Operazioni elementari e riduzione

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1 Matrici e sistemi Operazioni elementari Riduzioni di matrici L algoritmo di riduzione Politecnico di Torino 1

2 Operazioni elementari per righe Sia A M m,n. Introduciamo tre tipi di operazioni che permettono di trasformare una matrice A M m,n in un altra matrice A M m,n. Tali operazioni si dicono operazioni elementari (per righe), (brevemente OE ). La matrice A sarà descritta tramite le sue righe. Osservazione. Le operazioni elementari per colonne possono essere definite in modo del tutto analogo a quello seguente. Si privilegiano le operazioni per righe in quanto solo esse sono applicabili allo studio dei sistemi Politecnico di Torino 2

3 I Tipo Dati 1 i j m e α, poniamo [A ] i = [A] i + α[a] j, [A ] k = [A] k per k i. A si ottiene da A sommando alla i -esima riga di A la j esima righa di A moltiplicata per α e lasciando inalterate le altre righe. K Denotiamo tale operazione con A (i) α ( j) (i) + α ( j) Si verifica facilmente che A A. A. 5 II Tipo Dati 1 i, j m poniamo [A ] i = [A] j, [A ] j = [A] I, [A ] k = [A] k per k i, j A si ottiene da A scambiando la riga i-esima con la j-esima e lasciando inalterate le altre righe. Denotiamo tale operazione con A (i) (j ) (i) (j ) Si verifica facilmente che A A. A Politecnico di Torino 3

4 III Tipo K Dati 1 i m e α, α 0, poniamo [A ] i = α[a] i, [A ] k = [A] k per k i A si ottiene da A moltiplicando la riga i -esima per α e lasciando inalterate le altre righe. Denotiamo tale operazione con A 1 (i) α Si verifica facilmente che A A. α (i) A. 7 Esempi A = (3) + 2(1) l A = (3) (2) ll A = (2) 5 lll A = (2) (3) (2) (3) 2(1) Invertendo si ha A A A A Politecnico di Torino 4

5 Equivalenza per righe Le matrici A, B M m,n si dicono equivalenti (per righe) se A si può trasformare in B con un numero finito di OE. In tal caso scriveremo A ~ B. La relazione ~ è una relazione di equivalenza, infatti è: Riflessiva: A ~ A (Le OE del I tipo con α = 0 o del III tipo con α = 1 lasciano invariata A); Simmetrica: A ~ B implica B ~ A (Le OE si possono invertire con OE dello stesso tipo); Transitiva: A ~ B e B ~ C implica A ~ C Politecnico di Torino 5

6 Notazione Se A èuna matrice m x n non nulla e se [A ] i è una riga non nulla, indichiamo con j (i ) l indice di colonna del primo elemento non nullo di [A ] i. Quindi [A ] i,j(i) 0, mentre [A ] i,k = 0 per k < j (i ). Ad esempio, se [A ] 2 = (0, 0, -4, 1, 0) allora j (2) = 3 e [A ] 2,j(2) = Matrici a scala (1/2) A M m.n si dice matrice a scala se A O e valgono le seguenti: Esiste r, 1 r m, tale che [A] i O per i r e [A] i = O per i > r. Se 1 i < k m, allora j (i ) < j (k ) Politecnico di Torino 6

7 Matrici a scala (2/2) Dunque una matrice è a scala se le eventuali righe nulle sono le ultime e se, passando da una riga non nulla a un altra, il primo elemento non nullo si sposta verso destra. Osserviamo che la seconda condizione per una matrice a scala, cioè j (i ) < j (k ) per i < k, implica che i j (i ) e r n : quindi il numero di righe non nulle r è minore o uguale del minimo tra m e n. 13 Esempi Le seguenti matrici sono a scala: A1 =, A2 = 0 1 0, A = Politecnico di Torino 7

8 Pivots I primi elementi non nulli p i = [A ] i, j (i ) di ogni riga non nulla di una matrice a scala A sono detti pivots di A. Il numero dei pivots coincide con il numero r delle righe diverse da O. I pivots di A 1 sono p 1 = 1, p 2 = 3, p 3 = -6. I pivots di A 2 sono p 1 = 2, p 2 = 1, p 3 = 3. I pivots di A 3 sono p 1 = 1, p 2 = Matrici a scala ridotte normalizzate Una matrice a scala A si dice ridotta se per 1 i r e 1 k < i si ha [A] k,j(i) = 0. Una matrice a scala A si dice normalizzata se per 1 i r si ha p i = 1. Dunque A è ridotta se gli elementi sopra i pivots sono tutti nulli e è normalizzata se i pivots sono tutti 1. Per brevità, scriveremo srn per a scala ridotta normalizzata Politecnico di Torino 8

9 Esempi Le seguenti matrici sono rispettivamente a scala ridotta e srn Osservazione Esiste una sola matrice srn m x n con r = n. Per esempio, per m = 5, n = 3, si ha: A = In particolare, se m = n, abbiamo A = I n. Il seguente è il teorema principale di questa parte del corso Politecnico di Torino 9

10 Teorema di Riduzione Ogni matrice non nulla A M m,n èequivalente per righe a un unica matrice srn indicata con A srn e detta forma srn di A. L unicità di A srn permette di dare la seguente definizione: 19 Rango di una matrice Sia A M m,n. Se A è non nulla, il rango r (A ) di A è il numero di pivots della matrice A srn. Per convenzione poniamo r (O m,n ) = 0. Osservazione.SeA M m,n, r (A) m e r (A) n e quindi r (A) è minore o uguale del minimo tra m e n Politecnico di Torino 10

11 Esempio di riduzione (1/2) La prova del Teorema di Riduzione si basa su di un algoritmo, detto algoritmo di riduzione, che illustriamo applicandolo a un esempio e articolandolo in 8 passi Esempio: A = M 4, Politecnico di Torino 11

12 Esempio di riduzione (2/2) Trasformeremo prima A in una matrice a scala [A] sc (forma a scala, non unica) per poi passare a una matrice a scala normalizzata e quindi alla forma srn di A. 23 Passi 1 e 2 Passo 1. Consideriamo la prima colonna [A] j(1) non nulla: j(1) 2 e [ ] = A = Passo 2. Consideriamo il primo elemento [A] i,j(1) 0 di [A] j(1) : i = 2 e [A] 2,2 = Politecnico di Torino 12

13 Passo 3 Con un numero opportuno di OE del II tipo trasformiamo A in A in modo che la riga [A ] i diventi la prima riga [A ] 1 A A' = (1) (2) Poniamo [A ] 1,j(1) = [A] i,j(1) = p 1. Nell esempio p 1 = Passo 4 Con un numero opportuno di OE del I tipo trasformiamo A in A in modo che l unico elemento non nullo della colonna [A] j(1) sia p 1 : A ' (4) (1) (3) + (1) A ''' = Politecnico di Torino 13

14 Passo 5 (1/2) Consideriamo la matrice A 1 ottenuta da A eliminando la prima riga. Allora A 1 è una matrice (m 1) x n e su essa possiamo riapplicare i passi 1, 2 e 3 (che corrispondono a OE su A che lasciano inalterata la prima riga). 27 Passo 5 (2/2) A (3) (1) = (2) (1) (2) (1) Politecnico di Torino 14

15 Passo 6 (1/2) Otteniamo così p 2 e una matrice (m 2) x n A 2. Operando ricorsivamente in questo modo arriviamo alla matrice a scala A sc A = (1 ) (2 ) Passo 6 (2/2) Quindi: A sc = In questo esempio r = 3, p 1 = 2, p 2 = 1, p 3 = Politecnico di Torino 15

16 Passo 7 Con r OE del III tipo (dividendo le righe non nulle per i pivots), trasformiamo A sc in una matrice a scala normalizzata A sn : 1 (1) 2 A sc (3) 8 = A sn Passo 8 Con un numero opportuno di OE del I tipo trasformiamo A sn nella matrice srn A srn in modo che, per i = 1,, r, l unico elemento non nullo di ogni colonna [A srn ] j(i) sia il pivot p i = 1: A sn (1) 2(3),(2) 3(3) (1) (2) = A srn Nota. Le OE sulla stessa freccia sono effettuate in successione Politecnico di Torino 16

17 Unicità e calcolo del rango Nell esempio precedente, ogni altra OE su A srn la trasformerebbe in una matrice non srn, il che è una verifica del fatto che la forma srn è unica. D altra parte, anche se la forma a scala A sc non è unica (anche A srn è a scala!), il numero dei pivots resta invariato nei passi successivi quindi il rango di A è il numero di pivots di una qualsiasi forma a scala di A. In definitiva abbiamo che il rango di A èin questo caso r (A ) = r = ATTENZIONE! Il rango di una matrice A NON è il numero di righe non nulle di A, a meno che A non sia a scala. Se così non è, bisogna PRIMA trasformare A in una matrice a scala con operazioni di riga e POI contare le righe non nulle della matrice trasformata. Esempio: ha forma srn Dunque ha rango 1, anche se non ha righe nulle Politecnico di Torino 17