Lo scopo della teoria dei determinanti è di definire una funzione. det : M n R. sia calcolabile facendo somme e prodotti delle entrate delle matrici

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1 Determinanti 1 / 44

2 Lo scopo della teoria dei determinanti è di definire una funzione det : M n R chiamata determinante tale che: sia calcolabile facendo somme e prodotti delle entrate delle matrici det(a) 0 A è invertibile 2 / 44

3 Matrici 1 1 Per una matrice A M 1 la risposta è immediata A = (a 11 ) A è invertibile a 11 0 Definizione Se A M 1 il determinante è definito come det(a) = [A] 11 3 / 44

4 Matrici 2 2 Supponiamo che a,c 0, allora ( ) ( ) a b A = A 1 x1 x = 2 c d x 3 x 4 ( )( ) ( ) a b x1 x = c d x 3 x ax 1 + bx 3 = 1 ax 2 + bx 4 = 0 cx 1 + dx 3 = 0 cx 2 + dx 4 = 1 ac x 1 + bc x 3 = c ac x 2 + bc x 4 = 0 ac x 1 + ad x 3 = 0 ac x 2 + ad x 4 = a ac x 1 + bc x 3 = c ac x 2 + bc x 4 = 0 (ad bc) x 3 = c (ad bc) x 4 = a 4 / 44

5 ac x 1 + bc x 3 = c ac x 2 + bc x 4 = 0 (ad bc) x 3 = c (ad bc) x 4 = a Se (ad bc) 0 possiamo andare avanti e concludere che d x 1 = ad bc x 2 = b ad bc x 3 = c ad bc a x 4 = ad bc 5 / 44

6 Se (ad bc) 0 ( ) a b A = c d d A 1 ad bc = c ad bc b ad bc a ad bc Definizione Se A M 2 il determinante è definito come det(a) = [A] 11 [A] 22 [A] 12 [A] 21 6 / 44

7 Come andare avanti? Indichiamo A = (A 1,...,A n ) = (A 1,...,A n ) una matrice di righe A 1,A 2,...,A n e colonne A 1,A 2,...,A n Definizione Per ogni n N un determinante è una funzione det : M n R tale che: (i) det(a 1,...,A n ) = 0 se A i = A j per qualche i j (ii) det(a 1,...,A j + B j,...a n ) = det(a 1,...,A j,...a n ) + det(a 1,...,B j,...a n ) det(a 1,...,λ A j,...a n ) = λ det(a 1,...,A j,...a n ) (iii) det(i n ) = 1 Stesse proprietà valgono per le colonne 7 / 44

8 Permutazioni Dato un insieme X, sia S(X) = { f : S S: f biettiva} Definiamo su S(X) la seguente operazione : S(X) S(X) S(X) (f,g) f g := f g, S(X) munito dell operazione è un gruppo 8 / 44

9 Sia adesso X un sottoinsieme finito di N con S n = {x N: 1 x n} X può essere identificato n = #(X) Definizione Una permutazione su n elementi è una applicazione biunivoca da S n in sè. Denotiamo con σ n l insieme delle permutazioni su n elementi Denotiamo una permutazione τ : S n S n con ( ) 1 2 n τ = τ(1) τ(2) τ(n) #(σ n ) = n! La premutazione identità di σ n è ( ) 1 2 n 1 n = 1 2 n 9 / 44

10 Permutazione inversa Per ottenere la permutazione inversa basterà capovolgere la tabella e riordinare le colonne in modo tale da ottenere nella prima riga 1,2,,n. Esempio ( σ = ), la sua inversa si ottiene capovolgendo la tabella ( ) , e riordinando le colonne σ 1 = ( ). 10 / 44

11 Prodotto di permutazioni Date due permutazioni ( ) 1 2 n σ = σ(1) σ(2) σ(n) ( 1 2 n τ = τ(1) τ(2) τ(n) ), il prodotto σ τ, sarà ( σ τ = 1 2 n σ(τ(1)) σ(τ(2)) σ(τ(n)) ). 11 / 44

12 Esempio Siano ( σ = ) ( τ = ) ( σ τ = ) 12 / 44

13 Cicli, trasposizioni Definizione Un ciclo di σ n, di lunghezza k n è una permutazione τ per cui esistono k elementi distinti i 1,,i k S n tali che: τ(i 1 ) = i 2, τ(i 2 ) = i 3,, τ(i k 1 ) = i k, τ(i k ) = i 1 τ(j) = j per qualunque j S n {i 1,,i k } Esempio La permutazione ( τ = ) è un ciclo di lunghezza 3 sugli elementi (1 4 3) Un ciclo sarà indicato con τ = (i 1... i k ) 13 / 44

14 Definizione Un ciclo di lunghezza 2 è detto trasposizione Esempio La permutazione ( τ = ) è una trasposizione Esercizio Se τ è una trasposizione τ 2 = τ τ = 1 Definizione Due cicli (i 1 i k ),(j 1 j s ) σ n sono detti disgiunti se gli insiemi {i 1,,i k } {j 1,,j s } sono disgiunti. 14 / 44

15 Esempio ( τ = ) ( σ = ) τ = (143) σ = (25) Esercizio Il prodotto di due cicli disgiunti è commutativo Proposizione Ogni permutazione non identica si scrive in modo unico (a meno dell ordine) come prodotto di cicli disgiunti. 15 / 44

16 Sia σ σ n Come si calcolano i cicli disgiunti di cui σ è il prodotto? 1 σ(1) σ(σ(1)) σ k (1) = 1 Abbiamo il ciclo (1σ(1) σ k 1 (1)) Sia j S n {1, σ(1),, σ k 1 (1)} operando come prima si trova il secondo ciclo e così via 16 / 44

17 Esempio ( τ = ) τ(1) = 4 τ 2 (1) = τ(τ(1)) = τ(4) = 3 τ 3 (1) = τ 2 (4) = τ(3) = 1 Il primo ciclo è (143) Se prendiamo 2 si trova il ciclo (2986) L ultimo ciclo è la trasposizione (57) τ = (143)(2986)(57) 17 / 44

18 Dato un ciclo (i 1,,i k ) Questo è uguale al seguente prodotto di trasposizioni: (i k, i k 1 )(i k, i k 2 ) (i k, i 2 )(i k, i 1 ) o (i 1, i k )(i 1 i k 1 ) (i 1, i 3 )(i 1, i 2 ) Esempio Il ciclo (143) i 3 = 3,i 2 = 4,i 1 = 1 ( ) (143) = (34)(31) ( = ) ( ) Proposizione Ogni permutazione può essere scritta (non necessariamente in modo unico) come prodotto di trasposizioni. 18 / 44

19 Esempio ( τ = ) τ = (143)(2986)(57) = (34)(31)(68)(69)(62)(57) 19 / 44

20 Segno di una permutazione Definizione Data una permutazione σ σ n, una inversione per σ è una coppia (i,j) S n S n tale che i < j e σ(i) > σ(j) Denoteremo con i(σ) il numero totale di inversioni di σ e poniamo ε(σ) := ( 1) i(σ) Definizione Una permutazione σ è detta: pari se ε(σ) = 1 dispari se ε(σ) = 1 20 / 44

21 Esempio ( τ = ) Le coppie (1,3),(1,4),(1,6),(2,3),(2,4),(2,6),(4,6),(5,6),(5,7) sono tutte le inversioni di τ e quindi τ è dispari 21 / 44

22 Proposizione Assegnata una permutazione σ, il numero delle trasposizioni di cui σ è prodotto è sempre pari o sempre dispari a seconda che la permutazione sia pari o dispari. Proposizione Per una permutazione σ si ha ε(σ) = ( 1) #t dove #t è il numero di trasposizioni di una sua qualunque decomposizione Proposizione 1 ε(1) = 1 2 se t è una trasposizione allora ε(t) = 1 3 σ,τ σ n si ha ε(στ) = ε(σ)ε(τ) 4 σ σ n si ha ε(σ 1 ) = ε(σ) 5 se t è una trasposizione, σ σ n si ha ε(σt) = ε(σ) 22 / 44

23 il prodotto di due permutazioni pari è pari il prodotto di due permutazioni dispari è pari. Indichiamo con A n L n l insieme delle permutazioni pari l insieme delle permutazioni dispari Esercizio un gruppo. Esercizio Dimostrare che A n munito del prodotto di parmutazioni è Dimostrare che data la trasposizione (h k) l applicazione ϕ h,k : A n L n definita da è biunivoca. ϕ h,k (σ) = σ (h k) 23 / 44

24 ( 1 i j n σ = σ(1) σ(i) σ(j) σ(n) Se moltiplichiamo σ per la trasposizione (i j) otterremo ( ) 1 i j n σ (ij) = σ(1) σ(j) σ(i) σ(n) Moltiplicando per un certo numero trasposizioni, diciamo t 1, t k, si ottiene la permutazione identità. ) σt 1 t 2 t k = 1 σt 1 t 2 t k t k = 1t k σt 1 t 2 t k 1 = t k σ = t k t k 1 t 1 24 / 44

25 Esempio ( ) τ = ( ) τ(57) = ( ) τ(57)(13) = ( ) τ(57)(13)(26) = ( τ(57)(13)(26)(34) = ) τ(57)(13)(26)(34) = 1 τ è una permutazione pari τ = (34)(26)(13)(57) 25 / 44

26 Determinante di una matrice quadrata Definizione Data una matrice quadrata A = (a ij ) di ordine n, chiameremo determinante di A il numero reale così definito: det(a) := τ σ n ε(τ) a 1τ(1) a 2τ(2) a nτ(n) nella definizione appare un addendo per ogni permutazione su n elementi, per un totale di n! addendi ogni addendo è il prodotto di n entrate che si trovano tutte in righe diverse e colonne diverse Data la matrice A = (a ij ), denoteremo il determinante di A anche con con a ij 26 / 44

27 Il caso 1 1 det(a) := τ σ n ε(τ) a 1τ(1) a 2τ(2) a nτ(n) A = (a 11 ) det(a) = τ σ 1 ε(τ) a 1τ(1) = a / 44

28 Il caso 2 2 σ 2 = {1,σ = (2,1)} con ε(σ) = 1 a 11 a 12 a 21 a 22 = ε(τ) a 1τ(1) a 2τ(2) τ σ 2 = ε(1)a 11(1) a 21(2) + ε(σ)a 1σ(1) a 2σ(2) = a 11 a 22 a 12 a / 44

29 Il caso 3 3 Ci sono 6 permutazioni su 3 elementi: ( )( )( )( )( )( ) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ε(τ) a 1τ(1) a 2τ(2) a 3τ(3) τ σ 3 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a / 44

30 Proposizione Il determinante di una matrice quadrata gode delle seguenti proprietà: (i) det(a 1,...,A n ) = 0 se A i = A j per qualche i j (ii) det(a 1,...,A j + B j,...a n ) = det(a 1,...,A j,...a n ) + det(a 1,...,B j,...a n ) det(a 1,...,λ A j,...a n ) = λ det(a 1,...,A j,...a n ) (iii) det(i n ) = 1 (iv) det(a) = det(a t ) 30 / 44

31 Dimostrazione di (iv) deta := τ σ n ε(τ) a 1τ(1) a nτ(n) deta t := σ σ n ε(σ) a σ(1)1 a σ(n)n a 1τ(1) a 2τ(2) a nτ(n) =a τ 1 (τ(1))τ(1) a τ 1 (τ(n))τ(n) =a τ 1 (1)1 a τ 1 (n)n deta = τ σ n ε(τ) a 1τ(1) a nτ(n) = τ 1 σ n ε(τ) a 1τ(1) a nτ(n) = ε(τ 1 ) a τ 1 (1)1 a τ 1 (n)n τ 1 σ n = ε(σ) a σ(1)1 a σ(n)n = deta t σ σ n 31 / 44

32 Dimostrazione di (i) Supponiamo che la riga h sia uguale alla riga k con h < k a hi = a ki i Ogni permutazione dispari σ si può scrivere come con τ pari σ = τ (h k) a 1σ(1) a nσ(n) = a 1τ (hk)(1) a nτ (hk)(n) σ L n τ A n deta = ε(σ) a 1σ(1) a nσ(n) σ σ n = a 1τ(1) a nτ(n) a 1σ(1) a nσ(n) τ A n σ L n = a 1τ(1) a nτ(n) a 1τ (hk)(1) a nτ (hk)(n) τ A n τ A n = τ A n [ a1τ(1) a hτ(h) a k τ(k) a nτ(n) a 1τ(1) a hτ(k) a k τ(h) a nτ(n) ] =0 32 / 44

33 Dimostrazione di (ii) e (iii) Esercizio 33 / 44

34 Ulteriori proprietà del determinante 1 se una riga (o una colonna) della matrice A è nulla, allora det(a) = 0 2 se B si ottiene da A permutando le righe con una permutazione σ, allora si ha detb = ε(σ)deta 3 se B = λa allora detb = λ n deta 4 se A = (A 1,,A j 1, s α s B s,a j+1,,a n ) allora si ha deta = α s det(a 1,,A j 1,B s,a j+1,,a n ) s 5 il determinante di una matrice non cambia se ad una sua riga (rispettivamente colonna) si somma una combinazione lineare delle altre righe (rispettivamente colonne). 34 / 44

35 Teorema (Binet) Date due matrici quadrate A,B M n si ha: det(ab) = detadetb Corollario Se una matrice quadrata A è invertibile allora deta 0, det(a 1 ) = 1 deta Dimostrazione Se A è invertibile, allora esiste A 1 tale che A 1 A = AA 1 = I det(a 1 A) = 1 Applicando il Teorema di Binet si ha det(a 1 )deta = 1 deta 0 det(a 1 ) = 1 deta 35 / 44

36 Dimostrazione del Teorema di Binet Sia A = (a ij ) e B = (b ij ) allora C = AB = (c ij ) dove c ij = a ik b kj k Usando la notazione per righe si trova dove C = (C 1,...,C n ) = ( k det(c) = det( k = k a 1k B k,..., k a 1k det(b k,..., k a 1k B k,..., k a nk B k ) a nk B k ) a nk B k ) = d D n a 1d(1) a 2d(2) a nd(n) det(b d(1),...,b d(n) ) rappresenta le disposizioni con ripetizione di n oggetti. D n 36 / 44

37 Dimostrazione del Teorema di Binet det(c) = a 1d(1) a 2d(2) a nd(n) det(b d(1),...,b d(n) ) d D n = a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) det(b σ(1),...,b σ(n) ) σ σ n = a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) ε(σ)det(b) σ σ n = ε(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) det(b) σ σ n = det(a) det(b) 37 / 44

38 Sottomatrici e minori Definizione Data una matrice A M m n e dei numeri naturali 1 i 1 < i 2 < i k m e 1 j 1 < j 2 < j l n la sottomatrice di A individuata da I = {i 1,i 2,,i k }, J = {j 1,j 2,,j l } è la matrice B con k righe e l colonne definita come segue: [B] sr := a is j r Quando k = l, la matrice B è quadrata e sarà detta minore di A di ordine k 38 / 44

39 Esempio a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 I = {2,3}, J = {2,3,4} La sottamatrice individuata da I e J è ( a22 a 23 ) a 24 a 32 a 33 a 34 I = {1,3}, J = {2,4} La sottamatrice individuata da I e J è ( a12 ) a 14 a 32 a / 44

40 Definizione Data una matrice quadrata A di ordine n ed una sua entrata a ij, diremo minore complementare di a ij il minore di ordine n 1 ottenuto da A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna. Tale minore sarà denotato con M ij Il complemento algebrico o cofattore di a ij è il numero reale definito come segue: A ij := ( 1) i+j detm ij Teorema (Primo teorema di Laplace) Sia A M n, allora per ogni h = 1,,n, si ha: deta = n j=1 a hj A hj = n i=1 a ih A ih 40 / 44

41 Teorema (Secondo teorema di Laplace) Sia A M n, allora per ogni h,k = 1,,n, si ha: n j=1 a hj A kj = n i=1 a ih A ik = deta δ hk Definizione Data una matrice quadrata A, definiamo aggiunta di A, la matrice: Ad(A) := (A ij ) t, Il secondo teorema di Laplace può essere espresso come segue: A Ad(A) = Ad(A) A = (deta)i n 41 / 44

42 Teorema Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo Dimostrazione Se A è invertibile, per il teorema di Binet deta 0 Viceversa, se deta 0, per il secondo teorema di Laplace dividendo per det A A Ad(A) = Ad(A) A = (deta) I n A Ad(A) deta = Ad(A) deta A = I n A è invertibile con inversa A 1 = Ad(A) deta 42 / 44

43 Torniamo ai sistemi Consideriamo il sistema quadrato AX = B, A M n, X,B M n1 Se det(a) 0 A 1 A 1 AX = A 1 B X = A 1 B x i = [A 1 ] ik b k = k k [Ad(A)] ik deta b k = k [Ad(A)] ik b k deta x i = k A ki b k deta = k b k A ki deta 43 / 44

44 Dal 1 o Teorema di Laplace x i = k b k A ki deta deta = a ki A ki k b 1 a 12 a 1n a 11 b 1 a 1n b 2 a 22 a 2n a 21 b 2 a 2n b 1 a n2 a nn a n1 b n a nn x 1 =, x 2 = deta deta a 11 a 1(i 1) b 1 a 1(i+1) a 1n a 21 a 2(i 1) b 2 a 2(i+1) a 2n a n1 a n(i 1) b n a n(i+1) a nn x i = deta Questa regola prende il nome di Regola di Cramer 44 / 44