Esame del giorno 17 Febbraio Scrivere chiaramente e in stampatello in testa all elaborato:

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1 Corso di Biomatematica (G. Gaeta) Esame del giorno 17 Febbraio 2016 Scrivere chiaramente e in stampatello in testa all elaborato: Nome, Cognome, numero di matricola. Tempo a disposizione: DUE ORE. Non è consentito l uso di libri o appunti; è consentito (ma non necessario) l uso di calcolatrici. La soluzione sarà disponibile in rete nel pomeriggio. Si raccomanda la chiarezza di esposizione ed uno sforzo di scrivere in modo leggibile. Esercizio 1. L evoluzione di una popolazione, di generazione in generazione, è descritta in unità opportune dalla legge P n+1 = k P n (1 P 3 n), dove P n è la popolazione della generazione n-ima, k un numero reale positivo. Si chiede di determinare i valori di equilibrio per la popolazione al variare del parametro k, e la loro stabilità (anche questa in dipendenza da k). Esercizio 2. L evoluzione di un epidemia (di una malattia infettiva trasmessa per contatto diretto) in una popolazione isolata di N = 1000 individui è descritta da un modello SIR ds/dt = α S I di/dt = α S I β I dr/dt = β I con dato iniziale I(0) = 1, R(0) = 0. Sapendo che i valori dei parametri α e β sono dati da α = , β = 0.03, e detto t il tempo a cui l epidemia raggiunge il suo massimo (cioè è massimo il numero I(t) degli infetti) si chiede di determinare quanto valgono S(t ), I(t ) e R(t ). Si chiede inoltre di determinare, se la metà della popolazione viene vaccinata e detto t 0 il tempo in cui si ha il picco dell epidemia in queste condizioni, quali saranno i valori di S(t 0 ), I(t 0 ) ed R(t 0 ). 1

2 Esercizio 3. Due specie X ed Y competono in un certo ambiente. La loro fitness a priori è pari a W 0, e la tabella dei vantaggi è data da X Y X α β + ξ Y α + ξ β, con α, β, ξ parametri reali positivi. Si chiede di determinare se esistono degli equilibri non banali, cioè in cui le due specie coesistono; ed in caso affermativo di determinare la loro stabilità. [Suggerimento: se si incontrano formule complesse di cui interessa solo il valore in certi punti, e conveniente valutarle in quei punti anziche cercare di semplificarle in generale.] Esercizio 4. Il modello di Yakushevich per la dinamica (torsionale) del DNA conduce a studiare equazioni del tipo sine-gordon, ovvero m φ tt = k φ xx dv dφ ; V (φ) = [1 cos(φ)] con condizioni ausiliarie lim φ(x, t) = 0, lim x φ(x, t) = 2π ; lim x + φ x(x, t) = 0. x ± Si chiede di determinare le soluzioni di tipo onda viaggiante, ossia φ(x, t) = ϕ(x vt) per questo problema, dove v R e la velocità dell onda, e discvutere la loro dipendenza dal parametro v. [Suggerimento: si ricorda che [sin(x)] 1 dx = log tan(x/2). ] 2

3 SOLUZIONI Problema 1. L evoluzione di una popolazione, di generazione in generazione, e descritta in unita opportune dalla legge P n+1 = k P n (1 P 3 n), dove P n e la popolazione della generazione n-ima, k un numero reale positivo. Si chiede di determinare i valori di equilibrio per la popolazione al variare del parametro k, e la loro stabilita (anche questa in dipendenza da k). Soluzione. Scriviamo P n+1 = f(p n ) := k P n (1 P 3 n). I valori di equilibrio si ottengono risolvendo P = f(p ) ; in questo caso dobbiamo quindi risolvere P = k P (1 P 3 ) ; abbiamo evidentemente una soluzione per P = 0; per P 0, dividendo per P otteniamo k P 3 k + 1 = 0 ; P 3 = 1 1/k ; e quindi P = P := (1 1/k) 1/3. La soluzione P e accettabile se positiva, e quindi se l argomento della radice cubica e positivo; cioe se 1/k < 1 ; k > 1. Abbiamo quindi due soluzioni, P = { P0 = 0 (sempre accettabile) P = (1 1/k) 1/3 (per k > 1) Per determinare la stabilita, calcoliamo f (P ) = k 4 k P 3 = k (1 4P 3 ); risulta quindi f (0) = k ; f (P ) = k 4k[1 1/k] = 4 3k. 3

4 Perche sia 4 3k < 1 devono essere vere entrambe le condizioni 4 3k > 1 ; 4 3k < 1. queste forniscono rispettivamente k < 5/3. k > 1 e quindi f (P ) < 1 1 < k < 5/3. Ne segue che: P = 0 e stabile per k < 1, instabile per k > 1; P = P, che esiste solo per k > 1, e stabile per 1 < k < 5/3, instabile per k > 4/3. Esercizio 2. L evoluzione di un epidemia (di una malattia infettiva trasmessa per contatto diretto) in una popolazione isolata di N = 1000 individui e descritta da un modello SIR ds/dt = α S I di/dt = α S I β I dr/dt = β I con dato iniziale I(0) = 1, R(0) = 0. Sapendo che i valori dei parametri α e β sono dati da α = , β = 0.03, e detto t il tempo a cui l epidemia raggiunge il suo massimo (cioe e massimo il numero I(t) degli infetti) si chiede di determinare quanto valgono S(t ), I(t ) e R(t ). Si chiede inoltre di determinare, se la meta della popolazione viene vaccinata e detto t 0 il tempo in cui si ha il picco dell epidemia in queste condizioni, quali saranno i valori di S(t 0 ), I(t 0 ) ed R(t 0 ). Soluzione. Il massimo dell epidemia si raggiunge quando S = γ = β/α; nel nostro caso questo significa S(t ) = 300. Per determinare anche I(t ), ricordiamo che ponendo a sistema l equazione per I(t) e quella per S(t) abbiamo di ds αsi βi = αsi = 1 + γ S. 4

5 Questa e un equazione separabile: di = ( 1 γ ) S ds con C costante di integrazione. I = S + γ log(s) + C Al tempo t = 0 abbiamo I 0 = 1, S 0 = 999 e quindi ( ) C = I 0 + S 0 γ log(s 0 ) = log(999) Inserendo questo valore di C nella (*) e ponendo altresi S = 300, otteniamo I(T ) 339 ; infine, da S + I + R = N abbiamo R(t ) = N I(t ) S(t ) 361. Piu in generale, al massimo dell epidemia (che corrisponde sempre ad S = γ) si avra I m = I 0 + (S 0 γ) γ [log(s 0 ) log(γ)]. L effetto di una campagna di vaccinazione e di ridurre il numero S 0 ad un σ 0 < S 0 ; se una frazione η della popolazione e vaccinata, avremo quindi in queste condizioni si avra σ 0 = (1 η) S 0. I = I 0 + [(1 η)s 0 γ] γ [log((1 η)s 0 ) log(γ)]. Nel caso in questione η = 1/2, e quindi I m = I 0 + [S 0 /2 γ] γ [log(s 0 /2) log(γ)] 48. Abbiamo quindi S(t 0 ) = γ = 300 ; I(t 0 ) 48 ; R(t 0 ) = N S(t 0 ) I(t 0 ) 652. Esercizio 3. Due specie X ed Y competono in un certo ambiente. La loro fitness a priori è pari a W 0, e la tabella dei vantaggi è data da X Y X α β + ξ Y α + ξ β, 5

6 con α, β, ξ parametri reali positivi. Si chiede di determinare se esistono degli equilibri non banali, cioè in cui le due specie coesistono; ed in caso affermativo di determinare la loro stabilità. Soluzione. Possiamo identificare lo stato del sistema attraverso un solo numero, ad esempio la frazione x della specie X sulla popolazione totale; la specie Y avrà una frazione y = 1 x della popolazione. La fitness della specie X e quella della specie Y saranno W X = W 0 + α x + (β + ξ) (1 x), W Y = W 0 + (α + ξ) x + β (1 x) ; si ha W X = W Y e quindi un equilibrio quando αx + (β + ξ)(1 x) = (α + ξ)x + β(1 x) ; semplificando questa si riduce a ξ (1 x) = ξ x, la ξ 0 si cancella, ed abbiamo l equilibrio per x = x = 1/2. La fitness media sara data da < W > = x W X + (1 x) W Y = (β + W 0 ) + (α β + 2ξ) x 2 ξ x 2. La dinamica di replicazione e governata dall equazione x = (W x / < W >) x := F (x). Gli equilibri x = x corrispondono ai valori di x per cui si ha W x = < W >, che implica (a meno di non avere x = 0 o x = 1) W X = W Y. Quindi hanno tre equilibri x e : due banali che esistono sempre, x 0 = 0, x 1 = 1, ed uno non banale, x = x = 1/2. Per calcolare la loro stabilita e sufficiente calcolare F (x e ) ; risulta che l espressione generale di questa derivata e assai complessa, e non e conveniente cercare di semplificarla. D altra parte, le espressioni nei punti x = 0, x = 1/2 ed 6

7 x = 1 (cioe le espressioni per F con x dato) sono semplici. Infatti, ricordando anche che si e supposto ξ > 0, risulta F (0) = β + W 0 + ξ β + W 0 > 1, F (1) = α + W 0 + ξ α + W 0 > 1 ; ed inoltre, F (x ) = α + β + 2W 0 α + β + 2W 0 + ξ < 1. Quindi, gli equilibri banali x 0 ed x 1 sono sempre instabili, mentre x e stabile. Esercizio 4. Il modello di Yakushevich per la dinamica (torsionale) del DNA conduce a studiare equazioni del tipo sine-gordon, ovvero m φ tt = k φ xx dv dφ ; V (φ) = α [1 cos(φ)] (in cui m, k, α sono parametri reali e positivi) con condizioni ausiliarie lim φ(x, t) = 0, lim x φ(x, t) = 2π ; lim x + φ x(x, t) = 0. x ± Si chiede di determinare le soluzioni di tipo onda viaggiante, ossia φ(x, t) = ϕ(x vt) per questo problema, dove v R e la velocità dell onda, e discvutere la loro dipendenza dal parametro v. [Suggerimento: si ricorda che [sin(x)] 1 dx = log tan(x/2). ] Soluzione. Imponendo la forma funzionale suggerita per φ, otteniamo l equazione ϕ = µ dv dϕ dw := dϕ, in cui abbiamo definito µ = 1 m v 2 k ; W (ϕ) := µ V (ϕ) = α µ [1 cos(ϕ)]. Questa equazione descrive il moto di una particella di massa unitaria nel potenziale W, pertanto 1 2 (ϕ ) 2 + W (ϕ) = E è costante; le condizioni limite assicurano che questa costante è in realtà nulla, cioè E = 0. Ne segue che ϕ = ± 2 α µ (1 cos ϕ). 7

8 Questa e una equazione separabile, e la sua soluzione (scegliamo la determinazione positiva della radice, come richiesto dalle condizioni limite per x ± ) si ottiene da dϕ 2αµ = dz ; ( ) 1 cos ϕ inoltre, ricordando che α > 0 ed osservando che (1 cos ϕ) 0, la condizione ϕ R richiede che sia µ 0 (scriveremo quindi µ = β 2 /(2α) con β reale) e quindi v 2 k/m. Sotto questa condizione, e notando che 1 cos ϕ = 2 sin 2 (ϕ/2), l equazione (*) si riscrive come dϕ sin(ϕ/2) = 2 β dz ; ovvfero, definendo ψ := ϕ/2, 2 dψ sin(ψ) = 2 β dz. Usando ora il suggerimento per integrare il membro di sinistra, otteniamo dove z 0 è una costante; ovvero log tan(ψ/2) = β 2 (z z 0 ) ψ = 2 arctan [ ( )] β 2 exp (z z 0) In termini delle variabili e dei parametri originari, ossia scrivendo ψ = ϕ/2 e β = 2α µ otteniamo ϕ = 4 arctan [ exp ( α(k mv 2 ) (z z 0 ) )].. In questa forma la dipendenza da v è esplicita. Notiamo anche che z 0 rapprenta il punto in cui si ha ϕ(z 0 ) = π, ossia il centro della soluzione; ponendo z 0 = 0 questa è antisimmetrica rispetto all origine (ed alla retta ϕ = π), ed abbiamo esplicitamente ϕ = 4 arctan [ exp ( α(k mv 2 ) z )]. 8