CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA ANDREA SCAPELLATO

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1 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA ANDREA SCAPELLATO In queste note illustriamo alcuni elementi di probabilità discreta. Si sottolinea che non si ha alcuna pretesa di completezza: quanto qui riportato rappresenta unicamente un indice degli argomenti trattati a lezione. Per la realizzazione di queste note si è fatto riferimento principalmente a [], dove è possibile reperire le dimostrazioni delle proposizioni e dei teoremi qui solo enunciati, nonché ulteriori dettagli. Per ulteriori approfondimenti e curiosità si può fare riferimento (anche) agli altri testi indicati nei Riferimenti Bibliografici.. Definizione di probabilità Poniamo la seguente fondamentale definizione: Definizione. (Assiomi della probabilità). Sia Ω un insieme (non vuoto) finito o numerabile e sia P(Ω) la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Una funzione P : P(Ω) [0, ] si dice probabilità se valgono le seguenti proprietà: (P) P (Ω), (P2) (σ-additività). Per ogni successione (A n ) n N di sottoinsiemi di Ω disgiunti (ossia A i A j per i j) si ha ( + ) + P A n P (A n ). n n La coppia (Ω, P ) è detta spazio di probabilità discreto. campionario e i suoi sottoinsiemi sono chiamati eventi. L insieme Ω è detto spazio L interpretazione di uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ) è la seguente: l insieme Ω contiene tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio e, per ogni sottoinsieme A Ω, il numero P (A) [0, ] esprime il grado di fiducia che si attribuisce all eventualità che l esito dell esperimento sia un elemento di A. La proprietà (P) esprime il fatto che l intero spazio campionario è un evento certo. Dalla Definizione., si deduce facilmente la proposizione seguente: Proposizione.2. Sia (Ω, P ) uno spazio di probabilità discreto. Allora: (a) P ( ) 0, (b) (Additività finita). Se A,..., A k è una famiglia finita di eventi disgiunti (ossia A i A j per i j), allora ( k ) k P A n P (A n ). () n n Per la Proposizione.2, l insieme vuoto è l evento impossibile. Osservazione.3. Se k 2 la () diventa P (A B) P (A) + P (B), A, B Ω, A B.

2 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 2 Una probabilità P su uno spazio campionario Ω è una funzione il cui dominio è l insieme delle parti P(Ω). Si può costruire una probabilità a partire da un oggetto più semplice, detto densità discreta, che è una funzione il cui dominio è Ω. Definizione.4 (Densità discreta). Sia Ω un insieme non vuoto. Si dice densità discreta su Ω ogni funzione p : Ω R che soddisfa le seguenti relazioni: p(ω) 0, ω Ω, p(ω). ω Ω Vale la seguente proposizione. Proposizione.5. Sia p una densità discreta su un insieme arbitrario Ω. La funzione P : P(Ω) R definita da P (A) : p(ω), A Ω (2) ω A soddisfa (P) e (P2) della Definizione.. La Proposizione.5 mostra che se Ω è finito o numerabile ogni densità discreta p su Ω determina una probabilità P su Ω mediante la (2). Vale anche il viceversa: Proposizione.6. Sia Ω un insieme (non vuoto) finito o numerabile. Esiste una corrispondenza biunivoca tra le probabilità P su Ω e le densità discrete p su Ω data dalle relazioni: p(ω) P ({ω}), ω Ω, (3) P (A) ω A p(ω), A Ω. Esempio.7 (Probabilità uniforme). Sia Ω un insieme finito. Definiamo per A Ω P (A) : A Ω, dove indica il numero di elementi di un insieme. Quindi P (A) è, per definizione, il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi dell evento A ed il numero di casi possibili. Si può provare che P soddisfa (P) e (P2) della Definizione., quindi P è una probabilità, detta uniforme su Ω. La densità discreta associata, grazie a (3), è p(ω) Ω, e dunque non dipende da ω. Vale anche il viceversa: se p(ω) P ({ω}) c non dipende da ω Ω, allora necessariamente c Ω (provarlo per esercizio) e quindi P è la probabilità uniforme su Ω. Lo spazio (Ω, P ) è detto spazio di probabilità uniforme. Esso è il modello probabilistico adeguato a descrivere gli esperimenti aleatori in cui tutti gli esiti si possono ritenere equiprobabili (per esempio, per ragioni di simmetria). Casi tipici: lancio di un dado o di una moneta regolari, estrazione di un numero in una ruota del lotto,....

3 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 3 Esponiamo adesso alcune conseguenze fondamentali degli assiomi (P) e (P2) che per comodità riuniamo in un unica proposizione. Proposizione.8. Sia (Ω, P ) uno spazio di probabilità discreto. (i) Per ogni A, B Ω tali che A B, si ha P (B \ A) P (B) P (A), di conseguenza P (A) P (B). In particolare, per ogni A Ω, denotato con A c il complementare dell insieme A in Ω (ossia l evento contrario di A), si ha (ii) Per ogni A, B Ω, si ha di conseguenza P (A c ) P (A). P (A B) P (A) + P (B) P (A B), P (A B) P (A) + P (B). 2. Probabilità condizionale Definizione 2. (Probabilità condizionale). Siano A e B due eventi di uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ), con P (B) > 0. Si dice probabilità condizionale di A dato B (o sapendo B, o rispetto a B, o supposto B) la quantità Si può provare la seguente proposizione: P (A B) P (A B). P (B) Proposizione 2.2. Sia B un evento fissato di uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ). La funzione P ( B), ossia è una probabilità su Ω. P(Ω) [0, ] A P (A B), Sottolineiamo che, fissato un evento A, la funzione B P (A B) non è una probabilità (ad esempio, non è nemmeno definita per B ). La probabilità condizionale permette di esprimere in modo ricorsivo la probabilità dell intersezione di n eventi: Proposizione 2.3 (Regola della catena). Per n N, n 2 siano A,..., A n eventi tali che P (A... A n ) > 0. Allora P ( n ia i ) P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 )...P (A n A... A n ) n P (A ) P (A i A... A i ). i2 La seguente proposizione è di fondamentale importanza nelle applicazioni:

4 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 4 Proposizione 2.4 (Formula di disintegrazione e delle probabilità totali). Sia (Ω, P ) uno spazio di probabilità discreto e sia (B i ) i I una partizione finita o numerabile di Ω, ossia I N, B i B j per ogni i j e i I B i Ω. Per ogni evento A vale la formula di disintegrazione: P (A) i I P (A B i ). Se inoltre P (B i ) > 0 per ogni i I, vale la formula delle probabilità totali: P (A) i I P (A B i )P (B i ). In particolare, per ogni coppia di eventi A, B, con 0 < P (B) <, si ha P (A) P (A B)P (B) + P (A B c )P (B c ) P (A B)P (B) + P (A B c )( P (B)). Segnaliamo, infine, il seguente classico risultato: Teorema 2.5 (Formula di Bayes). Se A e B sono eventi di uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ), con P (A) > 0 e P (B) > 0, allora vale la formula di Bayes: P (B A) P (A B)P (B). P (A) Osservazione 2.6. Le ipotesi P (A) > 0 e P (B) > 0 garantiscono che le probabilità condizionali P (A B) e P (B A) sono definite. Osservazione 2.7. Nell ipotesi che 0 < P (B) <, usando la formula delle probabilità totali, la formula di Bayes può essere scritta nella forma P (A B)P (B) P (B A) P (A B)P (B) + P (A B c )P (B c ). (4) Analogamente, se (B i ) i I è una famiglia di eventi finita o numerabile verificante le ipotesi della Proposizione 2.4, per ogni i I si ha P (B i A) P (A B i)p (B i ) P (A) P (A B i )P (B i ) j I P (A B j)p (B j ). (5) Le versioni (4) e (5) della formula di Bayes sono quelle che più spesso capita di usare negli esercizi. 3. Indipendenza stocastica Abbiamo visto che la probabilità condizionale P (A B) rappresenta la probabilità di verificarsi dell evento A sotto la condizione del verificarsi dell evento B. Tuttavia, potrebbe succedere che il verificarsi dell evento B non modifichi la probabilità del verificarsi dell evento A, ossia P (A B) P (A). (6) Usando la definizione di probabilità condizionale si vede subito che la relazione (6) equivale a P (A B) P (A)P (B). (7) L identità (7), rispetto alla (6), presenta due vantaggi: innanzitutto è simmetrica in A e B e, inoltre, è definita e banalmente vera anche quando P (B) 0. Per tutte queste ragioni, la (7) viene scelta per caratterizzare la nozione di indipendenza stocastica.

5 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 5 Definizione 3. (Indipendenza stocastica di due eventi). Due eventi A e B di uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ) si dicono stocasticamente indipendenti se P (A B) P (A)P (B). Benché sia ovvio dalla definizione, sottolineiamo che due eventi indipendenti non sono disgiunti, escludendo il caso banale in cui uno dei due eventi abbia probabilità zero. Infatti, se P (A) > 0 e P (B) > 0, segue che P (A B) P (A)P (B) > 0 e dunque A B. Per completezza, definiamo l indipendenza stocastica di più di due eventi, segnalando che tale definizione non è proprio l immediata generalizzazione della Definizione 3.. Definizione 3.2 (Indipendenza stocastica di eventi). Sia (A i ) i I una famiglia di eventi in uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ), dove l insieme di indici I è arbitrario. Si dice che tali eventi sono stocasticamente indipendenti se per ogni sottoinsieme finito J I (con J 2) si ha P A j P (A j ). (8) j J j J Per l indipendenza di n eventi A,..., A n non basta dunque verificare che P (A... A n ) P (A )... P (A n ), ma occorre mostrare che questa proprietà di fattorizzazione vale anche per ogni sottofamiglia, come richiesto dalla relazione (8). Il lettore interessato può reperire ulteriori dettagli in []. 4. Esercizi risolti Da un sacchetto contenente le quattro lettere C, A, S, O, si estrae una lettera per volta. Qual è la probabilità che le lettere siano estratte senza formare, nell ordine, la parola CASO? L evento A non si forma la parola CASO è il contrario dell evento B si forma la parola CASO, per cui P (A) P (B). Procediamo quindi calcolando P (B); il numero dei casi possibili è dato dal numero delle permutazioni delle 4 lettere cioè P 4 4! 24. Il numero dei casi favorevoli è, quindi P (B) 24 e p(a) Sapendo che il gioco della roulette si basa sui numeri da a 36, di cui 8 rossi e 8 neri più il numero 0 verde, calcolare la probabilità che esca un numero nero o pari. Occorre calcolare la probabilità dell evento A B, dove A esce un numero nero, B esce un numero pari. I due eventi sono compatibili: esistono infatti numeri che sono sia pari che neri. I numeri neri sono 8, quindi i casi favorevoli all evento A sono 8 dei 37 possibili; i numeri pari sono 8, quindi i casi favorevoli all evento B sono 8 dei 37 possibili; i numeri sia pari che neri sono 0, quindi i casi favorevoli all evento A B sono 0 dei 37 possibili. Abbiamo allora: Per la Proposizione.8, (ii), si ha P (A) 8 8 0, P (B), P (A B) P (A B) P (A) + P (B) P (A B)

6 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 6 3 Qual è la probabilità che lanciando un dado si ottenga 2 oppure 4? Consideriamo gli eventi A esce il numero 2, B esce il numero 4 e calcoliamo la probabilità dell evento A B. Gli eventi sono incompatibili, per cui per la Proposizione.8, (ii), si ha P (A B) P (A) + P (B) Consideriamo l estrazione successiva di due biglie con reimmissione (dopo la prima estrazione la biglia viene rimessa nell urna) da un urna contenente 5 biglie rosse e 3 nere. Calcolare la probabilità che alla seconda estrazione esca una biglia nera, sapendo che nella prima estrazione è uscita una biglia rossa. Consideriamo gli eventi A nella prima estrazione esce una biglia rossa, B nella seconda estrazione esce una biglia nera. Si deve calcolare la probabilità che si verifichi l evento B supposto che si sia verificato l evento A. Poiché dopo la prima estrazione la biglia rossa viene rimessa nell urna, il fatto che A si sia già verificato non modifica la probabilità di B: nell urna ci sono infatti sempre 8 palline, di cui 5 rosse e 3 nere, quindi P (B A) P (B) In un urna sono contenuti i numeri da 0 a 9. Estraendo 4 numeri insieme, qual è la probabilità di estrarre le cifre per formare il numero 234? Il caso favorevole è uno solo: l estrazione del gruppo di numeri, 2, 3, 4. Poiché non interessa l ordine, il numero di casi possibili è dato dalle combinazioni di 0 elementi di classe 4: C 0,4 ( ) 0 4 0! 4!(0 4)! La probabilità richiesta è dunque Estraendo tre carte da un mazzo di 40, qual è la probabilità che fra le tre carte vi sia almeno un re? I casi possibili sono tutte le terne che si possono formare con 40 carte; poiché non interessa l ordine con cui si forma ogni terna, il numero di casi possibili è dato dalle combinazioni di 40 elementi di classe 3: ( ) C 40, I casi favorevoli sono tutte le terne in cui vi è almeno un re; pertanto, fissato un re nelle terne (per esempio il re di cuori), le altre due carte possono essere tutte le coppie possibili formate con le 39 carte rimaste, quindi le combinazioni di 39 elementi di classe 2: C 39,2 ( 39 2 ) Questo numero poi deve essere moltiplicato per il numero dei re, cioè 4. I casi favorevoli sono dunque La probabilità richiesta è quindi Lanciando 3 volte una moneta regolare, qual è la probabilità di ottenere almeno una volta testa? Potremmo affrontare il problema partendo dalla definizione di probabilità uniforme, tenendo conto che i casi favorevoli sono tutti i casi in cui si possono ottenere esattamente volta testa, 2 volte testa o 3 volte testa. In questo caso dobbiamo eseguire alcuni calcoli

7 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 7 che lasciamo al lettore. In alternativa possiamo pensare all evento: A ottenere almeno una testa come all evento A non ottenere tre croci e quindi considerarlo come l evento contrario all evento B ottenere tre croci. Seguendo quest ultima strada è sufficiente calcolare la probabilità dell evento B, che è P (B) 8, poiché ottenere 3 croci è un solo caso favorevole sugli 8 possibili. Per la Proposizione.8, (i), si ottiene: P (A) P (B) In un urna ci sono 30 biglie di vari colori, tra le quali 8 biglie sono bianche, 7 nere e 2 verdi. Qual è la probabilità che, estraendo dall urna successivamente 3 biglie senza reinserirle, siano la prima bianca, la seconda nera e la terza verde? Si definiscano gli eventi: A prima biglia bianca, B seconda biglia nera, C terza biglia verde. Poiché nella consegna compare la congiunzione e dobbiamo calcolare la probabilità dell intersezione degli eventi in questione. Non reinserendo le biglie, ad ogni estrazione nell urna vi è una biglia in meno, quindi i casi possibili passano da 30 a 29 a La probabilità che la prima biglia sia bianca è quindi , la probabilità che la seconda sia nera è , la probabilità che la terza sia verde è Applicando la regola della catena, si trova che la probabilità richiesta è quindi: P (A B C) P (A)P (B A)P (C (A B)) In un urna ci sono 30 biglie di vari colori, tra le quali 6 biglie sono bianche, 0 nere e 4 verdi. Dire qual è la probabilità che, estraendo dall urna successivamente 2 biglie senza reinserirle, (a) siano entrambe nere; (b) siano la prima verde e la seconda nera; (c) siano una bianca e una verde. Rispondiamo separatamente alle tre richieste. Allo scopo è conveniente definire i tre eventi B esce una biglia bianca, N esce una biglia nera, V esce una biglia verde. Converremo di mettere il pedice i a ciascuno dei precedenti eventi, per indicare che esso si verifica all estrazione i. (a) Bisogna calcolare la probabilità P (N N 2 ). Utilizzando la regola della catena si ha: P (N N 2 ) P (N ) P (N 2 N ) (b) Bisogna calcolare la probabilità P (V N 2 ). Utilizzando la regola della catena si ha: P (V N 2 ) P (V ) P (N 2 V ) (c) Bisogna calcolare la probabilità P ((B V 2 ) (V B 2 )). Sfruttiamo la Proposizione.8, (ii), tenendo conto che gli eventi B V 2 e V B 2 sono disgiunti: P ((B V 2 ) (V B 2 )) P (B V 2 ) + P (V B 2 ) P (B )P (V 2 B ) + P (V )P (B 2 V )

8 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 8 0 Due tiratori, indipendentemente l uno dall altro, tirano allo stesso bersaglio: la probabilità di fare centro è del 60% per il primo tiratore, dell 80% per il secondo. Un solo colpo centra il bersaglio: qual è la probabilità che sia del primo tiratore? Si considerino gli eventi: A nessuno centra il bersaglio, B tutti e due centrano il bersaglio, C solo il primo centra il bersaglio, D solo il secondo centra il bersaglio. Gli eventi A, B, C, D sono indipendenti ed esauriscono tutti i possibili effetti. Si ha: P (A) 0, 40 0, 20 0, 08, P (B) 0, 60 0, 80 0, 48, P (C) 0, 60 0, 20 0, 2, P (D) 0, 40 0, 80 0, 32. Consideriamo ancora l evento: E solo uno dei due centra il bersaglio. Le probabilità condizionali di E rispetto ad A, B, C, D sono: P (E A) 0, P (E B) 0, P (E C), P (E D). Calcoliamo ora, sotto la condizione che un solo colpo abbia raggiunto il bersaglio, la probabilità che a centrare sia stato il primo tiratore. Applichiamo la formula di Bayes: P (C E) P (E C)P (C) P (E A)P (A) + P (E B)P (B) + P (E C)P (C) + P (E D)P (D) 0, 2 0, , 2 + 0, 32 Il cane di casa odia il gatto del vicino: se lo afferra c è la probabilità del 90% che lo uccida, ma la probabilità che lo prenda è solo del 20%. Il gatto ha del resto, per il suo girovagare nella strada, la probabilità del 40% di morire travolto da un auto. Se il gatto viene trovato morto, qual è la probabilità che l abbia ucciso il cane? Consideriamo lo spazio Ω dei possibili fatti collegabili a tale uccisione: Le probabilità che conosciamo sono: Ω {investimento, cattura, morte}. P (investimento) 40%, P (cattura) 20%, P (morte cattura) 90%. Ciò che si vuole scoprire è la probabilità che il gatto sia stato catturato dal cane, sapendo che è morto; in altri termini si chiede il valore della probabilità condizionale Applichiamo la formula di Bayes: P (cattura morte). P (morte cattura)p (cattura) P (cattura morte) P (morte cattura)p (cattura) + P (morte non cattura)p (non cattura) 0, 9 0, 2 0, 36. 0, 9 0, 2 + 0, 4 0, 8 La stima P (cattura morte) 0, 36 significa che, in accordo con le probabilità condizionali indicate, la probabilità che la morte del gatto sia imputabile al cane è... solo del 36%...!

9 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 9 2 Tre macchine producono lo stesso tipo di pezzi. La prima ne produce 50 al giorno con il 2% dei pezzi difettosi, la seconda ne produce 400 con il 5% di pezzi difettosi, la terza 50 con nessun pezzo difettoso. Supponiamo ora di prendere a caso un pezzo della produzione di un dato giorno. Calcolare la probabilità che: (a) il pezzo sia stato prodotto dalla prima macchina; (b) il pezzo sia stato prodotto dalla seconda macchina; (c) il pezzo sia difettoso. Supponiamo che il pezzo estratto sia difettoso. Calcolare la probabilità che: (e) il pezzo sia stato prodotto dalla prima macchina; (f) il pezzo sia stato prodotto dalla seconda macchina; (g) il pezzo sia stato prodotto dalla terza macchina. Si definiscano gli eventi A i pezzo prodotto dalla macchina i, con i, 2, 3, D pezzo difettoso. Ogni giorno le tre macchine producono 600 pezzi in totale. (a) Si ha P (A ) (b) Si ha P (A 2 ) (c) Si ha P (A 3 ) (d) Dei 50 pezzi prodotti dalla prima macchina 3 sono difettosi mentre del 400 prodotti dalla seconda 20 sono difettosi; tutti buoni i pezzi prodotti dalla terza. In totale, si hanno 23 pezzi difettosi su una produzione di 600 pezzi, quindi P (D) , 8%. (e) Si ha: P (A D) P (A D) %. P (D) 3 (f) Si ha: P (A 2 D) P (A 2 D) P (D) , 7%. 3 Un urna contiene 6 biglie rosse e 4 nere. Si estraggono due biglie senza rimettere la prima nell urna. Calcolare la probabilità che: (a) si siano ottenute due biglie rosse; (b) si sia ottenuta una sola biglia rossa; (c) non si sia ottenuta alcuna biglia rossa. Consideriamo gli eventi R estrazione di una biglia rossa, N estrazione di una biglia nera convenendo di mettere il pedice i a ciascuno dei precedenti eventi per indicare che esso si verifica all estrazione i e calcoliamo le relative probabilità nelle due estrazioni. Prima estrazione. Nell urna si hanno 0 biglie: 6 bianche e 4 nere. Si ha dunque: P (R) 6 0, P (N) Seconda estrazione. Poiché la prima biglia non viene rimessa nell urna, in essa restano 9 biglie; pertanto le probabilità nella seconda estrazione sono: se la prima biglia estratta era rossa, ne restano 5 rosse e 4 nere, così: P (R) 5 9, P (N) 4 9 ; se la prima biglia estratta era nera, ne restano 6 rosse e 3 nere, così: P (R) , P (N) Si ha: (a) Si ha: P (R R 2 ) P (R )P (R 2 R ) (b) Si ha: P ((R N 2 ) (N R 2 )) P (R N 2 ) + P (N R 2 ) P (R )P (N 2 R ) + P (N )P (R 2 N )

10 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 0 (c) Si ha: P (N N 2 ) P (N )P (N 2 N ) Si supponga di sapere che il 5% della popolazione adulta sia affetta da ipertensione, ma che il 75% di tutti gli adulti sia personalmente convinto di non avere tale problema. Si supponga anche che il 6% della popolazione abbia l ipertensione ma non pensi che la malattia sia presente. Calcolare la probabilità che (a) la malattia sia effettivamente presente in un paziente adulto che afferma di non avere l ipertensione; (b) un paziente sospetti la presenza della malattia, quando la malattia è effettivamente presente. Consideriamo gli eventi E il paziente non crede che la malattia sia presente e E 2 il paziente è affetto dalla malattia. Si ha P (E ) 0, 75, P (E 2 ) 0, 5 e P (E E 2 ) 0, 06. (a) Si ha P (E 2 E ) P (E E 2 ) P (E ) 0,06 0,75 0, 08. Vi è quindi una probabilità dell 8% che un paziente che pensa di non avere problemi di ipertensione, abbia in effetti la malattia. (b) Occorre calcolare P (E c E 2). Osservato che P (E 2 ) P (E c E 2) + P (E E 2 ), si ha P (E c E 2 ) P (Ec E 2) P (E 2 ) 0, 5 0, 06 0, 5 0, 60, ossia, se il paziente esprime l opinione di soffrire di ipertensione, vi è una probabilità del 60% che abbia ragione. 5 Supponiamo che di tutti i pazienti malati di cancro, il 52% sia costituito da maschi e che per i maschi la sopravvivenza per almeno 5 anni sia del 35%. Calcolare la probabilità che un malato di cancro scelto a caso sia un maschio e sopravviva per almeno 5 anni. Consideriamo gli eventi E il paziente scelto a caso è maschio e E 2 il paziente scelto a caso sopravvive per almeno 5 anni. Occorre calcolare P (E E 2 ): P (E E 2 ) P (E 2 E )P (E ) , Esercizi proposti Si lanciano n monete non truccate. (a) Qual è la probabilità che escano tutte teste? 2 n (b) Qual è la probabilità che esca la medesima faccia negli n lanci? 2 n 2 Calcolare la probabilità che, lanciando 0 monete non truccate, escano esattamente tre teste Calcolare la probabilità che il primo numero del lotto estratto dalla ruota di Napoli sia un numero dispari o un multiplo di Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte siciliane. Calcolare la probabilità che sia un asso o una carta di mazze Calcolare la probabilità che lanciando sette monete non truccate, esca almeno una croce. 6 Un urna contiene 0 palline, di cui 4 rosse e 6 verdi. Calcolare la probabilità che, 3 estraendone due contemporaneamente, almeno una di esse sia verde. 5 7 Si lancia un dado non truccato. Qual è la probabilità che esca il numero 5, nell ipotesi che esca un numero dispari. 3 8 Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte siciliane. Qual è la probabilità di estrarre una 3 figura nell ipotesi che sia stata estratta una carta di spade?

11 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 9 Si lanciano due dadi. Calcolare la probabilità che la somma dei punti delle due facce 2 uscite sia 7 sapendo che su una di esse è uscito il 3. 0 Da un urna, contenente tre biglie rosse e cinque blu, se ne estraggono due, senza reinserire la prima biglia estratta prima di procedere alla seconda estrazione. Calcolare la probabilità di estrarre due biglie blu. Ripetere l esercizio nell ipotesi in cui la prima biglia estratta venga reinserita nell urna. 5 4, Da un mazzo di 40 carte siciliane se ne estraggono 3 successivamente. Calcolare la probabilità che siano tutte e tre carte di spade, sia nel caso che ciascuna carta estratta venga reinserita prima di procedere all estrazione successiva, sia nel caso che le carte estratte non vengano reinserite. 64, Si lanciano tre dadi non truccati. Calcolare la probabilità di ottenere quattro su uno e un solo dado Un urna contiene 30 biglie, di cui 2 rosse, 0 bianche, 8 nere. Se ne estraggono due senza reinserire la prima estratta prima di procedere alla seconda estrazione. Calcolare la probabilità che le biglie estratte siano dello stesso colore. Si supponga, adesso, che si reinserisca ciascuna biglia estratta prima di procedere alla successiva estrazione. Calcolare 39 la probabilità che le tre biglie siano almeno di due colori diversi. 45, In una fabbrica meccanica vi sono due macchinari che producono viti dello stesso tipo. Il primo macchinario produce il 5% di viti difettose, il secondo produce il 3% di viti difettose. I due macchinari contribuiscono rispettivamente per il 60% e per il 40% alla produzione complessiva. Calcolare la probabilità che una vite scelta a caso sia difettosa. 4, 2% 5 Vi sono tre scatole. La prima contiene 2 penne nere, la seconda contiene 8 penne nere e 2 rosse, la terza contiene 20 penne rosse. Si sceglie a caso una scatola e da questa si estrae una penna. (a) Qual è la probabilità che la penna estratta sia rossa? 2 5 (b) Si supponga che la penna estratta sia rossa. Qual è la probabilità che essa sia stata estratta dalla seconda scatola? E qual è la probabilità che essa sia stata estratta dalla terza scatola? 6, Uno studente universitario viene esaminato dal docente o dall assistente. La probabilità di essere esaminato dal docente è pari a 2 5. La probabilità di superare l esame, se sostenuto con il docente, è 0, 6, mentre è 0, 8 se sostenuto con l assistente. Se lo studente ha superato l esame, qual è la probabilità che sia stato esaminato dal docente? 3 7 Date due urne, U contenente due biglie bianche e quattro nere e U 2 contenente quattro biglie bianche e due nere, da una di esse si effettuano estrazioni con restituzione fino ad ottenere per la prima volta biglia bianca. L urna è stata scelta in base all esito del lancio di un dado: U se è uscita la faccia 6, U 2 altrimenti. Supposto che la biglia bianca sia uscita per la prima volta alla quarta estrazione, calcolare la probabilità che non sia uscita 5 la faccia 6. 9 Riferimenti bibliografici [] F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità. Un introduzione attraverso modelli e applicazioni, Springer (203). [2] R. Giuliano, Argomenti di probabilità e statistica, Springer (20). [3] F. Biagini, M. Campanino, Elementi di Probabilità e Statistica, Springer (2006). [4] R. Scozzafava, Incertezza e probabilità, Zanichelli (200).