Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson

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1 Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson Antonio Paradies Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Università degli studi di Napoli Federico II Napoli, 25 Febbraio 2009 Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 1/24

2 1 Equazioni di Laplace e di Poisson Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson 2 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack 3 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla 4 Unicità e principio di Dirichlet Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 2/24

3 Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson 1 Equazioni di Laplace e di Poisson Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson 2 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack 3 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla 4 Unicità e principio di Dirichlet Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 3/24

4 Equazione di Laplace e di Poisson Sia U un insieme aperto di R n. Problema di Poisson-Dirichlet { u = f x U u = g x U Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Problema di Poisson-Neumann { u = f x U u ν = g x U Se la funzione f è nulla si ottiene l'equazione di Laplace. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 4/24

5 Equazione di Laplace e di Poisson Sia U un insieme aperto di R n. Problema di Poisson-Dirichlet { u = f x U u = g x U Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Problema di Poisson-Neumann { u = f x U u ν = g x U Se la funzione f è nulla si ottiene l'equazione di Laplace. Problemi della sica retti da queste equazioni div(e) = ϱ ɛ 0, grad(φ) = E Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 4/24

6 Equazione di Laplace e di Poisson Sia U un insieme aperto di R n. Problema di Poisson-Dirichlet { u = f x U u = g x U Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Problema di Poisson-Neumann { u = f x U u ν = g x U Se la funzione f è nulla si ottiene l'equazione di Laplace. Problemi della sica retti da queste equazioni div(e) = ϱ ɛ 0, grad(φ) = E φ = ϱ ɛ 0 Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 4/24

7 Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson L'operatore Laplaciano è invariante per rotazioni. Ciò suggerisce l'esistenza di soluzioni del tipo φ(r) con r = x Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 5/24

8 Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson L'operatore Laplaciano è invariante per rotazioni. Ciò suggerisce l'esistenza di soluzioni del tipo φ(r) con r = x In tutto R n tale soluzione non esiste. In R n \ {0} φ(x) = { 1 2π ln x per n = 2 1 n(n 2)ω n x n 2 per n 3 φ è detta soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace: è il potenziale della carica puntiforme. Vale quindi φ = δ 0 che signica Dφ Dϕ dx = ϕ(0) R n per ogni ϕ C 1 c (R n ). Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 5/24

9 Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Soluzione in R n dell'equazione di Poisson u = f con f Cc 2 (φ f )(x) = φ(x y)f (y) dy R n Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 6/24

10 Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Soluzione in R n dell'equazione di Poisson u = f con f Cc 2 (φ f )(x) = φ(x y)f (y) dy R n (φ f )(x) è detta soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson. È l'unica soluzione a meno di funzioni armoniche. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 6/24

11 Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Soluzione in R n dell'equazione di Poisson u = f con f Cc 2 (φ f )(x) = φ(x y)f (y) dy R n (φ f )(x) è detta soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson. È l'unica soluzione a meno di funzioni armoniche. Se n 3 per il teorema di Liuoville (φ f )(x) è, a meno di costanti, l'unica soluzione limitata in R n. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 6/24

12 Dimostrazione (1/3) Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Poniamo u(x) = (φ f )(x) = (f φ)(x). Si ha u(x) = φ(z) x f (x z) dz = R n φ(z) z f (x z) dz = R n φ(z) f (x z) dz + φ(z) f (x z) dz = lim ε 0 R n \B(ε) B(ε) Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 7/24

13 Dimostrazione (1/3) Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Poniamo u(x) = (φ f )(x) = (f φ)(x). Si ha u(x) = φ(z) x f (x z) dz = R n φ(z) z f (x z) dz = R n φ(z) f (x z) dz + φ(z) f (x z) dz = lim ε 0 R n \B(ε) B(ε) Per ε 0 φ(z) f (x z) dz 0 B(ε) Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 7/24

14 Dimostrazione (2/3) Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Integrando per parti si ottiene [ ] = lim Dφ(z)Df (x z) dz + φ(z) f (x z) ds(z) = ε 0 R n \B(ε) B(ε) ν Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 8/24

15 Dimostrazione (2/3) Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Integrando per parti si ottiene [ ] = lim Dφ(z)Df (x z) dz + φ(z) f (x z) ds(z) = ε 0 R n \B(ε) B(ε) ν Per ε 0 φ(z) B(ε) φ(z) f (x z) ds(z) 0 ν { ln(ε) per n = 2 1 ε n 2 per n ds(z) ε n 1 3 Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 8/24

16 Dimostrazione (3/3) Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Integrando ancora una volta per parti [ ] φ = lim φ(z)f (x z) dz lim (z)f (x z) ds(z) ε 0 R n \B(ε) ε 0 B(ε) ν Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 9/24

17 Dimostrazione (3/3) Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Integrando ancora una volta per parti [ ] φ = lim φ(z)f (x z) dz lim (z)f (x z) ds(z) ε 0 R n \B(ε) ε 0 B(ε) ν Il primo termine vale zero dal momento che φ 0. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 9/24

18 Dimostrazione (3/3) Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Integrando ancora una volta per parti [ ] φ = lim φ(z)f (x z) dz lim (z)f (x z) ds(z) ε 0 R n \B(ε) ε 0 B(ε) ν Il primo termine vale zero dal momento che φ 0. Per ε 0 Il secondo termine è pari a f (x) in quanto ds(z) ε n 1, φ ν (z) εn 1 Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 9/24

19 Dimostrazione (3/3) Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson Integrando ancora una volta per parti [ ] φ = lim φ(z)f (x z) dz lim (z)f (x z) ds(z) ε 0 R n \B(ε) ε 0 B(ε) ν Il primo termine vale zero dal momento che φ 0. Per ε 0 Il secondo termine è pari a f (x) in quanto ds(z) ε n 1, Inne si ottiene u(x) = f (x) in R n φ ν (z) εn 1 Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 9/24

20 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack 1 Equazioni di Laplace e di Poisson Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson 2 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack 3 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla 4 Unicità e principio di Dirichlet Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 10/24

21 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Teorema (Formule del valore medio) Dato un aperto U, la funzione u C 2 (U) è armonica in U se e solo se u(x) = u ds = u dy B(x,r) B(x,r) per qualunque palla B(x, r) U Il simbolo u indica il rapporto tra l'integrale di u su un insieme e la misura dell'insieme stesso, ovvero la media di u. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 11/24

22 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Armonicità Media Fissato un x U ed un r R, r > 0 deniamo la funzione γ(r) := u(y) ds(y). B(x,r) Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 12/24

23 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Armonicità Media Fissato un x U ed un r R, r > 0 deniamo la funzione γ(r) := B(x,r) u(y) ds(y). Con il cambiamento di variabili y = x + rz si ha γ(r) = B(0,1) u(x + rz) ds(z) Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 12/24

24 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Armonicità Media Fissato un x U ed un r R, r > 0 deniamo la funzione γ(r) := B(x,r) u(y) ds(y). Con il cambiamento di variabili y = x + rz si ha γ(r) = B(0,1) u(x + rz) ds(z) La derivata di γ(r) rispetto a r è γ (r) = Du(x + rz) z ds(z) = Du(x + rz) y x ds(y) = B(0,1) B(x,r) r = r n u dy = 0 B(x,r) Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 12/24

25 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Armonicità Media Fissato un x U ed un r R, r > 0 deniamo la funzione γ(r) := B(x,r) u(y) ds(y). Con il cambiamento di variabili y = x + rz si ha γ(r) = B(0,1) u(x + rz) ds(z) La derivata di γ(r) rispetto a r è γ (r) = Du(x + rz) z ds(z) = Du(x + rz) y x ds(y) = B(0,1) B(x,r) r = r n u dy = 0 γ(r) è costante e quindi: γ(r) = lim B(x,r) r 0 B(x,r) u(y) ds(y) = u(x) Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 12/24

26 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Armonicità Media e Media Armonicità Fissato un x U ed un r R, r > 0 deniamo la funzione γ(r) := B(x,r) u(y) ds(y). Con il cambiamento di variabili y = x + rz si ha γ(r) = B(0,1) u(x + rz) ds(z) La derivata di γ(r) rispetto a r è γ (r) = Du(x + rz) z ds(z) = Du(x + rz) y x ds(y) = B(0,1) B(x,r) r = r n u dy = 0 γ(r) è costante e quindi: γ(r) = lim B(x,r) r 0 B(x,r) u(y) ds(y) = u(x) Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 12/24

27 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Conseguenze del teorema della media Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 13/24

28 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Conseguenze del teorema della media Teorema (Principio del massimo forte) Data una funzione u C 2 (U) C(Ū) armonica in U con U aperto connesso, se u assume il valore maxū(u) in un punto di U, allora u è costante in tutto Ū. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 13/24

29 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Conseguenze del teorema della media Teorema (Principio del massimo forte) Data una funzione u C 2 (U) C(Ū) armonica in U con U aperto connesso, se u assume il valore maxū(u) in un punto di U, allora u è costante in tutto Ū. Teorema (Principio del massimo) Data una funzione u C 2 (U) C(Ū) armonica in U vale che max Ū cioè il massimo di u cade sulla frontiera di U. u = max u (1) U Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 13/24

30 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Conseguenze del teorema della media Teorema (Principio del massimo forte) Data una funzione u C 2 (U) C(Ū) armonica in U con U aperto connesso, se u assume il valore maxū(u) in un punto di U, allora u è costante in tutto Ū. Teorema (Principio del massimo) Data una funzione u C 2 (U) C(Ū) armonica in U vale che max Ū cioè il massimo di u cade sulla frontiera di U. u = max u (1) U Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 13/24

31 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Teorema (Regolarità) Se u C(U), con U aperto, verica la proprietà del valor medio in ogni palla B(x, r) U, allora u C (U). Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 14/24

32 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Teorema (Regolarità) Se u C(U), con U aperto, verica la proprietà del valor medio in ogni palla B(x, r) U, allora u C (U). In particolare ogni funzione armonica in U è C (U). Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 14/24

33 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Teorema (Regolarità) Se u C(U), con U aperto, verica la proprietà del valor medio in ogni palla B(x, r) U, allora u C (U). In particolare ogni funzione armonica in U è C (U). Teorema (Stima delle derivate) Sia data una funzione u armonica in U, sottoinsieme aperto di R n. Per ogni palla B(x 0, r) U e per ogni multiindice α di ordine α = k vale dove D α u(x 0 ) C k r n+k u L 1 (B(x 0,r)) (2) C 0 = 1 ω n e C k = (2n+1 nk) k e ω n è la misura della palla di raggio unitario in R n ω n (k = 1, 2,...) (3) Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 14/24

34 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Teorema (Analiticità) Se la funzione u è armonica nell'aperto U, allora è analitica in U. Fissato un punto x 0 U, u può essere rappresentata come una serie di potenze convergente in qualche intorno di x 0. α D α u(x 0 ) (x x 0 ) α (4) α! dove la somma è estesa a tutti i multi-indici di ordine n. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 15/24

35 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Teorema (Analiticità) Se la funzione u è armonica nell'aperto U, allora è analitica in U. Fissato un punto x 0 U, u può essere rappresentata come una serie di potenze convergente in qualche intorno di x 0. α D α u(x 0 ) (x x 0 ) α (4) α! dove la somma è estesa a tutti i multi-indici di ordine n. Nella dimostrazione si utilizzano le stime delle derivate del teorema precedente. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 15/24

36 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack Teorema (Liouville) Sia data una funzione u armonica su R n e limitata. Allora u è costante su R n. Teorema (diseguaglianza di Harnack) Detta u una funzione armonica in U e non negativa e detto V un compatto tale che V U, esiste una costante positiva C, dipendente solo da V e da U, per cui vale sup u C inf u (5) V V Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 16/24

37 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla 1 Equazioni di Laplace e di Poisson Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson 2 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack 3 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla 4 Unicità e principio di Dirichlet Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 17/24

38 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Per ogni funzione u C 2( U ) e per ogni x U con U aperto limitato vale la seguente identità Identità di Green u(x) = U Φ(y x) u ν (y) u(y) Φ(y x) ds(y)+ ν Φ(y x) u dy U dove φ è la soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 18/24

39 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Per ogni funzione u C 2( U ) e per ogni x U con U aperto limitato vale la seguente identità Identità di Green u(x) = U Φ(y x) u ν (y) u(y) Φ(y x) ds(y)+ ν Φ(y x) u dy U dove φ è la soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace. L'identità di Green lega il valore in x di u, ai valori che u e Du assumono sulla frontiera di U ed al valore u su tutto U. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 18/24

40 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Introduciamo la funzione ϕ x (y) C 2 (U) tale che { ϕ x (y) = 0 in U ϕ x (y) = Φ(y x) su U con x U. ϕ x (y) è detta funzione correttrice. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 19/24

41 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Introduciamo la funzione ϕ x (y) C 2 (U) tale che { ϕ x (y) = 0 in U ϕ x (y) = Φ(y x) su U con x U. ϕ x (y) è detta funzione correttrice. Denizione (Funzione di Green per il problema di Dirichlet) La funzione di Green per l'insieme U è data da G(x, y) := Φ(y x) ϕ x (y) (x U, y U y x) (6) Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 19/24

42 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Introduciamo la funzione ϕ x (y) C 2 (U) tale che { ϕ x (y) = 0 in U ϕ x (y) = Φ(y x) su U con x U. ϕ x (y) è detta funzione correttrice. Denizione (Funzione di Green per il problema di Dirichlet) La funzione di Green per l'insieme U è data da G(x, y) := Φ(y x) ϕ x (y) (x U, y U y x) (6) La funzione di y G(x, y) è armonica in U tranne che per y = x. Inoltre per ogni y U risulta G(x, y) = Φ(y x) ϕ x (y) = Φ(y x) Φ(y x) = 0 Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 19/24

43 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Si ottiene Formula di rappresentazione di Green u(x) = u(y) y G (x, y) ds(y) ν U U G(x, y) u dy Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 20/24

44 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Si ottiene Formula di rappresentazione di Green u(x) = u(y) y G (x, y) ds(y) ν U U G(x, y) u dy Si potrebbe denire in maniera analoga una funzione di Green per il problema di Neumann Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 20/24

45 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Si ottiene Formula di rappresentazione di Green u(x) = u(y) y G (x, y) ds(y) ν U U G(x, y) u dy Si potrebbe denire in maniera analoga una funzione di Green per il problema di Neumann La funzione di Green è simmetrica, cioè G(x, y) = G(y, x) per ogni x y. Inoltre, per il principio del massimo, G(x, y) > 0 per ogni y U, y x. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 20/24

46 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Consideriamo il problema alle condizioni al contorno { u = 0 in R n + u = g su R n + Dato x = (x 1,..., x n 1, x n ) R n +, si denisce la sua riessione rispetto al piano R n + il punto x = (x 1,..., x n 1, x n ). Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 21/24

47 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Consideriamo il problema alle condizioni al contorno { u = 0 in R n + u = g su R n + Dato x = (x 1,..., x n 1, x n ) R n +, si denisce la sua riessione rispetto al piano R n + il punto x = (x 1,..., x n 1, x n ). Si ha G(x, y) = Φ(y x) Φ(y x) Formula di Poisson per il semispazio Sia g una funzione C(R n 1 ) L (R n 1 ) e u(x) = 2x n nω n R n + g(y) ds(y) (7) y x n per ogni x R n +. Allora u(x) è soluzione del problema di Laplace per il semispazio Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 21/24

48 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Se x ( R n \ {0} ), il punto x = rispetto alla sfera B(1). x x 2 è detto punto duale di x La mappa x x è chiamata inversione attraverso la sfera unitaria B(1). Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 22/24

49 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Se x ( R n \ {0} ), il punto x = rispetto alla sfera B(1). x x 2 è detto punto duale di x La mappa x x è chiamata inversione attraverso la sfera unitaria B(1). La funzione di Green per la palla B(1) è G(x, y) = Φ(y x) Φ( x (y x)). Inne si ottiene Formula risolutiva per la palla B(1) u(x) = 1 x 2 g(y) nω n B(1) y x ds(y) n Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 22/24

50 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla Se x ( R n \ {0} ), il punto x = rispetto alla sfera B(1). x x 2 è detto punto duale di x La mappa x x è chiamata inversione attraverso la sfera unitaria B(1). La funzione di Green per la palla B(1) è G(x, y) = Φ(y x) Φ( x (y x)). Inne si ottiene Formula risolutiva per la palla B(1) u(x) = 1 x 2 g(y) nω n B(1) y x ds(y) n Formula risolutiva per la palla B(r) u(x) = r 2 x 2 g(y) nω n r B(r) y x ds(y) n Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 22/24

51 Unicità e principio di Dirichlet 1 Equazioni di Laplace e di Poisson Problemi con condizioni al contorno Invarianza per rotazioni del Laplaciano Soluzione fondamentale dell'equazione di Poisson 2 Proprietà del valor medio Principio del massimo Analiticità Teoremi di Liouville e Harnack 3 Funzione di Green Soluzione del problema di Dirichlet Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nel semipiano Soluzione del problema di Laplace-Dirichlet nella palla 4 Unicità e principio di Dirichlet Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 23/24

52 Unicità e principio di Dirichlet Data una funzione w armonica in U aperto e connesso, tale che su U valga o u = 0 o w ν = 0, si ha 0 = U w w dx = U Dw Dw dx + wdw ν ds = U U Dw Dw dx = U Dw 2 dx La formula appena vista permette di dedurre l'unicità della soluzione per i problemi di Poisson-Neumann e Poisson-Dirichlet in aperti limitati a frontiera C 1. Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 24/24

53 Unicità e principio di Dirichlet Data una funzione w armonica in U aperto e connesso, tale che su U valga o u = 0 o w ν = 0, si ha 0 = U w w dx = U Dw Dw dx + wdw ν ds = U U Dw Dw dx = U Dw 2 dx La formula appena vista permette di dedurre l'unicità della soluzione per i problemi di Poisson-Neumann e Poisson-Dirichlet in aperti limitati a frontiera C 1. Deniamo il funzionale E come E[w] := 1 U 2 Dw 2 wf dx dove w A insieme delle funzioni ammissibili. Teorema (Principio di Dirichlet) u C 2 (U) è soluzione del problema di Poisson-Dirichlet in U se e solo se E[u] = min w A E[w] Antonio Paradies Classic solutions of Laplace and Poisson PDE 24/24