Matrici e sistemi. Sistemi lineari. Invertibilità Matrici elementari Criteri di invertibilità Sistemi quadrati e Teorema di Cramer

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1 Sistemi lineari Invertibilità Matrici elementari Criteri di invertibilità Sistemi quadrati e Teorema di Cramer Politecnico di Torino 1

2 Prodotto tra matrici quadrate Date comunque A e B matrici quadrate in ordine n, la coppia (A, B ) è moltiplicabile e quindi il prodotto tra matrici è una operazioni interna di M n. Osservazione. Se n > 1 (M 1 = K ), il prodotto non è commutativo. Per esempio A =, 0 0 B = AB BA 0 1 = = Politecnico di Torino 2

3 Esistenza dell inverso (1/2) Un altra proprietà del prodotto che per n > 1 non vale più è l esistenza dell inverso: se α K, α 0, sappiamo che esiste il numero α -1 (inverso o reciproco di α) tale che αα -1 = 1. Consideriamo il seguente esempio: 5 Esistenza dell inverso (2/2) 1 1 x y Sia A =. Se B =, ponendo 2 2 z t x + y y + t 1 0 AB = = 2( x + z) 2( y + t) 0 1 otteniamo x + z = 1 e 2(x + z) = 0, il che è assurdo Politecnico di Torino 3

4 Definizione di matrice invertibile Una matrice quadrata A M n si dice invertibile se esiste B M n tale che AB = BA = I n. Altrimenti A si dice non invertibile o singolare. Il sottoinsieme di M n formato dalle matrici invertibili di ordine n viene indicato con GL n ; se è necessario specificare il campo di numeri si scrive GL n (R) oppure GL n (C). 7 Esempio (1/2) 1 1 x y Sia A =. Se B =, ponendo 2 2 z t x z y t 1 0 AB = = 2( x + z) 2( y + t) 0 1 otteniamo x = ½, z = -½, y = t = ¼ Politecnico di Torino 4

5 Esempio (2/2) Si verifica subito che se B = BA = AB = I n e dunque A è invertibile. 9 Unicità e matrice inversa Se A è invertibile, la condizione che B commuti con A assicura che B è unica. Date infatti B 1 e B 2 tali che AB i = B i A = I n per i = 1, 2, si ha: B 1 =B 1 I n = B 1 (AB 2 ) = (B 1 A)B 2 = I n B 2 = B 2. Quindi esiste una sola matrice B tale AB = BA = I n ; chiamiamo tale matrice la matrice inversa di A e la denotiamo con A Politecnico di Torino 5

6 Proprietà inversa (1/2) Sia A GL n, valgono le seguenti proprietà verificabili direttamente: 1) A -1 GL n e (A -1 ) -1 =A. 2) Se B GL n, AB GL n e (AB ) -1 =B -1 A -1. 3) Se αk, α 0, allora αa GL n e (αa) -1 = α -1 A -1. 4) t A GL n e ( t A ) -1 = t (A -1 ). 11 Osservazioni I n è invertibile con I -1 n = I n mentre O M n è singolare Infatti I n I n = I n mentre OB = O I n per ogni B M n. Possiamo così vedere che la somma di matrici invertibili non è in genere invertibile: per esempio, -I n è invertibile per la proprietà (3), ma I n +(-I n ) = O Politecnico di Torino 6

7 Matrici con righe o colonne nulle (1/2) Se una matrice A M n ha una riga o una colonna nulla (formata solo da zeri), allora A è singolare. Infatti, se A ha per esempio la riga [A ] i = O, per ogni B M n il prodotto AB ha l elemento della diagonale principale [AB ] i,i = [A ] i [B ] i = 0: quindi non può essere uguale a I n che ha tutti 1 su tale diagonale. Analogamente, se A avesse una colonna nulla avremmo BA I n per ogni B. 13 Matrici con righe o colonne nulle (2/2) Attenzione non vale il viceversa! Per esempio la matrice non ha righe né colonne nulle ma come abbiamo visto è singolare Politecnico di Torino 7

8 Definizione di matrice elementare Data una matrice A M n, si può determinare se A è invertibile e, in caso affermativo, calcolare A -1 applicando il metodo di riduzione. Una matrice elementare E in M n è una matrice ottenuta da I n con una OE, detta OE associata a E. Viceversa diremo che E è la matrice elementare associata a OE. Dalla definizione precedente segue che vi sono tre tipi di matrici elementari, a seconda dell OE effettuata Politecnico di Torino 8

9 Esempi n = 2 I tipo: II tipo: III tipo: (1) + 2(2) I = E = 0 1 (1) (2) I = E = 1 0 3(1) I = E 2 = Matrici elementari e OE (1/2) La proprietà fondamentale delle matrici elementari e la seguente: siano A, A, M m,n e supponiamo che A sia ottenuta da A con una operazioni elementare OE. Se E è la matrice elementare associata a OE, allora A = EA Politecnico di Torino 9

10 Matrici elementari e OE (2/2) Ovviamente per effettuare una OE conviene eseguirla direttamente piuttosto che moltiplicare per la matrice elementare associata. L interesse delle matrici elementari risiede nel fatto che esse permettono di provare importanti criteri di invertibilità e di calcolare esplicitamente l inversa di una matrice se esiste. 19 Esempi 2 1 Data A = abbiamo, riferendoci agli esempi 3 0 precedenti ) EA= ' 1 = = A ) E A = A' = 2 1 = ) E A = A' = = Politecnico di Torino 10

11 Invertibilità delle matrici elementari Le matrici elementari sono invertibili con inversa una matrice elementare dello stesso tipo. Infatti se E è una matrice elementare, consideriamo l OE inversa di quella associata a E e la matrice elementare E associata a OE: allora E E = EE =I n. Esempio E =, E, E = = Politecnico di Torino 11

12 Invertibilità e equivalenza per righe Se A M m,n è non nulla, per il Teorema di Riduzione abbiamo che esistono matrici elementari E 1,,E q tali che A = E E E A, cioè A = E E E A srn q q q srn Il prodotto di matrici invertibili è invertibile, quindi vale: A GL n se e solo se A srn GL n. 23 Criterio della Forma srn Se A M n, allora A GL n se e solo se A srn = I n. In tal caso E q E q-1 E 1 A = A srn = I n, implica A -1 = E q E q-1 E 1 Infatti una matrice srn quadrata di ordine n o ha righe nulle (e quindi è singolare) o è la matrice I n Politecnico di Torino 12

13 Criterio del rango Se A M n, A GL n se e solo se r (A ) = n. Deriva dal Criterio della Forma srn. Infatti r (A ) = n se e solo se A sr non ha righe nulle, quindi se e solo se A srn = I n. 25 Calcolo dell inversa Per riduzione possiamo verificare se una matrice A M n è invertibile e, in caso affermativo, calcolare nel contempo l inversa. Infatti se effettuando le stesse OE su A e I n otteniamo A srn = I n, allora A GL n e la trasformata di I n è A -1 ; se invece A srn ha una riga nulla allora A è singolare Politecnico di Torino 13

14 Esempio (1/2) Se A = (2) 2(1),(3) (1) (3) (2) 27 Esempio (2/2) (1) (3),(2) + 3(3) A GL A Dunque e = n Politecnico di Torino 14

15 Sistemi quadrati (1/3) Se S : AX = B è un sistema con matrice dei coefficienti A quadrata di ordine n, diciamo che S è un sistema quadrato. Esempio x z = 1 S : 2x + y + z = 0 x + y + z = 2 cioè x 1 S : y = z Politecnico di Torino 15

16 Sistemi quadrati (2/3) Osserviamo ora che la matrice A dei coefficienti del sistema S : AX = B precedente è invertibile e che A = Se X 0 èsoluzione di S allora AX 0 = B, quindi necessariamente X 0 = A -1 B. Viceversa A -1 B è soluzione di S. 31 Sistemi quadrati (3/3) Dunque S è determinato e l unica soluzione è data da = Le considerazioni ora fatte ci portano al seguente teorema: Politecnico di Torino 16

17 Teorema di Cramer Sia A M n. A è invertibile se e solo se per ogni B n K il sistema quadrato AX = B èdeterminato. In n tal caso l unica soluzione X 0 K di S è data da X 0 = A -1 B Politecnico di Torino 17