Calcolo delle Probabilità 2013/14 Foglio di esercizi 2

Transcript

1 Calcolo delle Probabilità 2013/1 Foglio di esercizi 2 Calcolo combinatorio. Esercizio 1. In un mazzo di 52 carte da Poker ogni carta è identificata da un seme (cuori, quadri, fiori, picche e da un tipo (un numero da 1 a 10 oppure J, Q, K. Quindi il mazzo di carte può essere identificato con l insieme M := {1, 2, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} {,,, }. Una mano consiste di 5 carte estratte dal mazzo, ossia un elemento dell insieme Ω := {A M : A = 5}. Munendo Ω della probabilità uniforme, si calcoli la probabilità di ottenere i seguenti punti (in ordine decrescente di valore: (a scala reale (5 carte dello stesso seme e con tipi crescenti in progressione aritmetica di passo 1, per es. {5, 6, 7, 8, 9 }, {8, 9, 10, J, Q }; le progressioni ammissibili sono {1, 2, 3,, 5}, {2, 3,, 5, 6},..., {9, 10, J, Q, K} e infine {10, J, Q, K, 1}; (b poker ( carte dello stesso tipo, la quinta arbitraria; (c full (3 carte dello stesso tipo, le altre 2 carte dello stesso tipo, ovviamente diverso dal precedente; (d colore (5 carte dello stesso seme, ma non sono in progressione aritmetica di passo 1; (e scala semplice (5 carte con tipi crescenti in progressione aritmetica di passo 1, cf. la scala reale, ma non tutte dello stesso seme; (f tris (3 carte dello stesso tipo, le altre 2 arbitrarie, ma tali da non produrre un poker né un full; (g doppia coppia (2 carte dello stesso tipo, 2 altre carte dello stesso tipo diverso dal precedente, la quinta carta arbitraria, ma tale da non produrre un full; (h coppia (2 carte dello stesso tipo, le altre 3 arbitrarie, ma tali da non produrre un tris né un poker né un full. Esercizio 2. In una estrazione del Lotto su una determinata ruota vengono estratti a caso 5 numeri tra 1 e 90. Si calcoli la probabilità di fare: (a ambata giocando un numero n (cioè n è tra i 5 numeri estratti; (b ambo giocando due numeri n, m (cioè n e m sono tra i 5 numeri estratti; (c terno giocando tre numeri n, m, k (cioè n, m e k sono tra i 5 numeri estratti; [Nella realtà che le vincite vengono pagate molto meno di quanto sarebbe equo : per l ambata si oggiene volte la giocata (invece di 18, per l ambo 250 volte (invece di 00.5, per il terno 500 volte (invece di 1178.] Esercizio 3. Si lanciano 12 dadi. Qual è la probabilità che ognuno dei numeri 1, 2, 3,, 5, 6 compaia esattamente 2 volte? Ultima modifica: 9 ottobre 2013.

2 2 Esercizio. 21 passeggeri salgono su un treno della metropolitana vuoto formato da 3 vagoni, e ognuno sceglie a caso il vagone su cui viaggiare. Si calcoli la probabilità che (a ci siano passeggeri nel primo vagone; (b ci siano 7 passeggeri in ciascun vagone; (c 5 persone siano su un vagone, 6 su un altro e 10 sul rimanente. Esercizio 5. Quattro coppie di sposi salgono su un minibus con otto posti a sedere, disposti in quattro coppie di sedili adiacenti. Se le otto persone scelgono i posti in modo casuale, qual è la probabilità che ciascuno sposo sieda accanto alla propria consorte? Esercizio 6. Una lotteria emette n biglietti, di cui m < n sono vincenti. Qual è la probabilità che un possessore di r biglietti ne abbia almeno uno di vincente? Esercizio 7. Si supponga di avere un mazzo di n chiavi diverse. Dovendo aprire una serratura di cui si ha la chiave, si provano a caso le n chiavi, mettendo da parte quello già provate, fino a che non si è trovata la chiave giusta. Qual è la probabilità di trovare la chiave giusta dopo k tentativi, con 1 k n? Esercizio 8. Si eseguano n estrazioni casuali con reimmissione da un urna contenente 2n oggetti distinti. Sia p n la probabilità che gli n oggetti estratti siano tutti diversi. (a Determinare p n. (b Introduciamo la notazione a n b n per indicare che a n /b n 1 per n. Usando la formula di Stirling n! n n e n 2πn, si mostri che p n cϱ n, determinando c e ϱ. Esercizio 9. n paia di guanti vengono mescolate, e poi distribuite a caso a n persone (due guanti per persona. (a Qual è la probabilità p n che ognuno riceva un guanto per la mano destra e uno per la sinistra? (b Si determini il comportamento asintotico p n per n usando la formula di Stirling n! n n e n 2πn.

3 3 Soluzione 1. Detto M l insieme delle carte del mazzo, uno spazio di probabilità naturale è Ω = {B M : B = 5} munito della probabilità uniforme, per cui P(A = A / Ω = A / ( 52 5 per ogni A Ω. (a scala reale: ( 5 10 = 0 (b poker: ( = 62 = = = % = 0.02%. (c full: ( ( 3 2 = = 0.1%. (d colore: ( 5 ( = = 0.20%. (e scala semplice: ( 5 10 ( = = = 0.39%. (f tris: ( ( 2 3 = = 2.1%. (g doppia coppia: ( 5 13 ( 2 11 ( 2 2 = =.8%. (h coppia: ( 5 13 ( = 0.2 = 2%. Soluzione 2. Uno spazio di probabilità naturale è Ω = {B {1,..., 90} : B = 5} munito della probabilità uniforme, per cui P(A = A / Ω = A / ( 90 5 per ogni A Ω. (a ambata (un numero giocando un numero: ( 5 89 = = 5.5%. (b ambo giocando due numeri: ( = = 0.2%. (c terno giocando tre numeri: ( = = %. Soluzione 3. Si sceglie Ω = {f : {1,..., 12} {1, 2, 3,, 5, 6}} munito della probabilità uniforme. Se A è l evento in questione, scegliere un elemento di A significa scegliere i due dadi che danno 1 (ossia la coppia di valori {i, j} {1,..., 12} tali che f(i = f(j = 1, quindi i due che danno 2, e così via. Allora P(A = A Ω = ( 12 ( ( 8 ( 6 ( Soluzione. Numerati i passeggeri e i vagoni, lo spazio di probabilità naturale è Ω = {f : {1,..., 21} {1, 2, 3}} munito della probabilità uniforme. Chiaramente Ω = Calcoliamo i casi favorevoli dei vari punti. (a L evento in questione è A = {f Ω : f 1 (1 = }. Si noti che J := f 1 (1 {1,..., 21} è l insieme dei passeggeri che siedono nel 1 o vagone, per cui ci sono ( 21 possibili modi di effettuare questa scelta. Resta da definire f su {1,..., 21} \ J, ossia restano da piazzare i restanti 21 = 17 passeggeri che siedono nel 2 o e 3 o vagone: per questa scelta ci sono 2 17 modi possibili, per cui A = ( La probabilità cercata è dunque: P(A = A ( 21 Ω = (b Ci devono essere 7 passeggeri per ogni vagone. I casi favorevoli sono allora: ( ( ( = 21! 1! 7! !1! 7!7! 7!0! = 21! (7! 3.

4 La probabilità cercata è: 21! (7! (c Conto prima il numero di casi favorevoli all evento 5 sul I vagone, 6 sul II e 10 sul III. Si hanno ( ( ( casi. Ora moltiplicando questo numero per 3!, cioè il numero di modi di permutare i 3 vagoni ottengo i casi favorevoli, e la probabilità cercata è: ( 21 ( ! Soluzione 5. Indicato con S l insieme delle otto persone e P quello degli otto sedili, uno spazio di probabilità naturale è Ω = {f : P S biunivoche}, per cui Ω = 8!. Detto A Ω l evento che ogni sposa sieda accanto al proprio consorte, è facile vedere che gli elementi di A si possono determinare scegliendo il posto della prima sposa, quindi quello di suo marito, poi quello della seconda sposa,quindi quello di suo marito, ecc. Si ottiene dunque A = = 8 6 2, da cui P(A = A / Ω = 1/( Soluzione 6. Possiamo scegliere Ω = insieme dei sottoinsiemi di r elementi dell insieme degli n biglietti. Se A è l evento in questione, A c è l insieme dei sottoinsiemi di r elementi degli n m biglietti non vincenti. Allora P(A = 1 P(A c = 1 ( n m r ( n r. Soluzione 7. Sia Ω l insieme delle permutazioni delle n chiavi, e diciamo che la chiave giusta sia la numero 1. L evento in questione è {σ Ω : σ(1 = k}, che ha cardinalità (n 1!. Da ciò segue subito che la probabilità richiesta è (n 1!/n! = 1/n. Soluzione 8. (a Il numero di sequenze di n estrazioni in cui gli oggetti estratti siano tutti diversi è 2n(2n 1 (n + 1 = (2n!. n! Perciò p n = (2n! n!(2n n. (b Usando la Formula di Stirling πn (2n 2n e 2n p n 2πn n n e n (2n ( 2 n 2, n e cioè c = 2 e ϱ = 2/e. Soluzione 9. Numeriamo i guanti da 1 a 2n, supponendo che i guanti di numero dispari (risp. pari siano quelli sinistri (risp. destri. Scegliamo quindi Ω = S 2n = {f : {1,..., 2n} {1,..., 2n} biunivoche} munito della probabilità uniforme. L interpretazione è la seguente: i guanti assegnati alla prima persona sono quelli con i numeri f(1, f(2; i guanti assegnati alla seconda persona sono quelli con i numeri f(3, f(; più in generale, i guanti assegnati

5 5 all i-esima persona, con 1 i n, sono quelli con i numeri f(2i 1, f(2i. L evento A che ci interessa è identificabile con il sottoinsieme delle f Ω tali che per ogni 1 i n la coppia di numeri {f(2i 1, f(2i} è costituita da un numero pari e da uno dispari. (a Gli elementi di A possono essere determinati scegliendo successivamente i valori f(1, f(2,..., f(2n 1, f(2n. Per f(1 ci sono 2n possibilità, mentre per f(2 soltanto n, poiché deve avere parità diversa da f(1; per f(3 ci sono 2n 2 = 2(n 1 possibili valori rimasti, mentre per f( le possibilità sono n 1; iterando il ragionamento, si ottiene A = 2n n 2(n 1 (n 1 2j j 2 1 = 2 n n! n! = 2 n (n! 2, per cui p n = P(A = A Ω = 2n (n! 2. (2n! (b Usando la formula di Stirling, si ottiene p n 2n n 2n e 2n 2πn (2n 2n e 2n 2π 2n π n 2 n.