RIDUZIONE E RANGO , C = 2 5 1

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1 MATRICI E SISTEMI RIDUZIONE E RANGO Riduzione di matrici (definizioni, trasformazioni elementari). Calcolo del rango e dell inversa (metodo di Gauss, metodo di Gauss-Jordan). 3 4 Esercizio Ridurre per righe la matrice Esercizio Ridurre le seguenti matrici: A = 3 4, B = 0, C = k 0 dove k è un parametro reale Esercizio 3 Calcolare il rango delle matrici A = e B = Esercizio 4 Calcolare il rango delle seguenti matrici, al variare del parametro k reale: 3 k k k 0 A = k 4, B = k, C = k 0 k 3 5 Esercizio 5 Calcolare l inversa della matrice A = Esercizio 6 Siano date le matrici A = ( ) e B = 3. 0 Stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false: (i) det(a) = 0; (ii) non è possibile effettuare ilprodotto AB; (iii) il rango di A è ; ( ) 4 (iv) AB =.

2 MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango Esercizio 7 Data la matrice A = e quali false: (i) rang A = per ogni valore di h R; (ii) rang A = per ogni valore di h C; (iii) deta = 4 per h = 0; (iv) rang A = 4 perché A non è la matrice nulla. ( ) h, stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere h Esercizio 8 Data una matrice quadrata A di ordine, stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (i) A + A t è una matrice simmetrica; (ii) se A ha rango massimo, anche A + A t ha rango massimo; (iii) se deta =, allora det(a) = ; (iv) se det A =, allora det(ab) = detb per ogni matrice B quadrata di ordine.

3 MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango 3 SVOLGIMENTI Svolgimento Esercizio Evidenzieremo in grassetto gli elementi scelti come speciali. Usiamo a = per annullare a e a 3 : 3 4 R R 5R R A = R 3 9R = Usiamo a = 4 per annullare a 3 : A R 3 R 3 R (ma uno qualsiasi tra 4, 8, può essere scelto come elemento speciale). Ogni riga non nulla ha almeno un elemento speciale e quindi la riduzione è conclusa. Svolgimento Esercizio Evidenzieremo in grassetto gli elementi scelti come speciali. Poiché la prima riga di A ha già un elemento nullo, conviene ridurre per colonne. Usiamo a = per annullare a : 0 A = C C +C Usiamo ora a = 7 per annullare a 3 : A 3 7 C 3 C 3 7 C (ma anche a 3 = 7 può essere scelto come elemento speciale). Ogni colonna non nulla ha almeno un elemento speciale e quindi la riduzione è conclusa. La matrice B è già ridotta per righe (su ogni riga non nulla c è almeno un elemento speciale): B = Riduciamo per righe la matrice C. Guardando l ultima colonna, si vede che lo scambio R R 3 fa già apparire un elemento speciale sulla prima riga, dopodiché procediamo come al solito: k 0 C = 0 R R 3 0 k Ogni riga non nulla ha almeno un elemento speciale e quindi la riduzione è conclusa.

4 MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango 4 Svolgimento Esercizio 3 Evidenzieremo in grassetto gli elementi scelti come speciali. Poiché le trasformazioni elementari non cambiano il rango di una matrice, procediamo alla riduzione in modo da leggere poi facilmente il rango sulla matrice ridotta. Siccome le matrici hanno più righe che colonne, conviene ridurre per colonne. Circa la matrice A, si ha 0 A = 0 C C 0 0 dove la seconda matrice è ridotta per colonne (ogni colonna non nulla ha almeno un elemento speciale), quindi il suo rango è immediatamente dato dal numero di colonne non nulle, cioè. Dunque rang A =. Per la matrice B, si ottiene 5 9 B = C C 5C C 3 C 3 9C C 3 C 3 C , 4 0 dove tutte le matrici scritte hanno lo stesso rango e la matrice finale è ridotta per colonne con colonne non nulle. Dunque rang B = Svolgimento Esercizio 4 La matrici contengono un parametro k da discutere, quindi, volendo procedere tramite riduzione, conviene che gli elementi contenenti k siano coinvolti nel processo il più tardi possibile. Si tenga anche presente che, per matrici quadrate, il rango è massimo se e solo se il determinante non si annulla; imponendo tale condizione si trovano quindi i valori del parametro per cui il rango è pari all ordine della matrice, dopodiché restano da considerare solo i valori di k del per cui il rango non è massimo, che tipicamente sono in numero finito e possono essere studiati direttamente. Si ha 3 A = k 4 R R k 4 R R 3 R R 3 R 3 R 3 5/ 0 5/ k / 0 5/ R 3 R 3 R / k dove l ultima matrice è ridotta per righe ed ha oppure 3 righe non nulle a seconda che sia k = 3 oppure k 3, rispettivamente. Dunque { se k = 3 rang A = 3 se k 3. Nel caso della matrice B, che presenta tanti elementi contenenti il parametro, ricorriamo al determinante. Si ha k detb = k k = k k k k + k = k ( k ) k + = k (k ) (k + ) (k ) = (k ) ( k + k ) = (k ) (k + )

5 MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango 5 e dunque det B = 0 k =,. Ciò significa che rang B = 3 per ogni k,. Studiamo ora i casi restanti. Se k =, allora si ha R R R B = R 3 R 3 R e dunque rang B =. Se k =, allora si ha R R R B = R 3 R 3 +R R 3 R 3 +R e dunque rang B =. In definitiva se k = rang B = se k = 3 altrimenti. Per la matrice C, si ottiene k k 0 C = 0 R 3 R 3 R 0 k k k 0 k k 0 0 R 3 R 3 +kr 0 k + k k 0 0 k 0 0 (si ricordi che la trasformazione R i R i + λr j è ammessa anche se λ = 0) e dunque { se k = rang C = 3 se k. Svolgimento Esercizio 5 Procediamo al calcolo di A (che esisite perché det A = 0, come si vede subito moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale di A, che è triangolare) sia mediante l algoritmo di Gauss-Jordan che tramite matrice aggiunta. Mediante algoritmo di Gauss-Jordan (particolarmente semplice perché A è già triangolare), si ottiene R R 5R (A I) = R R 7R R R 3R = ( I A ) e dunque 3 6 A = Procedendo tramite matrice aggiunta, si tratta di calcolare il complemento algebrico A ij di ciascun elemento a ij di A e scrivere la matrice aggiunta di A, cioè adj A = (A ij ) T ; dopodiché A = deta adja.

6 MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango 6 Si ha A = ( ) =, A = ( ) = 0, A 3 = ( ) = 0, A = ( ) = 3, A = ( ) =, A 3 = ( ) = 0, A 3 = ( ) = 6, A 3 = ( ) = 7, A 33 = ( ) = e quindi 3 6 adja = (A ij ) T = Essendo det A =, si ottiene finalmente 3 6 A = adja = Svolgimento Esercizio 6 La (i) è falsa, o meglio non ha senso, perché A non è quadrata. La (ii) è falsa, perché A è di tipo m n e B è di tipo n p, per cui il prodotto AB esiste (ed è di tipo m p). La (iii) è vera, ad esempio perché A possiede il minore non nullo 0 =, che ha ordine. La (iv) è senz altro falsa, perché A è di tipo 3 e B è di tipo 3, per cui AB deve essere di tipo. Svolgimento Esercizio 7 Si ha rang A = det A 0 (perché A è quadrata di ordine ) e risulta det A = h h = h + 4. Quindi la (i) è vera, perché h +4 0 per ogni h R, mentre la (ii) e la (iii) sono false, perché h + 4 = 0 per h = ±i e det A = 4 se h = 0. La (iv) è falsa, perché il rango di una matrice non può superare nessuna delle sue dimensioni e quindi deve essere rang A in ogni caso. Svolgimento Esercizio 8 (i) Vera. Infatti risulta ( ) a b A = c d A + A T = ( ) a b + c d ( ) a c = b d ( ) a b + c c + b d dove b + c = c + b (il risultato è vero anche per matrici quadrate di ordine maggiore; infatti, se A = (a ij ) allora A T = (a ji ) ed A + A T = (a ij + a ji ), dove b ij = a ij + a ji è tale che b ij = a ij + a ji = a ji + a ij = b ji, essendo la somma a ij + a ji commutativa).

7 MATRICI E SISTEMI - Riduzione e rango 7 (ii) Falsa. Ad esempio ( ) / A = 0 / A + A T = ( ) ( ) / / 0 + = 0 / / ( ) dove risulta det ( A + A T) = 0 pur essendo deta = /4 0. (iii) Falsa. Infatti, se deta =, allora risulta det(a) = deta = 4 (si ricordi che per ogni matrice A K n,n e per ogni λ K risulta det(λa) = λ n deta). (iv) Vera. Infatti, per ogni B K,, il prodotto AB è ben definito e risulta det (AB) = det A det B (teorema di Binet).