1.1 Matrici a coefficienti in R. Vi sono alcuni casi particolari che vale la pena evidenziare:

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1 Lezione Matrici a coefficienti in R Definizione Siano m, n Z numeri interi positivi Una matrice m n acoefficientiinrèuninsiemedimn numeri reali disposti su m righe ed n colonne circondata da parentesi tonde Tali numeri sono detti entrate, coefficienti, ocomponenti della matrice L insieme di tutte le matrici m n acoefficientiinr si indica con R m,n Vi sono alcuni casi particolari che vale la pena evidenziare: la matrice m,n R m,n avente tutte le entrate nulle viene detta matrice nulla; se m = n, cioèseilnumerodellerigheèugualealnumerodellecolonne,la matrice è detta matrice quadrata; se m =la matrice è detta matrice riga, mentresen =matrice colonna; se m = n =,cioèquandocisonounasolarigaeunasolacolonna(e,quindi, anche una sola entrata), si preferisce identificare R, con R Esempio Diamo alcuni esempi 3/9 p A R 3,, p 3/9 R,3 R, (matrice quadrata) A R 3, (matrice colonna), R, (matrice riga) 3 Le matrici nulle e 3 sono, = e,3 = 5

2 6 La tabella 3 7 non èunamatrice B Testi diversi utilizzano notazioni diverse per indicare una matrice! Ad esempio la matrice dell Esempio può essere scritta 3/9 p A, La notazione 8 < 4 : A 3 3/9 p 5, 9 3/9 p = ; 3/9 p èdaevitare,perchépuòcreareconfusioneconquellausatapergliinsiemi Sia A R m,n una matrice Ad ogni sua entrata a rimangono associati due numeri interi positivi, gli indici i e j della riga e della colonna al cui incrocio si trova a: i e j vengono detti rispettivamente indice di riga e indice di colonna dell entrata a e a si dice entrata in posizione (i, j) Spesso, per indicare nelle formule l entrata in posizione (i, j) si scrive a i,j Similmente la matrice A si può indicare con la notazione A =(a i,j ) 6i6m 6j6n Tale notazione significa che A èlamatricelecuientratesonoinumeria i,j con gli indici i e j che variano da a m eda a n rispettivamente Se A èquadrataconm = n si può scrivere anche A =(a i,j ) 6i,j6n Quando le dimensioni della matrice sono fissate, a volte conviene indicare le entrate con lettere distinte Per esempio, una matrice generica può essere indifferentemente indicata con a, a (a i,j ) 6i6, (a i,j ) 6j6 6i,j6,, a b, a, a, c d Esempio 3 Si considerino le prime due matrici dell Esempio A 3/9 p A R 3,, B = p 3/9 R,3 L entrata (, ) di A è a, = Leentrate(3, ) e (3, ) di A sono a 3, = a 3, = Invece le entrate (3, 3) e (, 3) non esistono Analogamente, le entrate (3, ), (3, ), (3, 3) di B non esistono Invece le entrate (, ) e (, 3) di B sono b, = 3/9 e b,3 =

3 Definizione 4 (Opposto di una matrice) Sia A R m,n una matrice L opposto di A èlamatricedir m,n,indicatacon A, lacuientrata(i, j) coincide con l opposto dell entrata (i, j) della matrice A, peri =,,m e j =,,n Se A =(a i,j ) 6i6m 6j6n R m,n si scrive in simboli A =( a i,j ) 6i6m 6j6n R m,n Esempio 5 Per le matrici A e B degli Esempi e 3, vale che p A 3/9 A 3/9 R 3, B = p R,3 7 Definizione 6 (Uguaglianza tra matrici) Due matrici A =(a i,j ) 6i6m 6j6n R m,n e B =(b i,j ) 6i6p 6j6q si dicono uguali se valgono le seguenti proprietà: R p,q (U) A e B hanno lo stesso numero di righe e colonne, cioè se m = p ed n = q; (U) le entrate di A e B aventi la stessa posizione nelle due matrici coincidono, cioè se a i,j = b i,j per ogni i =,,m= p e j =,,n= q Le due matrici A e B dell Esempio 3 sono, perciò, diverse Ciononostante, sono legate da un ovvia relazione: l entrata (i, j) di A coincide con l entrata (j, i) di B Definizione 7 (Matrice trasposta) Sia A R m,n La trasposta di A èlamatricedir n,m, indicata con t A, la cui entrata (j, i) coincide con l entrata (i, j) della matrice A per i =,,m e j =,,n Se A =(a i,j ) 6i6m 6j6n R m,n scriveremo in simboli t A =(a j,i ) 6j6n 6i6m R n,m Esempio 8 Per le matrici A e B dell Esempio 3 vale B = t A e A = t B La trasposta di una matrice riga è una matrice colonna e viceversa: C = /3 R,4 ) t C = B A R4, /3 Può accadere che la trasposta di una matrice coincida con la matrice stessa, per esempio e e D e 5 5 p A R 3,3 ) t D e 5 5 p A = D Nel prossimo paragrafo studieremo meglio questo caso

4 8 B Testi diversi utilizzano notazioni diverse per denotare la trasposta Non solo t A, ma anche A t, > A, A > ;piùraramentesitrovaanchea Proposizione 9 (Proprietà della trasposta) Valgono le seguenti proprietà: (T) per ogni matrice A, sihachea R m,n se e solo se t A R n,m ; (T) per ogni A R m,n si ha che t ( t A)=A (la trasposta è un operazione involutiva); (T3) per ogni A R m,n si ha che t ( A) = ( t A) (la trasposta è compatibile con l opposto) Dimostrazione Dimostriamo separatamente le varie proprietà Per le uguaglianze tra matrici usiamo la Definizione 6 Osserviamo innanzitutto che in tutte le uguaglianze da dimostrare le dimensioni delle matrici a destra e a sinistra dell uguale coincidono, quindi dobbiamo solo controllare che anche le entrate al posto (i, j) coincidano (T) Èunaconseguenzadirettadelladefinizione: ilnumerodirighedia èugualealnumerodi colonne di t A esimilmenteilnumerodicolonnediaèugualealnumerodirighedi t A (T) L entrata in posizione (i, j) di t ( t A) coincide per definizione con l entrata in posizione (j, i) di t A,cheasuavoltacoincideconl entratainposizione(i, j) di A Le due matrici quindi coincidono (T3) L entrata in posizione (i, j) di t ( A) coincide con l entrata (j, i) di A, quindiè a j,i D altra parte l entrata (i, j) di ( t A) coincide con l opposto dell entrata (i, j) di t A,cioè a i,j Matrici quadrate In questo paragrafo descriveremo alcune classi notevoli di matrici quadrate Definizione (Diagonale di una matrice quadrata) Sia A =(a i,j ) 6i,j6n R n,n una matrice quadrata La diagonale di A èl insiemeordinatodelleentratediposizione(i, i) di A Esempio Si consideri la matrice 7 4 A 8 A R 3,3 3/4 e La diagonale di A èlasuccessioneordinata(,, e) (e non (, e) o ( e,, ) o altro) Definizione (Matrici diagonali) Sia A =(a i,j ) 6i,j6n R n,n una matrice quadrata A si dice diagonale se tutte le entrate al di fuori della diagonale sono nulle, cioè se a i,j =per ogni i 6= j Esempio 3 Le matrici 7 A A, B A e sono rispettivamente diagonale e non diagonale

5 Osserviamo che una matrice diagonale può essere descritta indicando solo la sua diagonale: per esempio la matrice A dell Esempio 3 si può indicare come A =diag(,, e) Vi sono due casi particolari di matrici diagonali che vale la pena evidenziare: La matrice nulla n,n èdiagonale La matrice diagonale n n avente tutte le entrate diagonali uguali ad è detta matrice identità di ordine n esiindicaconi n In simboli, l entrata in posizione (i, j) di I n coincide con i,j,ilcosiddettodelta di Kronecker, cioè se i = j i,j =, se i 6= j 9 Ad esempio, le matrici identità I n,conn64, sono I =(), I =, I 3 A, I 4 = B A Definizione 4 (Matrici triangolari) Una matrice quadrata A =(a i,j ) 6i,j6n R n,n si dice triangolare superiore se tutte le entrate al di sotto della diagonale sono nulle, cioè se a i,j =quando i>j Similmente A si dice triangolare inferiore se le sue entrate al di sopra della diagonale si annullano, ovvero se a i,j =quando i<j A si dice strettamente triangolare superiore se è triangolare superiore e inoltre le sue entrate sulla diagonale si annullano, ovvero se a i,j =quando i > j Infine, A si dice strettamente triangolare inferiore se è triangolare inferiore e inoltre le sue entrate sulla diagonale si annullano, ovvero se a i,j =quando i 6 j Osserviamo che ogni matrice strettamente triangolare superiore (inferiore) è anche triangolare superiore (inferiore), ma non vale il viceversa Si noti anche che la matrice nulla n,n èsia(strettamente)triangolaresuperiorecheinferiore Esempio 5 Si considerino le due matrici 7 4 A 8 A, B A e 3/4 A è triangolare superiore, ma non lo è strettamente, mentre B è strettamente triangolare inferiore

6 Definizione 6 (Matrici simmetriche e antisimmetriche) Una matrice quadrata A =(a i,j ) 6i,j6n R n,n si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta, cioè se t A = A equindia i,j = a j,i per ogni i, j =,,n Una matrice quadrata A =(a i,j ) 6i,j6n R n,n si dice antisimmetrica se coincide con l opposto della sua trasposta, cioè se t A = A equindia i,j = a j,i per ogni i, j =,,n Esempio 7 In R 3,3 si considerino le matrici 7 4 A 7 8 A, B 4 8 e A 7 8 e A èsimmetrica,mentreb non lo è perché b, = 7 6= 4=b, Consideriamo adesso C 7 8A, D 7 8A C èantisimmetrica,mentred non lo è perché d, =6= Si noti che in una matrice simmetrica le entrate in posizione simmetrica al di fuori della diagonale sono uguali; in una matrice antisimmetrica invece le entrate al di fuori della diagonale sono opposte e le entrate diagonali sono necessariamente nulle, dal momento che devono soddisfare l uguaglianza a i,i = a i,i Ogni matrice diagonale, in particolare la matrice nulla n,n,èsimmetrica Invece non possono essere simmetriche le matrici triangolari superiori ed inferiori che non siano diagonali L unica matrice diagonale, o triangolare (superiore ed inferiore), o simmetrica che sia anche antisimmetrica è la matrice nulla n,n 3 Somma e prodotto per scalare In questo paragrafo definiremo due importanti operazioni sulle matrici Definizione 8 (Somma di matrici) Siano A =(a i,j ) 6i6m 6j6n e B =(b i,j ) 6i6m 6j6n due matrici in R m,n Definiamo somma di A e B la matrice di R m,n,indicatacona+b, lacuientrata in posizione (i, j) è a i,j + b i,j B La somma è definita solo per matrici aventi le stesse dimensioni! Esempio 9 In R 3, si 5 7 A 3 3 4A 8 3A / 5/

7 La somma di matrici è quindi un operazione che associa a due matrici delle stesse dimensioni una terza matrice, ancora delle stesse dimensioni Tale operazione soddisfa una serie di proprietà che ora elencheremo Proposizione (Proprietà della somma di matrici) Valgono le seguenti proprietà: (S) per ogni A, B R m,n,sihaa + B = B + A (proprietà commutativa); (S) per ogni A, B, C R m,n, si ha A +(B + C) = (A + B) +C (proprietà associativa); (S3) la matrice nulla è l unico elemento neutro per la somma, cioè è l unica matrice tale che m,n + A = A + m,n = A per ogni A R m,n (esistenza e unicità dell elemento neutro); (S4) per ogni A R m,n, A èl unicoelementooppostodia, cioèèl unicamatrice tale che A +( A) = m,n (esistenza e unicità dell opposto) Inoltre: (ST) per ogni A, B R m,n,siha t (A + B) = t A+ t B (compatibilità con la trasposta) Dimostrazione Per dimostrare le uguaglianze tra matrici usiamo la Definizione 6; come in precedenza, in tutte le uguaglianze da dimostrare le dimensioni delle matrici a destra e a sinistra dell uguale coincidono, quindi dobbiamo solo controllare che anche le entrate al posto (i, j) coincidano (S) Lelemento in posizione (i, j) di A + B è a i,j + b i,j Latesiseguedalfattochel elementoin posizione (i, j) di B + A è b i,j + a i,j = a i,j + b i,j (la somma tra numeri è commutativa!) (S) L elemento in posizione (i, j) di A+(B +C) è a i,j +(b i,j +c i,j ) esihachea i,j +(b i,j +c i,j )= (a i,j + b i,j )+c i,j (la somma tra numeri è associativa!), che è l elemento in posizione (i, j) di (A + B)+C (S3) La verifica che m,n + A = A + m,n = A èimmediata Supponiamoquindicheesistaun secondo elemento neutro, ovvero che esista una matrice X R m,n tale che X + A = A per ogni matrice A R m,n Questo significa che per ogni entrata (i, j) vale l uguaglianza x i,j + a i,j = a i,j equindichex i,j =per ogni I =,,m e j =,,n ecioèx = m,n (S4) Di nuovo, la verifica che A +( A) = m,n èimmediata Supponiamoquindicheesistaun secondo elemento opposto, ovvero che esista una matrice Y R m,n tale che A + Y = m,n Questo significa che per ogni entrata (i, j) vale l uguaglianza a i,j + y i,j =equindiche y i,j = a i,j per ogni i =,,m e j =,,n ecioèy = A (ST) Al posto (i, j) di t (A + B) troviamo l elemento in posizione (j, i) di A + B, cioèa j,i + b j,i, che coincide con la somma dell elemento in posizione (i, j) di t A più l elemento in posizione (i, j) di t B equindiconl elementoinposizione(i, j) di t A + t B Se A, B R m,n,siscrivea B invece di A +( B) Passiamo ora a definire il prodotto di una matrice per un numero reale Definizione (Prodotto per scalare) Siano R un numero (detto anche scalare), A =(a i,j ) 6i6m R m,n una matrice 6j6n Definiamo prodotto dello scalare per la matrice A la matrice di R m,n,indicata con A, lacuientratainposizione(i, j) è a i,j

8 Esempio Si ha 3 5 = Il prodotto per scalare è, quindi, un operazione che associa ad una coppia formata da uno scalare e una matrice m n un altra matrice che ha le stesse dimensioni m n Anche tale operazione soddisfa una serie di proprietà Proposizione 3 (Proprietà del prodotto per scalare) Valgono le seguenti proprietà: (P) per ogni A R m,n,sihaa = A (esistenza dell elemento neutro); (P) per ogni A R m,n eperogni, R, siha ( A)=( )A (proprietà associativa); (SP) per ogni A R m,n e, R, siha( + )A = A + A (proprietà distributiva rispetto alla somma di scalari); (SP) per ogni A, B R m,n e R, si ha (A + B) = A + B (proprietà distributiva rispetto alla somma di matrici) Inoltre: (PT) per ogni A R m,n e R, si ha t ( A) = ( t A) (compatibilità con la trasposta); (LP) per ogni A R m,n e R, risulta A = m,n se e solo se vale =oppure A = m,n (legge di annullamento del prodotto per scalare) Dimostrazione Per dimostrare le uguaglianze tra matrici usiamo la Definizione 6; come in precedenza, in tutte le uguaglianze da dimostrare le dimensioni delle matrici a destra e a sinistra dell uguale coincidono, quindi dobbiamo solo controllare che le entrate al posto (i, j) coincidano Come nella dimostrazione della Proposizione, molte proprietà del prodotto per scalare si basano su proprietà simili a quelle della somma e del prodotto tra numeri (P) L entrata (i, j) di A è a i,j = a i,j (P) Si ha che ( a i,j )=( )a i,j,cheèl elementoinposizione(i, j) della matrice a destra (SP) L entrata (i, j) di ( + )A è ( + )a i,j = a i,j + a i,j,cheèl elemento(i, j) di A + A (SP) Si ha che (a i,j + b i,j )= a i,j + b i,j,dacuil uguaglianzadellematrici (PT) L elemento in posizione (i, j) di t ( A) è a j,i elostessovaleper ( t A) (LP) Se il prodotto A = m,n significa che tutte le entrate della matrice A sono nulle, cioè che per ogni (i, j) il prodotto a i,j =; per la legge di annullamento del prodotto tra numeri questo implica che o =,oppurea i,j =per ogni indice (i, j) equindiaè necessariamente la matrice nulla In generale possiamo dire che le operazioni di somma tra matrici e prodotto per scalare si comportano in modo non troppo diverso dalla somma e dal prodotto tra due numeri cui siamo abituati Nella prossima lezione descriveremo una terza operazione, detta prodotto tra matrici, cheinvecenonavràtalicaratteristiche