Geometria BAER I canale Foglio esercizi 2

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1 Geometria BAER I canale Foglio esercizi Esercizio. ( ) Data la matrice, determinare tutte le matrici X Mat( ) tali che AX = 0 e tutte le matrici Y Mat( ) tali che Y 0. ( ) ( ) ( ) x y x + z y + w Soluzione: a) Moltiplicando =. Ponendo z = t, w = s, le matrici z w x + z y + w ( ) t s cercate sono della forma con t, s R. t s ( ) x + y x + y b) Come prima, facendo la moltiplicazione per una matrice di incognite si ottiene la matrice. z + w z + w ( ) t t Ponendo y = t, w = s otteniamo. s s Esercizio. Per ognuna delle seguenti matrici determinare, quando esiste, la sua inversa: ( ) ( ) ( ) A =, A =, A =. a Soluzione: La matrice A non è invertibile, A = 6 ( ) 6 A = ( ) 0 - a Esercizio. Eseguire i seguenti prodotti di matrici (a) ( ) (b) (c) Soluzione:. ( ) 0 0

2 Esercizio 4. Date le matrici (a) (b) ( 0 ) B = ( ) 0 0 determinare (se esistono) tutte le matrici X che soddisfino l equazione matriciale AX = B. ( ) 0 B = ( ) determinare (se esistono) tutte le matrici X che soddisfino l equazione matriciale AX = B. Soluzione: Nel primo caso infinite, dipendenti da due parametri, della forma s t. Nel secondo caso 0 A è invertibile e l unica soluzione è A B. Esercizio 5. Date le matrici : verificare (a) AB BA ( ), B = ( ) 0, 0 (b) (A + B) = (A + B)(A + B) A + AB + B. Qual è la formula corretta per il quadrato di un binomio? ( ) ( ) 5 Soluzione: AB =, B. 4 ( ) 9 (A + B) = A B + AB = A + AB + BA + B. ( 6 7 Esercizio 6. Calcolare il determinante e l inversa (quando esiste) della matrice ( ) cos θ sin θ R θ =, θ [0, π] sin θ cos θ ). Siccome le matrici non commutano (A + B) = Soluzione: Il determinante ( é cos θ ) + sin θ = θ [0, π]. Quindi la matrice è sempre invertibile con inversa R cos θ sin θ θ =. Usando le identità sin( θ) = sin θ e cos( θ) = cos θ si vede sin θ cos θ R θ = R θ. Esercizio 7. x + y + z = È dato il sistema di tre equazioni in tre incognite S : x + y + 6z =. x + 6y + z = 5 a) Usare il teorema di Cramer per concludere che S ammette un unica soluzione. b) Trovare l inversa della matrice dei coefficienti e la soluzione di S.

3 Soluzione: Il determinante della matrice dei coefficienti è, quindi il sistema è Crameriano. soluzione è data da 8 7 = L unica Esercizio 8. x + y + z = Si consideri il sistema lineare S : x + y + 4z = 5x + 8y + 9z = 5 (a) Si verifichi che il sistema è Crameriano. (b) Si inverta la matrice dei coefficienti e si scriva l unica soluzione del sistema. Soluzione: a) Il determinante della matrice dei coefficienti è /. Esercizio 9. a) Trovare una matrice quadrata, non nulla, di ordine, tale che A = O (Suggerimento: non provate formalmente ad impostare un sistema nei coefficienti e a risolverlo; provate prima per tentativi pensando anche al caso di ordine ) b) Dimostrare che, se A = O, allora det 0. c) Trovare una matrice A di ordine, diversa da O e da I, tale che A = A. d) Se A = A, quali valori può assumere det A? Soluzione: 0 a) Ad esempio 0 0 o anche. b) Per la formula di Binet 0 = det A = (det A)(det A) c) Ad esempio 0 0, oppure 0 0 d) Qui la formula di Binet implica che il determinante di A soddisfi x = x Esercizio 0. Siano A, B matrici quadrate invertibili. Si dimostri che AB è invertibile e si scriva l inversa. Soluzione: Poichè esistono le matrici A e B possiamo considerare il prodotto B A. moltiplicando ABB A = AIA = AA = I. Analogamente moltiplicando a sinistra. Si noti che a causa della non commutatività del prodotto l inversa non è A B. Esercizio. Si usi l algoritmo di Gauss per calcolare il determinante della matrice 0 4 0

4 Soluzione: 54 Esercizio. Si usi l algoritmo di Gauss sulla matrice a blocchi come visto in classe per trovare l inversa (se esiste) della matrice di ordine tre a sinistra. Verificare il risultato calcolando l inversa anche utilizzando la formula. Soluzione: Una (possible) successione di operazioni elementari dà come risultato Esercizio. x + y + z = Si consideri il sistema lineare S : x + y + 4z = 5x + 8y + 9z = 5 (a) Si verifichi che il sistema è Crameriano. (b) Si applichi l algoritmo di Gauss alla matrice a blocchi fino ad arrivare ad avere la matrice identità nel blocco a sinistra come visto in classe, e si verifichi che il vettore nel blocco destro così ottenuto è la soluzione di S Soluzione: a) Il determinante della matrice dei coefficienti è /. b) Con le operazioni elementari R R R, R R 5R, R R R, R R otteniamo la matrice Conle ulteriori operazioni R R R, R R R, R R R arriviamo alla matrice a blocchi (I,. Sostituendo si vede che il vettore è (l unica) soluzione. Esercizio 4. Sia A una matrice qualsiasi. Si trovino le matrici M che moltiplicate per A a destra (cioè MA) danno come risultato la matrice ottenuta da A (a) scambiando la riga i con la riga j (b) moltiplicando una riga i per uno scalare k 0.

5 (c) aggiungendo alla riga i un multiplo della riga j (d) si calcolino i determinanti di queste matrici e si utilizzi il risultato per dimostrare la proposizione sull effetto delle operazioni elementari sul determinante visto in classe Soluzione: Le matrici sono le matrici che si ottengono dall identità applicando l operazione corrispondente. Lo scambio di due righe si effettua moltiplicando A per la matrice M ottenuta dall identità scambiando le due righe corrispondenti. Questa matrice ha determinante, quindi applicando Binet il determinante della matrice ottenuta da A scambiando due righe ha segno opposto. Nel caso della moltiplicazione per uno scalare la matrice è diagonale con tutti uno sulla diagonale ad eccezione dell elemento della riga i che è k. Il determinante quindi è k. Ancora con Binet il determinante della matrice così ottenuta è k det A. Nel terzo caso la matrice è triangolare superiore o inferiore con tutti gli elementi della diagonale uguali a e l unico elemento non nullo fuori dalla diagonale è quello sulla riga i colonna j che è uguale a k. Il determinante quindi è e la matrice ottenuta da A mediante questa operazione avrà determinante uguale a quello di S. Esercizio 5. Calcolare il rango delle seguenti matrici utilizzando la definizione con i minori B = 0 0 Soluzione: Il determinante di A è 5; il minore µ,4 di B (orlato di µ, ) ha determinante 4. Esercizio 6. Usare l algoritmo di Gauss per calcolare il rango della matrice Soluzione: Con le operazioni elementari R R R, R R + R, R 4 R 4 R, R 5 R 5 4R, R R R, R 4 R 4 + R, R 5 R 5 R, R 5 R R si ottiene la matrice a scalini Ci sono pivot quindi il rango è. 0 0