Binomio di Newton. Pertanto, il numero di sottoinsiemi di S, compreso il sottoinsieme vuoto ; elostessos, è dato da. = 2 n, r. (a + b) n = a r b n r,

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1 Binomio di Newton Osserviamo che, volendo costruire un generico sottoinsieme I S, si deve eseguire una procedura di n passi, con alternative in ogni passo. Infatti, occorre decidere per ciascuno degli elementi a,...,a n se includerlo oppure no in I. Pertanto, il numero di sottoinsiemi di S, compreso il sottoinsieme vuoto ; elostessos, è dato da nx n n, r r0 come segue anche dalla formula del binomio di Newton ponendo a b : (a + b) n nx r0 n r a r b n r, G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag. 39

2 Combinazioni con ripetizione. Infine, in relazione al numero C 0 n,k di combinazioni (con ripetizione) di classe k di n oggetti, con un opportuno ragionamento combinatorio si potrebbe verificare che risulta : C 0 n,k k + n k k + n n In particolare si dimostra che il numero di soluzioni intere non negative di un equazione x + x x n k. è p a r i a. k + n k k + n n Questo argomento verrà trattato in seguito G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag. 0

3 Infatti, supponiamo di disporre k palline (indistinguibili) in n urne, dove x r,r,...,n individua il numero di palline presenti nella r esima urna. Il numero di dislocazioni distinte (poichè le palline sono indistinguibili si ha che due dislocazioni saranno distinte se esiste almeno un urna che nelle due dislocazioni ha un numero diverso di palline) è dato appunto dalle combinazioni con ripetizione di n elementi di classe k. Osserviamo per analogia che le n urne individuano gli n elementi e per ogni dislocazione il numero di palline contenute nella r esima urna individua il numero di ripetizioni (potendo essere nullo) dell oggetto r esimo. Scambiando k con n si ha n + k C 0 k,n n n + k k e l equazione diviene x + x x k n. G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag.

4 Coe ciente multinomiale. Dati k interi n r 0, r,,...,k,talichen + n + + n k n, sidefinisce coe ciente multinomiale il seguente: n! n!n! n k!. Esso individua il numero di modi in cui n palline distinte si possono ripartire in k urne in modo che la r esima urna contenga n r elementi. scatola scatola... scatola n n n... n k Infatti, indicando con U i,i...k la generica urna, vi sono palline dell urna U ; per ognuna di tale scelta vi sono n n n dell urna U ; per ogni scelta fatta nelle urne U,U vi sono n n n n n n n... n k n k per le palline dell urna U 3 ; e così via sino ad avere palline dell urna U k. Dalla regola della moltiplicazione si ottiene scelte possibili per le scelte possibili per le palline n 3 scelte possibili scelte possibili per le Questo argomento verrà trattato in seguito G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag.

5 n n n n n n n... n n 3 n n... n k n!(n n )!(n n n )! (n n... n k ) n k n!(n n )!(n n n )!n! 0!n k! n! n!n! n k!. Esempio Dieci ragazzi vogliono formare tre squadre di calcetto, due con cinque componenti e una con sei componenti. Le suddivisioni possibili sono date da 6! 5!5!6! G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag. 3

6 Esercizi di Calcolo Combinatorio Esercizio Supponendo di estrarre 5 carte da un mazzo di 5. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi:. A Si ottiene una sola Coppia. B Si ottiene una Doppia Coppia 3. C Si ottiene Poker. E Si ottiene il Full Osserviamo che i casi possibili giudicati ugualmente possibili, poichè non interessa l ordine con il quale compaiono gli elementi è pari a m (vedi Coppia. Osserviamo che la coppia può essere di ciascuno dei 3 ranghi e di dei semi. Le rimanenti 3 carte possono essere qualsiasi 3 dei rimanenti ranghi e ciascuna carta può essere di qualsiasi dei semi. Quindi, il numero totale di casi favorevoli all evento A è p a r i a r A G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag.

7 Pertanto si ha P (A) r 3 A m ! Doppia Coppia. Le due coppie possono essere qualsiasi dei 3 ranghi e ciascuna coppia può essere di dei semi. La carta rimanente può essere qualsiasi dei rimanenti ranghi e di qualsiasi dei semi. Quindi si ha P (B) ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) 5 5. Poker P (C) Full P (E) G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag. 5

8 Esercizio 3 (de Merè ) Giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 6 con lanci di un solo dado, oppure almeno un doppio 6 con lanci di due dadi? Esercizio Se in una stanza ci sono n persone qual é la probabilità che almeno due persone festeggino il compleanno nello stesso giorno dell anno 3. Sugg. Considerare l evento tutti gli n compleanni sono diversi. 3 R. von Mises, Uber Aufteilungs- und Besetzungs-Wahrscheinlichkeiten, Revue de la Facultè des Sciences de l Universit è d Istanbul, N. S. vol. (938-39), pp W. Feller, Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol., 3rd ed. S. Ross, Calcolo delle Probabilità, Apogeo, 007, Capitolo G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag. 6

9 Partizione. Una famiglia di eventi {H,H,...,H n } costituisce una partizione di se valgono le seguenti due proprietà :. H i ^ H j ;, i 6 j ;. H _ H _ _H n. Utilizzando gli indicatori si può facilmente verificare che la. e la. sono equivalenti a H + H + + H n. (7) Esempio Lancio di un dado. H i Esce il numero i i,,...,6 Gli eventi H,H,...,H 6 formano una partizione di. Esempio 3 Lancio di un dado. H i Esce il numero i i,,...,5 Gli eventi H,H,...,H 5 non formano una partizione di. Esempio Lancio di un dado. A Esce un numero maggiore o uguale a 3 B Esce un numero minore o uguale a 3 Gli eventi A, B non formano una partizione di (perchè?) G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag. 7

10 Decomposizione di un evento. Dato un evento arbitrario E ed una partizione {H, H c }, si ha: E E ^ E ^ (H _ H c )EH _ EH c. (8) Più in generale, data una partizione {H,H,...,H n },siha: E E ^ EH _ EH _ _EH n (9) e E EH + EH + + EH n. (0) G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag. 8

11 Proprietà fondamentali della probabilità Utilizzando la Definizione () si possono dimostrare le seguenti proprietà di base (assiomi) della probabilità. P. P (E) 0, per ogni evento E; (il numero r di casi favorevoli è non negativo e quindi r m 0) P. P ( ) ; r (per l evento certo, sihar m equindi m ) P3. se AB ;, allora P (A _ B) P (A) +P (B) (proprietà additiva). Dim. di P3. Da AB ;, segue r AB 0equindi Pertanto r A_B r A + r B r AB r A + r B. P (A _ B) r A_B m r A + r B m r A m + r B m P (A) +P (B). G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag. 9

12 In particolare, nel caso B A c,applicandop e P3 si ottiene P (A c ) P (A). Se AB ;, ponendo C (A _ B) c,siha P (C) P (A _ B) P (A) P (B), e quindi per la partizione {A, B, C} vale P (A) +P (B) +P (C). Se E,...,E n sono a due a due incompatibili, si ha: P (E _ _E n ) P (E _ _E n )+P (E n ) P (E _ _E n )+P (E n )+P (E n ) P (E )+P (E )+ + P (E n ), Se E,...,E n formano una partizione di si ha: P (E )+P (E )+ + P (E n ). G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag. 50

13 Proprietà di monotonia. SeA B, siha B B ^ B ^ (A _ A c )AB _ A c B A _ A c B, A^ A c B ;, edap, P3 segue P (B) P (A _ A c B)P (A) +P (A c B) P (A). Probabilità di A _ B. Dati due eventi compatibili A e B, siha A _ B A _ A c B, P(A _ B) P (A) +P (A c B), B AB _ A c B, P(A c B)P (B) P (AB), equindi P (A _ B) P (A) +P (B) P (AB). G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 3 del 6 Aprile 0- pag. 5