4. Permutazioni di un insieme finito

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1 4 Permutazioni di un insieme finito Considerato un insieme finito non vuoto X studieremo l insieme SX) delle permutazioni di X La prima osservazione da fare è che non importa il nome e la natura degli elementi di X mentre è ovviamente importante come gli elementi di X vengono mossi dalle singole permutazioni È lecito quindi ed è prassi comune identificare tali elementi con i numeri naturali Se quindi X ha cardinalità n 1 potremo identificare X con { n} e denotare SX) semplicemente con S n Dunque S n denota l insieme delle permutazioni di ogni insieme di n elementi Per indicare le permutazioni di S n vengono spesso usate lettere dell alfabeto greco come σ τ ecc In base al Coroll 1 di Cap 12 S n ha cardinalità n! Dobbiamo però stabilire la strategia da adottare per poter scrivere tutte queste n! permutazioni Possiamo procedere come segue Prima consideriamo tutte le permutazioni che trasformano 1 in 1 Si tratta di n 1)! permutazioni [quelle che permutano gli elementi dell insieme {2n}] Poi consideriamo quelle che trasformano 1 in 2 Si tratta ancora di n 1)! permutazioni [quelle che permutano gli elementi dell insieme {1 3 n}] Procediamo in questo modo fino ad ottenere n insiemi a due a due disgiunti) formati ciascuno da n 1)! permutazioni cioé complessivamente per il principio generalizzato della somma) n! permutazioni Ora cerchiamo un modo efficiente per indicare come una permutazione σ n agisce sui singoli elementi di X Ovviamente ponendo σ i al posto di σi) possiamo scrivere 1 σ 1 2 σ 2 σ : n σ n Ma per economia di spazio è preferibile scrivere la stessa σ nella forma 1 2 n σ 1 σ 2 σ n convenendo quindi che ogni elemento della prima riga sia mandato da σ in quello disposto esattamente al di sotto Ad esempio la permutazione identica 1 X di S 4 si scrive nella forma Nel seguito del paragrafo troveremo però unmodo più economico ad una sola riga) per scrivere le permutazioni Due permutazioni possono ovviamente essere composte secondo l operazione di prodotto operatorio o composizione) Se quindi σ τ n allora 1 2 n τ τ σ1 τ σ2 τ σn Se ad esempio τ= allora τ = Osserviamo poi che nel calcolare τ σ prima agisce σ epoi τ Quindi come sopra evidenziato occorre seguire a ritroso l azione di τ σ sugli elementi 1 2 n Poichéciòè in contrasto con

2 22 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA la nostra abitudine di leggere da sinistra verso destra scriveremo στ al posto di τ σ per cui στ = ) = ) = τ σ Dunque abbiamo convenuto di definire στ = τ σ σ τ n Tale convenzione non è generalmente adottata nei testi matematici che si occupano di questi argomenti Molti preferiscono mantenerere la notazione con il prodotto operatorio e leggere a ritroso l azione della composizione sui singoli elementi Sappiamo che ogni permutazione σ in quanto applicazione biiettiva è dotata di inversa σ 1 Assegnata σ possiamo subito ottenere σ 1 osservando che se σ : i σ i allora σ 1 : σ i i Dunque per determinare σ 1 basta associare ad ogni elemento la sua immagine guardando σ dal basso verso l alto Ad esempio se allora σ 1 = [Si verifichi che σ 1 1 X = σσ 1 ] Si osserva subito che σ n risulta: σ 1 X = 1 X σ Dunque la permutazione identica 1 X funge da elemento neutro rispetto all operazione di composizione Un altro fatto da osservare è che in generale στ τσ cioè che la composizione di permutazioni non è in generale un operazione commutativa Ad esempio scelti in S 3 : τ= si ha: στ = τσ= Per semplificare le notazioni porremo nel seguito n 1: σ n := σ }{{ σ } σ 0 := 1 X σ n := σ 1 ) n n fattori Ne segue che n m Z: σ n+m = σ n σ m Come promesso presentiamo ora un modo più economico di scrivere le permutazioni bisogno di introdurre certe permutazioni speciali dette cicli Abbiamo Definizione 1 Sia σ n esia k un intero tale che 1 k n La permutazione σ è detta ciclo o k-ciclo o ciclo di lunghezza k se c 1 c k X a due a due distinti tali che σc 1 )= σ )=c 3 σc k 1 )=c k σc k )=c 1 e σt) =t t X t c 1 c k Tale k-ciclo σ è usualmente denotato c 1 c k ) ovvero più brevemente c 1 c k ) I 2-cicli vengono anche chiamati trasposizioni Diremo poi per brevità che i naturali c 1 c k sono elementi del ciclo c 1 c k ) Infine due cicli di S n di lunghezza 2 sono detti cicli disgiunti se non hanno elementi in comune Ad esempio considerata in S 5 la permutazione si osserva subito che essa è il 5-ciclo 5) Tale ciclo può essere anche scritto in altre forme:

3 CAP 14 PERMUTAZIONI DI UN INSIEME FINITO 23 infatti 5) = ) = 34512)=45123)=51234) Più in generale possiamo dire che se 2 k n ogni k-ciclo si scrive in k modi diversi [basta iniziarne la scrittura da uno qualsiasi dei suoi k elementi e scriverli tutti mantenendone l ordine con una sorta di rotazione oraria ] Di 1-cicli ne esiste uno solo e coincide con la permutazione identica 1 X Infatti t X l 1-ciclo t) fissa ogni elemento di X Ovviamente t) =s) s X È facile assegnato un ciclo di S n scriverlo in forma di permutazione 4-ciclo 3541) 6 risulta: Ad esempio considerato il e quindi scrivendo anche le immagini degli altri due elementi che restano fissi) si ottiene Osservazione 1 i) Tutte le permutazioni di S 1 S 2 S 3 sono cicli Infatti: S 1 = {1)} S 2 = {1) 1 2)} S 3 = {1) 1 2) 1 3) 2 3) ) 1 3 2)} Si noti che i cicli scritti sopra vanno ) ovviamente interpretati nel corrispondente S n ) Ad esempio ) 2 è la permutazione mentre 1 2) è la permutazione ii) Non ogni permutazione σ n è un ciclo Ad esempio la permutazione non è un ciclo Si vede subito però che essa contiene due cicli disgiunti e cioè le due trasposizioni 1 2) e 3 4) In effetti essa è proprio il prodotto di queste due trasposizioni Infatti 1 2) 3 4) = = = σ Tale fatto non è casuale come messo in luce nella successiva Prop1 iii) Come si ottengono i cicli a due a due disgiunti) di una permutazione non identica σ n? Si apra un ciclo con l elemento 1 X e si considerino successivamente gli elementi σ1) σσ1)) = σ 2 1) σσσ1))) = σ 3 1) Si continui con questa procedura finché tali elementi sono 1; appena si incontrerà l elemento 1 si interrompa il procedimento e si otterrà così il ciclo := 1σ1) σσ1)) σσσ1))) ) Si passi ora ad aprire un altro ciclo a partire dal più piccolo naturale di X rimasto estraneo al ciclo Si ottiene nello stesso modo un nuovo ciclo disgiunto dal precedente Dopo un numero finito di passi tutti gli elementi di X si troveranno all interno di un unico) ciclo ed il procedimento termina Ad esempio se si ottengono i cicli 1 2) 3) 4) 5 7 6) Si può verificare eseguendo il prodotto di tali cicli che 1 2) 3) 4) 5 7 6) = 1 2) 5 7 6) = σ [si noti che gli 1-cicli 3) 4) possono essere omessi dal prodotto in quanto coincidono con 1 X ] Dunque σ è prodotto dei suoi cicli disgiunti di lunghezza 2 Proposizione 1 Ogni permutazione non identica σ n è prodotto dei suoi cicli disgiunti di lunghezza 2 Dim Sia σ 1 X e siano γ t tutti i cicli a due a due disgiunti) di σ di lunghezza 2 Bisogna verificare che γ t cioè che x X risulta σx) = γ t )x)

4 24 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Se x non appartiene ad alcuno dei cicli γ i allora σx) =x = γ t )x) Altrimenti sia γ i l unico k-ciclo di σ contenente x Allora: γ i = x σx) σ 2 x) σ k 1 x) ) Si ha: γ t )x) =γ t )x) =γ t γ i )x) =γ t γ i+1 )σx)) = = σx) in quanto x non appartiene ai cicli γ i 1 e σx) non appartiene ai cicli γ i+1 γ t in quanto appartene a γ i ) Dunque è provato che γ t Osservazione 2 i) Due cicli disgiunti di S n commutano Siano infatti =c 1 c k ) e =d 1 d 2 d h ) due cicli disgiunti di S n Si tratta di verificare che )x) = )x) x X Se x X {c 1 c k d 1 d h } allora x) = x) =x e dunque )x) = )x) =x Se invece x {c 1 c k } si ha: )x) = )x) = x)) = x) [perché x) {d 1 d h }] )x) = )x) = x)) = x) [perché x {d 1 d h }] Se infine x {d 1 d h } si ottiene ancora con analoghe considerazioni che )x) = )x) ii) Ogni k-ciclo k 2) è sempre esprimibile come prodotto di k 1 trasposizioni non disgiunte Infatti si verifica con calcolo diretto che: c 1 c k )=c 1 )c 1 c 3 ) c 1 c k ) Ne segue che ogni permutazione σ è esprimibile come prodotto di sole trasposizioni a due a due non disgiunte) iii) Si verifica con calcolo diretto che l inverso del k-ciclo c 1 c k 1 c k )èil k-ciclo c k c k 1 c 1 ) Infatti c 1 c k 1 c k )c k c k 1 c 1 )=c 1 ) ) c k 1 )c k )=1 X Dalla Prop1 e dall Osserv2ii) segue che ogni permutazione è rappresentabile come prodotto di trasposizioni a due a due non necessariamente disgiunte) Ma tale rappresentazione non è unica Ad esempio il 4-ciclo 1423) 4 si può indifferentemente scrivere nella forma 1 2)1 3)2 4) ovvero 1 4)1 2)1 3) ovvero 1 2)2 3)1 3)1 2)2 4) ed in tanti altri modi C è però una proprietà significativa da sottolineare [per la dimostrazione che non è immediata si rinvia ad esempio a wwwmatuniroma1it/people/campanella Appunti di Algebra 1 Cap 43 pag 153] Eccola Proposizione 2 Assegnata una permutazione σ n il numero delle trasposizioni di cui σ è prodotto è sempre pari o sempre dispari Ad esempio abbiamo appena visto che la permutazione 1423) 4 è prodotto di tre oppure di cinque trasposizioni La precedente proposizione ci dice che non avrebbe potuto essere prodotto di un numero pari di trasposizioni Si noti poi che la permutazione identica 1 X n n 2) è prodotto di un numero pari di trasposizioni Infatti ad esempio 1 X = 1 2)1 2) Definizione 2 Una permutazione σ n è detta di classe pari se è esprimibile come prodotto di un numero pari di trasposizioni Altrimenti è detta di classe dispari L insieme delle permutazioni di classe pari è denotato A n Osservazione 3 i) Se una permutazione σ n è prodotto di t cicli γ t aventi lunghezze t rispettivamente k 1 k t la parità di σ è data dalla parità del numero k i 1) [infatti γ i è prodotto di k i 1 trasposizioni cfr Osserv 2ii))] i=1

5 CAP 14 PERMUTAZIONI DI UN INSIEME FINITO n ii) Ci chiediamo come assegnata una permutazione σ 1 σ 2 σ n se ne possa n calcolare la parità direttamente senza cioè ricorrere alla sua scrittura come prodotto di cicli Per ogni k =1 n si pone Iσ k) := { σ j : j>k e σ j <σ k } [Tale numero è detto k-simo numero delle inversioni di σ; si tratta della cardinalità dei σ j di σ k che seguono σ k nella seconda riga di σ)] Ovviamente Iσ n) = 0 Si pone poi: [detto numero delle inversioni di σ ] Iσ) :=Iσ 1) + + Iσ n 1) Si potrebbe verificare che: σ è di classe pari Iσ) è un numero pari 5 6 Ad esempio sia Si ha: Iσ 1) = 5 Iσ 2) = 0 Iσ 3) = 3 Iσ 4)=1Iσ 5)=1 e quindi Iσ)= = 10 Pertanto σ è di classe pari In effetti risulta: 1 6 2)3 5 4) = 1 6)1 2)3 5)3 4) minori Vogliamo ora elencare le 24 permutazioni di S 4 scrivendole direttamente come prodotto dei loro cicli disgiunti È conveniente suddividerle rispetto a quella che viene chiamata struttura ciclica Tra le permutazioni di S 4 ci potranno essere [oltre alla permutazione identica 1))] 2-cicli 3-cicli 4-cicli e coppie di 2-cicli disgiunti Si ottengono le 24 permutazioni: 1) [unico 1-ciclo classe pari)]; 1 2) 1 3) 1 4) 2 3) 2 4) 3 4) [2-cicli classe dispari)]; 1 2)3 4) 1 3)2 4) 1 4)2 3) [coppie di 2-cicli disgiunti classe pari)]; { 123) 124) 1 3 4) 2 3 4) 132) 142) 1 4 3) 2 4 3) [3-cicli classe pari)]; 1234) ) ) 1342) 1423) ) [4-cicli classe dispari)] [Si noti che per ottenere tutti i 4-cicli abbiamo fissato come primo elemento 1 e poi permutato gli altri tre elementi; per elencare i 3-cicli abbiamo scritto sulla prima riga tutte le sequenze crescenti di tre interi da 1 a 4) e sotto in corrispondenza di ciascun 3-ciclo il suo inverso] Osservazione 4 Il lettore attento avrà probabilmente osservato che in S 4 esistono 12 permutazioni di classe pari ed altrettante di classe dispari Si sarà quindi chiesto se tale uguaglianza è un fatto casuale o no La risposta è che non si tratta di un fatto casuale Dimostriamolo Se moltiplichiamo una permutazione σ per un 2-ciclo ne cambiamo la parità cioè trasformiamo una permutazione pari in una dispari e viceversa) Consideriamo allora la seguente applicazione ϕ : S n S n tale che ϕσ) = 1 2) σ σ n L applicazione ϕ è biiettiva Infatti ϕ ϕ è l applicazione identica su S n [essendo ϕ ϕ)σ) = 1 2) 1 2) σ ) = σ] e dunque ϕ ammette inversa se stessa) Poiché ϕ trasforma l insieme A n delle permutazioni pari nell insieme complementare S n A n delle permutazioni dispari e viceversa) allora A n = S n A n Il numero delle permutazioni pari e

6 26 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA delle dispari) è n! 2 ESERCIZI PROPOSTI 141 Sia )5 6) 6 Determinare il minimo intero k 1 tale che σ k =1 X 142 Stesso esercizio con 1 3 2)4 5) Scrivere tutte le permutazioni di S 5 che contengono il ciclo 1 2) 144 Assegnate le permutazioni σ 1 = 1342) σ 2 = 2 5)3 4) 5 determinare la permutazione τ 5 tale che σ 2 = τσ Scrivere la tavola pitagorica di S 3 cioè latavola 6 6 formata da tutti i prodotti σ i σ j al variare di σ i σ j in S i) Verificare che se σ n è una permutazione di classe dispari non esiste alcuna permutazione α n tale che α 2 = σ ii) Determinare α 6 tale che α 2 = ) 4 5 6) iii) Spiegare perché non esiste α 6 tale che α 2 = 1 2) ) 147 i) Verificare che σ n k N k 1 tale che σ k =1 X ii) Verificare che σ τ n l equazione di primo grado) σx = τ ammette una ed una sola soluzione in S n ) 148 Determinare per quali σ 4 l equazione X 2 = σ è risolubile 149 In S 5 sono assegnati un 3-ciclo σ ed un 2-ciclo τ disgiunti tra loro Sia H l insieme formato dalle permutazioni di S 5 ottenibili come prodotti finiti di σ edi τ Determinare le permutazioni di H e verificare se H è un sottogruppo di S i) Quanti sono i 3-cicli di S 6? ii) Quante sono le permutazioni di S 6 che sono prodotto di due 3-cicli disgiunti?