistema invariato, m deve essere un numero intero. L equazione per la componente radiale diventa: M r ħ r r r ϱ n,m(r) + ħ M m r ϱ n,m(r) + Mω r ϱ n,m (r) = E n,m ϱ n,m (r) Con lo stesso ragionamento fatto per il sistema unidimensionale separiamo la dipendenza asintotica: Con L equazione per P diventa: Scrivendo il polinomio Otteniamo la relazione ϱ n,m = P n,m (αr)e ħ r α = P (E) E P (E) + m P E = E n,m ħω P(E) EP (E) P(E) = a k E k k=0 (m k )a k = E n,m ħω + k a k Dal fatto che il polinomio deve contenere un numero finito di termini, altrimenti la soluzione sarebbe non normalizzabile, otteniamo che deve esistere k intero tale che E n,m ħω + k = 0 Quindi troviamo che gli auto valori sono, come ci attendevamo: E la relazione diventa E n,m = E n = ħω( + n)

7 (m k )a k = (n + k)a k Il primo termine non nullo di ogni polinomio sarà dato da k che annulla i coefficiente del membro sinistro, e quindi per k = m, mentre l ultimo sarà dato dal k tale che si annulli il coefficiente del membro destro, quindi per k = n. Il numero quantico m dovrà avere la stessa parità di n ed inoltre dovrà rispettare la disequazione m n Anche in questo caso il coefficiente k-esimo è legato al coefficiente k--esimo, e i polinomi sono contengono solo potenze pari o dispari, infatti l equazione per r è invariante per parità. Elenchiamo ora i primi polinomi: P 0,0 (r) = P, (r) = r P,0 (r) = r P, (r) = r P 3, (r) = r r3 P 3,3 (r) = r 3 P 4,0 (r) = r + r4 P 4, (r) = r 3 r4 P 4,4 (r) = r 4 P 5, (r) = r r r5 Ricordandoci che P 5,3 (r) = r 3 4 r5 P 5,5 (r) = r 5 P n, m = P n,m E le funzioni d onda sono allora ψ n,m (r, θ) = π P n,m (αr)e ħ r + dr P n,m (αr) e 0 e imθ ħ r r

8 Elenchiamo qui le prime funzioni d onda, in ordine di n crescente, e quindi di m crescente: r ψ 0,0 (r, θ) = e ħ ψ, (r, θ) = e ψ,0 (r, θ) = ψ 3, (r, θ) = ψ 4,0 (r, θ) = e r ħ π ħ r ħ e iθ r ħ π m ω mr ω ħ π ħ r ψ, (r, θ) = e ħ e iθ r ħ3 π m 3 ω 3 e r ħ e iθ π r mr3 ω ħ m ω r ψ 3,3 (r, θ) = e ħ e 3iθ r 3 e r ħ4 6π m 4 ω 4 + mr ω(mr ω 4ħ) ħ π ħ r ψ 4, (r, θ) = e ħ e iθ r ( mr ω + 3ħ) 6πh t ħ3 m 3 ω 3 r ψ 4,4 (r, θ) = e ħ e 4iθ r 4 ħ5 6π m 5 ω 5

9 Oscillatore Armonico Tridimensionale L oscillatore armonico trimensionale è un sistema che ha la seguente Hamiltoniana: H = P M + Mω r = P x M + Mω x + P y M + Mω y + P z M + Mω z Risoluzione in coordinate cartesiane Analogamente al caso in due dimensioni, si ha: E quindi avremo ψ a,b,c (x, y, z) = Ψ a (x)ψ b (y)ψ c (z) E a,b,c = ħω + a + ħω + b + ħω + c = ħω 3 + a + b + c E per le funzioni d onda ψ a,b,c (x, y, z) = 3 π 4 a a! b b! c c! Ha x Hb y Hc z e Risoluzione in coordinate cilindriche L operatore H va scritto ora in coordinate cilindriche: H = ħ M r r r r + r θ + z + Mω r + Mω z H = ħ M r r r ħ r M r θ ħ M z + Mω r + Mω z Ancora una volta si vede che le uniche soluzioni sono a variabili separabili: E quindi = ħ M r ψ n,m,c (r, θ, z) = A n,m,c ϱ n,m (r)φ m (θ)ψ c (z) r r r + r ħ M θ + z + Mω r = E n Ψ c (z) Ψ c (z) + Mω z = E c E n + E c = E n,m,c ħ x e ħ y e ħ z e E n,m,c = E n,c = ħω( + n) + ħω + c = ħω 3 + n + c ψ n,m,c (r, θ, z) = π P n,m (αr)e ħ r + dr P n,m (αr) e 0 ħ r r e imθ π 4 c c! Hc z e ħ z

10 Anche in questo caso abbiamo trovato delle soluzioni che sono contemporaneamente auto vettori sia di H che di L z. Risoluzione in coordinate polari sferiche L operatore H va scritto ora in coordinate sferiche: H = ħ M r r (r) + r sinθ sinθ θ θ + r sin θ H = ħ ħ (r) M r r M r sinθ θ Possiamo riconoscere al suo interno l operatore L Pongo Ottengo per χ n,l (r) l equazione Ponendo ħ ħ χ n,l (r) + M M Ottengo per P n,l (r) l equazione: ħ sinθ θ M χ n,l (r) ψ n,l,m (r, θ, φ) = B n,l Y r l,m (θ, φ) φ + Mω r r sin θ φ + Mω r l(l + ) χ n,l (r) + Mω r χ n,l (r) = E n,l,m χ n,l (r) r χ n,l (r) = P n,l (αr)e ħ r l(l + ) P(E) E P (E) = E n,l,m ħω P(E) EP (E) Scrivendo il polinomio (non includiamo il termine noto altrimenti la funzione d oda divergerebbe nell origine): Otteniamo la relazione P(E) = a k E k k= (l(l + ) k(k + ))a k+ = E n,l,m ħω + k a k Dal fatto che il polinomio deve contenere un numero finito di termini, altrimenti la soluzione sarebbe non normalizzabile, otteniamo che deve esistere k intero tale che E n,l,m ħω + k = 0 Quindi troviamo che gli auto valori sono, come ci attendevamo:

11 E n,l,m = E n = ħω 3 + n E la relazione diventa (l(l + ) k(k ))a k = (n + 3 k)a k Il primo termine non nullo di ogni polinomio sarà dato da k che annulla i coefficiente del membro sinistro, e quindi per k = l +, mentre l ultimo sarà dato dal k tale che si annulli il coefficiente del membro destro, quindi per k = n + Il numero quantico l dovrà avere la stessa parità di n ed inoltre dovrà quindi rispettare la disequazione l n Mentre m essendo il numero quantico azimutale delle armoniche sferiche dovrà rispettare m l Anche in questo caso il coefficiente k-esimo è legato al coefficiente k--esimo, e i polinomi sono contengono solo potenze pari o dispari, infatti l equazione per r è invariante per parità. Per scrivere le soluzioni è più conveniente usare i Scriviamo i primi Q n,l (E): Q(E) = P(E) E Q 0,0 (r) = Q, (r) = r Q,0 (r) = 3r Q, (r) = r Q 3, (r) = r r 3 Q 3,3 (r) = r 3 Q 4,0 (r) = 5r + 5 r4 Q 4, (r) = r 3 5 r4 Q 4,4 (r) = r 4 Q 5, (r) = r 5 3 r3 + r5 Q 5,3 (r) = r r5

12 Q 5,5 (r) = r 5 E le funzioni d onda sono allora ψ n,l,m (r, θ, φ) = + 0 Q n,l (αr)e ħ r dr Q n,l (αr) e ħ r r Y l,m (θ, φ) Elenchiamo qui le prime funzioni d onda, in ordine di n crescente, quindi di l crescente, e quindi di m crescente: ψ 0,0,0 (r, θ, φ) = π 3 4 e ħ r ( ħ )3 ψ,,0 [r, θ, φ], e ħ r rcos[θ] π 3 4 ( ħ )5 ψ,, [r, θ, φ], e ħ r e iφ rsin[θ] π 3 4 ( ħ )5 ψ,0,0 [r, θ, φ], e ħ r ( 3r ħ ) 03π 3 4 ( ħ )3 ψ,,0 [r, θ, φ], e ħ r r ( + 3Cos[θ] ) 3π ψ,, [r, θ, φ], e ħ r e iφ r Cos[θ]Sin[θ] π 3 4 ( ħ )7 ψ,, [r, θ, φ], e ħ r e iφ r Sin[θ] π 3 4 ( ħ )7 Anche in questo caso abbiamo trovato delle soluzioni che sono contemporaneamente auto vettori sia di H che di L e di L z.