Indice. Parte I Elementi di teoria degli operatori lineari

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1 1 Introduzione Sul libro Scopi e struttura del libro Prerequisiti Convenzioni generali valide per tutto il libro Sulla Meccanica Quantistica La MQ come teoria matematica La MQ nel panorama della Fisica attuale Parte I Elementi di teoria degli operatori lineari 2 Spazi normati e spazi di Banach, esempi ed applicazioni Richiami di topologia generale Spazi ed algebre normate e di Banach Spazi normati e loro proprietà topologiche elementari Spazi di Banach Un esempio: lo spazio di Banach C(K;K n ) ed il teorema di Arzelà-Ascoli Algebre normate, algebre di Banach ed esempi vari Operatori, spazi di operatori, norme di operatori I teoremi fondamentali negli spazi di Banach Il teorema di Hahn-Banach e le sue conseguenze elementari Il teorema di Banach-Steinhaus o principio della limitatezza uniforme Topologie deboli. Completezza -debole di X Breve digressione: Spazi metrici, spazi localmente convessi metrizzabili e spazi di Fréchet Il teorema dell applicazione aperta e dell operatore inverso continuo dal Teorema di Baire Teorema del grafico chiuso

2 XII Indice 2.5 Proiettori Norme equivalenti Il teorema del punto fisso ed applicazioni Il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli Applicazione del teorema del punto fisso: il teorema di esistenza ed unicità locale per sistemi di equazioni differenziali Esercizi Spazi di Hilbert ed operatori limitati Nozioni elementari, teorema di Riesz e riflessività Spazi con prodotto scalare e spazi di Hilbert Il teorema di Riesz e le sue conseguenze Basi hilbertiane Nozione di aggiunto hermitiano e applicazioni L operazione di coniugazione hermitiana o aggiunzione algebre e C -algebre Operatori normali, autoaggiunti, isometrici, unitari, operatori positivi Proiettori ortogonali Radici quadrate di operatori positivi e decomposizione polare di operatori limitati La trasformata di Fourier-Plancherel Esercizi Proprietà elementari degli operatori compatti, di Hilbert-Schmidt e di classe traccia Operatori compatti in spazi normati e di Banach Compatti in spazi normati (infinitodimensionali) Operatori compatti in spazi normati Operatori compatti in spazi di Hilbert Operatori di Hilbert-Schmidt Operatori di classe traccia (o nucleari) Introduzione alla teoria di Fredholm delle equazioni integrali Esercizi Operatori non limitati con domini densi in spazi di Hilbert Operatori non limitati con dominio non massimale Operatori non limitati con dominio non massimale in spazi normati Operatori chiusi e chiudibili Il caso degli spazi di Hilbert: struttura di H H e operatore τ Proprietà generali dell operatore aggiunto hermitiano Operatori hermitiani, simmetrici, autoaggiunti ed essenzialmente autoaggiunti

3 XIII 5.3 Alcune importanti applicazioni: operatore posizione e operatore impulso L operatore posizione L operatore impulso Criteri di esistenza ed unicità per le estensioni autoaggiunte La trasformata di Cayley e gli indici di difetto Il Criterio di Von Neumann Il criterio di Nelson Esercizi Parte II Teoria Spettrale e Formalismo della Meccanica Quantistica 6 Brevi cenni di fenomenologia dei sistemi quantistici e di Meccanica Ondulatoria Generalità sui sistemi quantistici Alcune proprietà particellari delle onde elettromagnetiche Effetto Fotoelettrico Effetto Compton Cenni di Meccanica ondulatoria Onde di de Broglie Funzione d onda di Schrödinger e interpretazione probabilistica di Born Principio di indeterminazione di Heisenberg Le grandezze compatibili ed incompatibili I primi 4 assiomi della MQ: proposizioni, stati quantistici e osservabili Le idee che stanno alla base dell interpretazione standard della fenomenologia quantistica Stati classici come misure di probabilità sulla σ-algebra delle proposizioni elementari Misure di probabilità, misure di Borel Stati come misure Proposizioni e insiemi e stati come misure su di esse Interpretazione insiemistica dei connettivi logici Proposizioni infinite e grandezze fisiche Il reticolo distributivo, limitato, ortocomplementato e σ-completo delle proposizioni elementari Le proposizioni relative a sistemi quantistici come insiemi di proiettori ortogonali Reticoli di proiettori ortogonali su spazi di Hilbert Le proposizioni e gli stati relativi a sistemi quantistici Assiomi A1 e A2: proposizioni, stati di sistemi quantistici ed il teorema di Gleason Stati puri, stati misti, ampiezze di transizione

4 XIV Indice Assioma A3: stati successivi ai processi di misura e preparazione degli stati Regole di superselezione e settori coerenti Le osservabili come Misure a Valori di Proiezione su R Assioma A4: la nozione di osservabile Operatori autoaggiunti associati ad osservabili: motivazioni fisiche ed esempi elementari Misure di probabilità associate a coppie stato - osservabile Esercizi Teoria Spettrale I: generalità ed operatori normali di B(H) in spazi di Hilbert Spettro e risolvente Nozioni fondamentali Algebre di Banach: Teorema di Gelfand-Mazur, raggio spettrale, formula di Gelfand Spettri di operatori autoaggiunti, unitari e normali in spazi di Hilbert omomorfismi di C -algebre di funzioni indotti da operatori limitati Misure a valori di proiezione (PVM) Misure a valori di proiezione (PVM) dette anche misure spettrali Integrale di funzioni misurabili limitate rispetto ad una PVM Proprietà degli operatori ottenuti integrando funzioni limitate rispetto a PVM Teorema spettrale per operatori normali in B(H) Teorema di decomposizione spettrale per operatori limitati normali Teorema di rappresentazione spettrale per operatori normali in B(H) e teorema di Fuglede Esercizi Teoria Spettrale II: operatori non limitati in spazi di Hilbert ed applicazioni Teorema spettrale per operatori autoaggiunti non limitati Integrazione di funzioni non limitate rispetto a misure spettrali Teorema di decomposizione spettrale per operatori autoaggiunti non limitati Un esempio a spettro puntuale: l hamiltoniano dell oscillatore armonico Un esempio a spettro continuo: gli operatori posizione ed impulso Teorema di rappresentazione spettrale per operatori autoaggiunti non limitati e misure congiunte

5 XV 9.2 Esponenziale di operatori non limitati: vettori analitici Gruppi unitari ad un parametro fortemente continui Gruppi unitari ad un parametro fortemente continui, teorema di von Neumann Gruppi unitari ad un parametro generati da operatori autoaggiunti e Teorema di Stone Commutatività di operatori e misure spettrali Prodotto tensoriale hilbertiano Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert Prodotto tensoriale di operatori (generalmente non limitati) e loro proprietà spettrali Un esempio: il momento angolare orbitale Teorema di decomposizione polare per operatori non limitati Proprietà degli operatori A A, radici quadrate di operatori autoaggiunti positivi non limitati Teorema di decomposizione polare per operatori chiusi e densamente definiti I teoremi di Kato-Rellich e di Kato Il teorema di Kato-Rellich Un esempio: l operatore +V ed il teorema di Kato Esercizi La formulazione matematica della Meccanica Quantistica non relativistica Riepilogo e commenti sugli assiomi A1, A2, A3, A4 della MQ Assioma A5: sistemi elementari non relativistici le Relazioni di Commutazione Canonica (CCR) Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg come teorema Le relazioni di Weyl, il teorema di Stone-von Neumann ed il teorema di Mackey Famiglie irriducibili di operatori e lemma di Schur Le relazioni di Weyl dalle CCR Il teorema di Stone-von Neumann ed il teorema di Mackey La -algebra di Weyl Dimostrazione dei teoremi di Stone-von Neumann e di Mackey Estensione del principio di Heisenberg agli stati misti Commenti finali sul teorema di Stone-von Neumann: il gruppo di Heisenberg Il principio di corrispondenza di Dirac Esercizi

6 XVI Indice 11 Introduzione alle Simmetrie Quantistiche Nozione e caratterizzazione delle simmetrie quantistiche Qualche esempio Simmetrie in presenza di regole di superselezione Simmetrie nel senso di Kadison Simmetrie nel senso di Wigner Teoremi di Wigner e di Kadison Azione duale delle simmetrie sulle osservabili Introduzione ai gruppi di simmetria Rappresentazioni proiettive, unitarie proiettive Unitarietà o antiunitarietà delle rappresentazioni unitarie proiettive Estensioni centrali e gruppo quantistico associato ad un gruppo di simmetria Gruppi di simmetria topologici Rappresentazioni unitarie proiettive fortemente continue Il caso notevole del gruppo topologico R Richiami sui gruppi ed algebre di Lie Gruppi di simmetria di Lie, teoremi di Bargmann, Gårding, Nelson, FS Un esempio: il gruppo di simmetria SO(3) e lo spin Il gruppo di Galileo e le sue rappresentazioni unitarie proiettive La regola di Bargmann di superselezione della massa Esercizi Alcuni argomenti più avanzati di Meccanica Quantistica La dinamica quantistica e le sue simmetrie Assioma A6: l evoluzione temporale Simmetrie dinamiche L equazione di Schrödinger e gli stati stazionari L azione del gruppo di Galileo in rappresentazione posizione L evolutore temporale in assenza di omogeneità temporale e la serie di Dyson Inversione del tempo antiunitaria L osservabile tempo ed il teorema di Pauli. Un accenno alle POVM Relazione tra simmetrie dinamiche e costanti del moto La rappresentazione di Heinsenberg e le costanti del moto Un accenno al teorema di Ehrenfest ed ai problemi matematici ad esso connessi Costanti del moto associate a gruppi di Lie di simmetria ed il caso del gruppo di Galileo Sistemi composti e loro proprietà Assioma A7: sistemi composti

7 XVII Stati entangled ed il cosiddetto paradosso EPR Impossibilità di trasmettere informazione tramite le correlazioni EPR Assioma A8: sistemi di sottosistemi identici Bosoni e Fermioni Esercizi A Relazioni d ordine, topologia, gruppi A.1 Relazioni d ordine, insiemi parzialmente ordinati, lemma di Zorn A.2 Richiami di topologia generale elementare A.3 Richiami di teoria dei gruppi B Elementi di geometria differenziale B.1 Varietà differenziabili, varietà differenziabili prodotto, funzioni differenziabili B.2 Spazio tangente e cotangente. Campi vettoriali covarianti e controvarianti B.3 Differenziali, curve e vettori tangenti B.4 Pushforward e pullback C Teoria della misura C.1 Misure positive σ-additive C.2 Misura di Lebesgue su R n C.3 Misura prodotto C.4 Derivazione sotto il segno di integrale Bibliografia Indice analitico