Capitolo 5. La fisica quantistica in un quadro formale. 5.1 Funzione d onda e spazi di Hilbert

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1 Capitolo 5 La fisica quantistica in un quadro formale Non vi era evidenza che la topologia naturale degli spazi hilbertiani consentisse di render conto dell apparizione dell atto libero; non era neppure certo che al momento si potesse porre il problema, se non in termini estremamente metaforici. Michel Houellebecq Le particelle elementari L assiomatizzazione della fisica quantistica è una sfida che è stata lanciata da alcuni fra i più grandi ingegni del secolo Heisenberg, Bohm, von Neumann solo per citarne alcuni). Il fatto che esistano ancor oggi accese discussioni chiarisce che non esiste una soluzione che abbia raccolto consenso universale. Questo capitolo non ha ovviamente l ambizione di formalizzare un assiomatica, ma solo di inquadrare in un quadro formale più soddisfacente gli elementi per i quali un euristica è stata formulata nei capitoli precedenti. 5.1 Funzione d onda e spazi di Hilbert Nell interpretazione probabilistica di una funzione d onda Ψr, t) di una particella, il differenziale Ψr, t) 2 dv = Ψ r, t)ψr, t) dv 5.1)

2 102 CAPITOLO 5. LA FISICA QUANTISTICA IN UN QUADRO FORMALE rappresenta la probabilità di trovare la particella nel volume dv, intorno del punto r, al tempo t. La probabilità complessiva di trovare la particella da qualche parte nello spazio è uguale a 1, e dunque dev essere: dv Ψr, t) 2 = 1 5.2) dove l integrale si estende su tutto lo spazio. Per poter imporre la condizione di normalizzazione, ci riconduciamo allora allo studio dell insieme L 2 delle funzioni a quadrato sommabile, ossia l insieme delle funzioni per le quali l integrale 5.2) converge. L insieme L 2 ha la struttura di spazio vettoriale sul campo dei numeri complessi C; infatti: esiste un addizione + interna a L 2 tale che L 2,+) è un gruppo abeliano, ossia: è commutativa; è associativa; ammette un unico elemento neutro detto zero e indicato con 0); Ψ L 2 Φ L 2 tale che Ψ + Φ = 0; Φ è detto opposto di Ψ e indicato con Ψ; esiste una moltiplicazione degli elementi di L 2 per uno scalare, cioè un elemento del campo, tale che: è distributiva rispetto all addizione: c, c 1, c 2 C, Ψ, Ψ 1, Ψ 2 L 2 cψ 1 + Ψ 2 ) = cψ 1 + cψ 2 ; c 1 + c 2 )Ψ = c 1 Ψ + c 2 Ψ; vale la proprietà: c 1, c 2 C, Ψ L 2 c 1 c 2 Ψ) = c 1 c 2 )Ψ. Su L 2 definiamo il prodotto scalare Ψ, Φ) come Ψ, Φ) = dv Ψ r, t)φr, t) 5.3) il quale è tale che Ψ, Φ 1, Φ 2 L 2, λ 1, λ 2 C : V

3 5.2 Osservabili e operatori 103 Ψ, Φ) = Φ, Ψ) ; Ψ, λ 1 Φ 1 + λ 2 Φ 2 ) = λ 1 Ψ, Φ 1 ) + λ 2 Ψ, Φ 2 ). e induce su L 2 la norma Ψ 2 = Ψ, Ψ) 0. Uno spazio vettoriale normato è detto spazio di Hilbert; allora possiamo dire che L 2 è uno spazio di Hilbert su C con la norma quadrata Ψ 2 ). Osserviamo che vale la disuguaglianza triangolare di Schwarz: Ψ + Φ 2 Ψ 2 + Φ Osservabili e operatori Un operatore lineare ˆM su L 2 è un ente matematico che associa a una funzione Ψ di L 2 la funzione Ψ tramite una corrispondenza lineare ˆM : Ψ = ˆMΨ tale che Ψ 1, Ψ 2 L 2, λ 1, λ 2 C ˆMλ 1 Ψ 1 +λ 2 Ψ 2 ) = λ 1 ˆMΨ1 +λ 2 ˆMΨ2. Vogliamo ora rappresentare gli osservabili tramite operatori, cosicché come ad uno stato fisico corrisponde una funzione d onda Ψr, t), così all operazione di misura corrisponda un operatore lineare ˆM. Richiediamo che tale operatore lineare sia hermitiano o autoaggiunto) Operatori hermitiani Si definisce operatore aggiunto di ˆM l operatore ˆM + tale che Ψ, Φ L 2 ˆM + Ψ, Φ) = Ψ, ˆMΦ) 5.4) Un operatore lineare ˆM si dice autoaggiunto o hermitiano se ˆM + = ˆM, cioè se Ψ, Φ L 2 ˆMΨ, Φ) = Ψ, ˆMΦ) 5.5) ovvero dv Ψ ˆMΦ) = dv ˆMΨ) Φ 5.6) Si definiscono anche la somma e il prodotto di operatori, nel modo seguente: Somma: Ĉ = Â + ˆB) è tale che Ψ L 2 ĈΨ = Â + ˆB)Ψ = ÂΨ + ˆBΨ 5.7)

4 104 CAPITOLO 5. LA FISICA QUANTISTICA IN UN QUADRO FORMALE È evidente dalla definizione di operatore aggiunto che la somma di due operatori hermitiani è ancora un operatore hermitiano. Prodotto: Ĉ =  ˆB) è tale che Ψ L 2 ĈΨ =  ˆB)Ψ =  ˆBΨ) 5.8) Da questa definizione segue che l operatore aggiunto del prodotto di due operatori  ˆB) + è ˆB +  +. Infatti: Ψ,  ˆB)Φ) = V dv Ψ Â ˆBΦ)) = dv Â+ Ψ) ˆBΦ) = V = dv ˆB + Â+ Ψ)) Φ = ˆB +  + )Ψ, Φ) V Osserviamo che, in generale,  ˆB) ˆBÂ). Per esempio, poiché ˆp x xψ) x ˆp x Ψ) i Ψ) x i Ψ ) Vediamo due esempi di operatori autoaggiunti. Esempio 1. L operatore posizione r, corrispondendo a una terna di numeri reali, è hermitiano. Esempio 2. L operatore quantità di moto ˆp = i, è hermitiano. Dato che ˆp = ˆp x, 0, 0) + 0, ˆp y, 0) + 0, 0, ˆp z ), limitiamoci a dimostrare che ˆp x per esempio) è autoaggiunto: poiché [Ψ Φ + sommabile. + Ψ, ˆp x Φ) = dx Ψ x) i Φx) ) = + ) [Ψ Φ + dx i Φx) Ψ = + dx i Ψx) ) Φx) = ˆp x Ψ, Φ) = 0 dal momento che le due funzioni sono a quadrato

5 5.2 Osservabili e operatori Relazioni di commutazione Si definisce commutatore di due operatori  e ˆB l operatore [Â, ˆB talora più brevemente indicato come [Â, ˆB) mediante la relazione [Â, ˆB =  ˆB ˆBÂ), e si dice che due operatori commutano quando il loro commutatore è l operatore nullo. Il commutatore di due operatori è hermitiano solo quando è l operatore nullo. Se i due operatori  e ˆB sono autoaggiunti, si ha infatti: [Â, ˆB + =  ˆB ˆBÂ)+ = ˆB +  + Â+ ˆB+ = ˆB  ˆB = [Â, ˆB Analogamente, si definisce anticommutatore di due operatori  e ˆB l operatore [Â, ˆB + come [Â, ˆB + =  ˆB + ˆBÂ), che è sempre autoaggiunto. Se i due operatori  e ˆB sono autoaggiunti, si ha infatti: [Â, ˆB + + =  ˆB + ˆBÂ)+ = ˆB +  + + Â+ ˆB+ = ˆB +  ˆB = [Â, ˆB + Osserviamo che  ˆB = 1 2 [Â, ˆB [Â, ˆB e dunque che il prodotto di due operatori è hermitiano se e solo se gli operatori commutano. In particolare, la generica potenza Ân di un operatore è un operatore autoaggiunto. p2 2 Esempio 3. L operatore hamiltoniano Ĥr) = + Ur) = + 2m 2m Ur) è hermitiano, perché lo sono la somma e le potenze di operatori hermitiani L operatore momento angolare In analogia con la meccanica classica, l operatore momento angolare è definito dalla ˆL = ˆr ˆp. Si osserva che l operatore è hermitiano. Il quadrato dell operatore è anch esso hermitiano. ˆL 2 = ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL 2 z

6 106 CAPITOLO 5. LA FISICA QUANTISTICA IN UN QUADRO FORMALE Valgono le seguenti proprietà di commutazione: [ˆLx, ˆL y = i ˆL z 5.9) [ˆLy, ˆL z = i ˆL x 5.10) [ˆLz, ˆL x = i ˆL y 5.11) [ˆL2, ˆL x = [ˆL 2, ˆL y = [ˆL 2, ˆL z = ) e quindi è impossibile misurare contemporaneamente con precisione due componenti diverse del momento angolare, mentre è possibile misurare contemporaneamente con arbitraria precisione il quadrato del momento angolare e la proiezione su un asse coordinato. L espressione del quadrato del momento angolare in coordinate polari è ˆL 2 = 1 sin θ 5.3 Notazione di Dirac sin θ ) + 1 θ θ sin 2 θ 2 φ ) Nella notazione di Dirac per gli spazi vettoriali, un vettore dello spazio è identificato dal simbolo Φ >, ed è chiamato ket, mentre il simbolo < Ψ è chiamato bra. La loro giustapposizione forma il bracket < Ψ Φ >, che rappresenta il prodotto scalare dei due vettori: < Ψ Φ > = Ψ, Φ) = dv Ψ Φ. In questa notazione, ogni operatore trasforma nel ket Â Φ >, e dunque < Ψ Â Φ > =  agisce su un ket Φ >, e lo dv Ψ ÂΦ). Il duale di Â Φ > è [ Â Φ > = <  Φ.

7 5.4 Autovalori e autovettori di operatori hermitiani Autovalori e autovettori di operatori hermitiani Valore d aspettazione Allo scopo di rappresentare le funzioni d onda, l insieme L 2 risulta, da un punto di vista fisico, troppo grande: le funzioni d onda devono possedere alcune proprietà di regolarità, in relazione al significato attribuito a Ψr, t) 2. Possiamo validamente ritenere che le funzioni Ψr, t) adatte a definire gli stati fisici siano definite ovunque, continue, e differenziabili infinite volte per esempio, lo stato la cui funzione d onda fosse discontinuo in un dato punto dello spazio non ha significato fisico, dato che nessun esperimento ci permette di avere accesso a fenomeni reali su scala molto piccola, dell ordine di m). Possiamo anche ridurci a considerare le funzioni d onda che hanno un dominio limitato per avere la certezza che una particella possa essere trovata dentro una regione finita dello spazio, per esempio dentro un laboratorio). Senza dare una lista precisa e completa di queste condizioni supplementari, chiamiamo H l insieme contenuto in L 2 ) delle funzioni d onda adatte a descrivere le evidenze fisiche. Formuliamo a questo punto due postulati. Lo stato di una particella ad un tempo t è rappresentato da una funzione d onda un ket) Ψ t r) > H. L operazione di misura è rappresentata dall applicazione di un operatore hermitiano  ad un ket:â Ψtr) > e il valore di aspettazione valore medio o valore atteso) di una operazione di misura è A = < Ψ t r) Â Ψ t r) >. Si dice che l operatore  è in sandwich nel bracket < Ψ tr) Â Ψ tr) > = V dv Ψ tr) ÂΨ t r)). Osserviamo che il formalismo che abbiamo scelto è tale che i risultati delle misure sono numeri reali; infatti:

8 108 CAPITOLO 5. LA FISICA QUANTISTICA IN UN QUADRO FORMALE Lemma 1 Ψ, Φ H < Ψ Â Φ > = < Φ Â + Ψ > Dimostrazione. < Ψ Â Φ > = < Ψ ÂΦ > = < ÂΦ Ψ > = = < Φ Â + Ψ > = < Φ Â + Ψ > Teorema 1 Il valor medio A di un osservabile  è reale. Dimostrazione. Grazie al Lemma 1 e all hermiticità di  A = < Ψ Â Ψ > = < Ψ Â + Ψ > = < Ψ Â Ψ > = A Si definisce lo scarto spread)  dell operatore  la differenza  =  A; esso indica quanto una singola misura si discosti dal valore di aspettazione. Evidentemente  è hermitiano quando lo è Â, e in quel caso lo è anche Â)2. Osserviamo che Â)2 = < Ψ Â)2 Ψ > 0 forma semidefinita positiva). Siamo ora interessati a cercare quegli stati Ψ A per i quali lo scarto si annulla ove A è una costante), cioè tali che: < Ψ A Â Ψ A > = 0 Dato che ipotizziamo che < Ψ Ψ > = 1,  A) Ψ > = 0 < Ψ Â A) Ψ > = 0 Â Ψ > = A Ψ > cioè vogliamo risolvere l equazione agli autovalori con A una costante reale!). Postuliamo allora: Â Ψ > = A Ψ > che i possibili risultati di una misura siano gli autovalori dell operatore che la rappresenta cioè che Â Ψ > = A Ψ >), e

9 5.5 Sviluppo in serie di un operatore 109 che immediatamente dopo la misura che ha dato come risultato l autovalore A il sistema sia in uno stato corrispondente a quell autovalore. Sia A i, i N l insieme degli autovalori dell operatore Â. Teorema 2 Le autofunzioni relative ad autovalori diversi sono ortogonali. Allora Dimostrazione. Siano Ψ m, Ψ n, A m, A n tali che n m A m A n e Â Ψ m > = A m Ψ m > Â Ψ n > = A n Ψ n > A n < Ψ n Ψ m > = < Ψ n Â Ψ m > = A m < Ψ n Ψ m > 0 = A n A m ) < Ψ n Ψ m > < Ψ n Ψ m > = 0 m n Con la opportuna normalizzazione, si ottiene che < Ψ n Ψ m > = δ mn dove δ mn è la funzione delta di Kronecker, che vale 1 se m = n e 0 se m n. Naturalmente alcuni autovalori possono essere degeneri, e corrispondere a più autovettori indipendenti. 5.5 Sviluppo in serie di un operatore Si dimostra che le autofunzioni di un operatore hermitiano costituiscono una base completa per lo spazio di Hilbert delle possibili funzioni d onda a un tempo t. A partire da una base completa, è sempre possibile costruire una base ortonormale dello spazio metodo di Gram-Schmidt), sicché I = m Ψ m > < Ψ m. 5.14) relazione di completezza). Questo significa che una qualunque funzione d onda può essere rappresentata in questa base ortonormale da un unica combinazione lineare degli elementi della base: Ψ > = m Ψ m > < Ψ m Ψ > = m c m Ψ m >

10 110 CAPITOLO 5. LA FISICA QUANTISTICA IN UN QUADRO FORMALE i < Ψ m Ψ > = c m sono numeri). La normalizzazione del modulo quadro della Ψ > a 1 equivale a una relazione sulle c m : 1 =< Ψ Ψ >= m < Ψ Ψ m > < Ψ m Ψ >= m c m 2, e la probabilità di ottenere da una misura l autovalore a m vale P m = < Ψ m Ψ > 2 = c m 2. Inoltre, esistono coefficienti a mn = < Ψ m Â Ψ n > tali che: Â Ψ > = mn Ψ m > < Ψ m Â Ψ n > < Ψ n Ψ > = = m,n a mn c n Ψ m >. [a mn è una matrice quadrata infinita), che rappresenta l operatore  sullo spazio di Hilbert L 2 in forma matriciale; le c n sono una n-tupla di componenti del vettore che rappresenta la Ψ >. 5.6 Misura simultanea di osservabili diverse Siano  e ˆB due operatori hermitiani; definiamo resto di commutazione di  e ˆB l operatore Ĉ tale che [Â, ˆB = iĉ Osserviamo che Ĉ è hermitiano: Ĉ = 1 i [Â, ˆB Ĉ+ = 1 i [Â, ˆB + = 1 i [Â, ˆB ) = = 1 i [Â, ˆB = Ĉ Si ha anche che [ Â, ˆB = [ A), ˆB B) =  A) ˆB B) ˆB ) B) A) = =  ˆB A ˆB B + AB) ˆB B A ˆB ) + AB) =  ˆB ˆBÂ) = = [Â, ˆB = iĉ

11 5.6 Misura simultanea di osservabili diverse 111 Sia Iα) = 2 dv α Â i ˆB)Ψ con un generico α R; Iα) 0 α R. Allora ) ) Iα) = dv α Â i ˆB)Ψ α Â i ˆB)Ψ = ) = dv Ψ α Â + i ˆB)α Â i ˆB) Ψ = = dv Ψ α 2 Â)2 + iα ˆB Â Â ˆB) + ˆB) ) ) 2 Ψ = = dv Ψ α 2 Â)2 + αĉ + ˆB) ) ) 2 Ψ 0 In più, 0 Iα) = dv Ψ α 2 Â)2 + αĉ + ˆB) ) ) 2 Ψ = = α 2 < Ψ Â)2 Ψ > + < Ψ ˆB) 2 Ψ > + α < Ψ [ Ĉ Ψ > = = A) 2 α 2 + α C + B) 2 = A) 2 [ = A) 2 α 2 + α C A) + C 2 + B) 2 C2 2 4 A) 4 4 A) = 2 2 C = A) [α B) 2 C2 α R 2 A) 2 4 A) 2 B) 2 C2 4 A) 0 2 A)2 B) 2 C 2 4. Questo significa che se due osservabili non commutano tra loro, non possono essere misurate contemporaneamente con precisione arbitraria. Esempio. Posizione e quantità di moto. [ [ ˆp xˆx = i, x = i ) = xi ) + 1 i ) x x i i ) = ) = i

12 112 CAPITOLO 5. LA FISICA QUANTISTICA IN UN QUADRO FORMALE dunque che può scriversi come p x ) 2 x) p x x 2 principio di indeterminazione di Heisenberg per posizione e impulso). 5.7 Evoluzione temporale dei valori medi Si postula che L evoluzione temporale di uno stato sia regolata dall equazione di Schrödinger i Ψ >= Ĥ Ψ >, t con Ĥ definito come nel capitolo precedente, e con le definizioni di momento e posizione del capitolo precedente. Consideriamo un operatore hermitiano  non esplicitamente dipendente dal tempo. Il valor medio della quantità A dipenderà in generale dal tempo tramite la Ā t = Ψ t < Ψ Â Ψ >= t Â Ψ + Ψ Â Ψ t e, poiché dall equazione di Schrödinger i Ψ/ t = ĤΨ e Ĥ è hermitiano, dā i dt = ĤΨ Â Ψ + Ψ Â i ĤΨ = i = ΨĤ Â Ψ Ψ Â i ĤΨ = = i ) < Ψ ĤÂ Ψ > < Ψ ÂĤ Ψ > = i < Ψ [Ĥ, Â Ψ > Quindi dā dt = i [Ĥ, Â.

13 5.8 Simmetrie Commutazione con l Hamiltoniano e invarianza Come corollario del fatto che la derivata del valore di aspettazione di un osservabile rispetto al tempo è il valore di aspettazione del commutatore dell Hamiltoniano con l operatore associato all osservabile si ha il fatto che se un operatore commuta con l hamiltoniano il valore di aspettazione dell osservabile associata è una costante del moto. Questo fatto mostra un interessante analogia con il teorema di Nöther in meccanica classica. In particolare l Hamiltoniano commuta con se stesso; quindi, se non è dipendente esplicitamente dal tempo, l osservabile ad esso associata l energia) si conserva. Se U/ = 0 l operatore ˆp x commuta con Ĥ; proprietà analoghe valgono per ˆp y e ˆp z. In assenza di forze esterne, la quantità di moto si conserva. In presenza di forze centrali, il momento angolare che in coordinate polari sferiche è funzione soltanto di θ e φ) commuta con l hamiltoniano: dunque il momento angolare si conserva. 5.8 Simmetrie Se l hamiltoniano è invariante per l applicazione di un operatore di simmetria, esso commuta con l operatore stesso quindi è definibile una opportuna costante del moto: ritroviamo il teorema di Nöther). Ciò ha un applicazione particolare nel caso delle cosiddette simmetrie discrete, che cioè hanno un numero finito di autovalori. Consideriamo ad esempio l operatore parità Π che agisce sulla base r mediante la trasformazione Π r >= r > in pratica scambia le coordinate r con r). L operatore è tale che Π 2 = I e dunque ammette autovalori ±1. Un hamiltoniano invariante per riflessione conserva la parità. Analoghe considerazioni possono farsi per operatori come la coniugazione di carica C che scambia le cariche delle particelle.

14 114 CAPITOLO 5. LA FISICA QUANTISTICA IN UN QUADRO FORMALE 5.9 Rappresentazione Cambiare rappresentazione significa cambiare base. Teorema 3 Se due operatori  e ˆB commutano, e se ψ > è un autovettore di Â, allora ˆB ψ > è anche autovettore di  con lo stesso autovalore. Si ha infatti  ψ >= A ψ > ˆB ψ >= A ˆB ψ > e dunque, sfruttando la commutazione  ˆB ψ >) = A ˆB ψ >) Ma allora ˆB ψ >) è proporzionale a ψ > nel caso non degenere, o comunque appartiene allo stesso sottospazio nel caso degenere: dunque se due osservabili commutano si può costruire una base ortonormale per lo spazio H a partire da autovettori comuni ai due operatori. In generale due operatori non commutano: dunque un cambiamento di rappresentazione costituisce un cambiamento di base. Questo cambiamento può essere realizzato utilizzando le relazioni di completezza 5.14). Due rappresentazioni particolarmente utilizzate sono quelle sulla base r degli autovettori della posizione e sulla base p degli autovettori del momento Insiemi completi di osservabili compatibili Per definizione un insieme di osservabili costituisce un insieme completo di osservabili compatibili se: Tutte le osservabili commutano a coppie; Specificare gli autovalori di tutte le osservabili determina un unico autovettore a meno di fattori moltiplicativi): l insieme di osservabili rimuove la degenerazione.

15 5.9 Rappresentazione 115 Problemi 1. Per l operatore momento angolare, calcolare i seguenti commutatori: [ ˆL2, ˆL x [ ˆLx, ˆL y [ ˆLx, ˆL z 2. Per una particella di massa m sottoposta a una forza gravitazionale, tale che Ĥ = ˆp 2 2m γ mm r con γ e M costanti, dimostrare che il momento angolare rispetto all origine si conserva.