Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 11. Decadimento β. Generalizzazione della teoria di Fermi Distribuzione dell'energia Studi sperimentali

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1 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n Decadimento β. Generalizzazione della teoria di Fermi Distribuzione dell'energia Studi sperimentali anno accademico

2 Lo spazio delle fasi Studiamo lo spazio delle fasi per il decadimento β ( decadimento a 3 corpi ) La presenza della funzione δ 3 (0 k k p) rende banale l integrazione sul 3-momento del protone (d 3 p) Da ora in poi è sottointeso che p = (k + k ) Da questo punto in poi si può sviluppare il calcolo in due modi differenti: Il primo finalizzato allo studio del plot di Dalitz Il secondo finalizzato al calcolo della distribuzione dell energia dell elettrone o di correlazioni angolari Affrontiamo il primo caso Sviluppiamo il modulo e i differenziali Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 301

3 Lo spazio delle fasi Ricordiamo che il decadimento è confinato su un piano Possiamo scegliere la direzione dell'elettrone come riferimento per gli angoli e integrare su dω e 4 π e k θ pe θ eν Inoltre dω ν = 2πd cosθ eν θ pν ν k p Infine, dal momento che Otteniamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 302

4 Lo spazio delle fasi Integriamo adesso sull angolo θ eν Dobbiamo tenere conto della funzione δ(f(x)) dove x =cosθ eν Ricordiamo che p = (k + k ). La funzione si annulla per cosθ eν = cosθ eν Ricordando la proprietà della funzione δ(x) Otteniamo Sostituiamo nella formula per d Φ e integriamo sull angolo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 303

5 Lo spazio delle fasi Il risultato ottenuto è importante per il Dalitz Plot Ricordiamo le relazioni s 12 Da esse segue che E le relazioni ottenute da sostituzioni cicliche degli indici Le relazioni s 23 Implicano 1: se l elemento di matrice è costante, lo spazio nel piano E 1 E 2 ( o s 12 s 23 ) è popolato uniformemente 2: deviazioni dall uniformità danno indicazioni sulla dipendenza di dalle variabili E 1 E 2 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 304

6 Esercizi In attesa di avere l elemento di matrice si può impostare il programma per la costruzione di un generatore Montecarlo per il decadimento β: Scrivere un programma per disegnare la regione fisica del decadimento Generare una coppia di numeri casuali (E 1,E 2 ) distribuiti uniformemente nel piano all interno della regione fisica Utilizzando le formule cinematiche ricavate precedentemente scrivere i tre 4-vettori del protone, del neutrone, del neutrino Le formule precedenti permettono di scrivere i 3 vettori in un piano. Ruotare con un angolo casuale i 3 vettori su questo piano Generare una direzione casuale nello spazio e ruotare i 3 vettori in modo che giacciano sul piano perpendicolare alla direzione generata Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 305

7 Approssimazione non relativistica Ricordiamo l espressione l ampiezza invariante Concentriamoci sulla parte relativa ai nucleoni (corrente adronica) Lo spinore del protone è Analogamente per lo spinore del neutrone Ricordiamo l approssimazione non relativistica nella rappresentazione di Dirac Pertanto Per la componente temporale della corrente adronica otteniamo pertanto ( m p m n m N ) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 306

8 Approssimazione non relativistica Per le componenti spaziali della corrente adronica Vediamo che per μ=1,2,3 le matrici γ μ mescolano le componenti large e small degli spinori e pertanto, nell approssimazione non relativistica danno contributo nullo Vediamo quindi che la interazione di Fermi (vettoriale) non prevede che lo spin del nucleone (o del nucleo) possa cambiare Nello studio dei decadimenti β furono presto trovati nuclei che decadevano con variazione dello spin nucleare: Ad esempio Divenne pertanto presto chiaro che l interazione vettoriale doveva essere generalizzata per descrivere anche i decadimenti con variazione dello spin nucleare Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 307

9 Generalizzazione della Teoria di Fermi La scelta di interazione fra correnti vettoriali è solo una delle varie possibili La richiesta importante da soddisfare è che l Hamiltoniana sia uno scalare L interazioni di Fermi è il prodotto scalare di due correnti vettoriali Si può generalizzare l interazione introducendo altre matrici nel vertice di interazione Le matrici Γ i sono le seguenti combinazioni di matrici γ che hanno ben precise proprietà di trasformazione nelle trasformazioni di Lorentz: Γ S = 1 Scalare Γ V = γ μ Vettore Γ A = γ 5 γ μ Vettore Assiale Γ T = σ μν = i/2 [γ μ,γ ν ] Tensore Γ P = γ 5 Pseudoscalare Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 308

10 Generalizzazione della Teoria di Fermi Verifichiamo che questa generalizzazione permette anche le variazioni dello spin nucleare Come nel caso vettoriale utilizziamo la rappresentazione di Dirac Ricordiamo anche la matrice γ 5 Interazione scalare Gli spinori χ r e χ s rappresentano gli stati di spin del nucleone prima e dopo il decadimento Otteniamo pertanto ( m p m n m N ) Come nel caso vettoriale l interazione scalare non permette variazioni di spin Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 309

11 Generalizzazione della Teoria di Fermi Interazione Vettoriale Assiale Scriviamo esplicitamente le 4 matrici Γ A Possiamo subito notare che adesso la matrice γ 5 γ 0 mescola componenti large e small al contrario delle matrici γ 5 γ i Calcoliamo innanzitutto la componente temporale corrente adronica Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 310

12 Generalizzazione della Teoria di Fermi Calcoliamo adesso le componenti spaziali della corrente adronica In conclusione Interazione Assiale Vediamo pertanto che l Interazione Assiale permette transizioni nucleari con variazione dello spin Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 311

13 Generalizzazione della Teoria di Fermi Interazione Tensoriale Iniziamo con le 3 matrici σ 0k (k = 1,3) Queste matrici mescolano componenti large e small e pertanto Consideriamo adesso le restanti 3 matrici σ kl ( k,l = 1,3 k l ) Abbiamo già visto che (con k,l,m ciclici e k,l,m = 1,3) Otteniamo pertanto un risultato analogo a quello dell interazione assiale Interazione Tensoriale L Interazione Tensoriale permette transizioni nucleari con variazione dello spin Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 312

14 Generalizzazione della Teoria di Fermi Per finire calcoliamo l elemento di matrice della corrente adronica per l Interazione Pseudoscalare Ricordiamo la forma della matrice γ 5 nella rappresentazione di Pauli-Dirac La matrice γ 5 chiaramente mescola le componenti large e small Pertanto, nell approssimazione non relativistica Interazione Pseudoscalare Pertanto l Interazione Pseudoscalare, nell approssimazione non relativistica, non può contribuire al decadimento β Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 313

15 Generalizzazione della Teoria di Fermi Riassumendo, la parte relativa ai nucleoni dell elemento di matrice nella approssimazione non relativistica o statica si può approssimare così Accoppiamento S Elemento di Matrice Nucleare Forma covariante Approssimazione Statica V μ = 0 A k 0 T μ,ν 0 k cyclic P 0 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 314

16 Elemento di matrice nucleare La parte relativa al nucleone deve essere generalizzata per tenere conto del fatto che, in generale, il nucleone è in uno stato legato nel nucleo Gli stati sono rispettivamente le funzioni d onda iniziale e finale del nucleo L operatore O permette un elemento di matrice non nullo fra nuclei diversi Distrugge un neutrone nello stato iniziale Crea un protone nello stato finale L operatore Γ è una delle matrici introdotte e determina la variazione di spin Gli elementi di matrice nucleare sono di due tipi e vengono indicati Il calcolo di questa parte dell elemento di matrice deve tenere conto della struttura nucleare del particolare nucleo in esame Non ci occuperemo di questa parte del calcolo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 315

17 Generalizzazione della Teoria di Fermi Dal momento che l interazione è L ampiezza invariante ha 4 termini Ricordando quanto detto per l elemento di matrice nucleare abbiamo Scalare Vettoriale Vettoriale Assiale Tensoriale Nella somma tensoriale ci sono 6 termini (quindi il fattore 2) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 316

18 Generalizzazione della Teoria di Fermi Riassumendo: Gli accoppiamenti di tipo S e V non possono variare lo spin del nucleone Le transizioni con accoppiamenti S e V sono le Transizioni di Fermi Gli accoppiamenti di tipo A e T possono variare lo spin del nucleone Le transizioni con accoppiamenti A e T sono le Transizioni di Gamov-Teller Gli accoppiamenti di tipo P si annullano nel limite statico Regole di selezione: Transizioni nucleari con J i = J f = 0 sono dette Transizioni Pure di Fermi Possono coinvolgere solo le ampiezze Transizioni nucleari con ΔJ = J i J f = 1 sono dette Transizioni Pure di Gamov-Teller Possono coinvolgere solo le ampiezze Transizioni nucleari con J i = J f J i, J f 0 sono dette Transizioni Miste Possono coinvolgere tutte le ampiezze Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 317

19 La Larghezza di Decadimento Per circa 20 anni l attività sperimentale fu molto intensa per cercare di capire quali dei possibili accoppiamenti fossero effettivamente realizzati in natura L osservabile sperimentale più semplice è lo spettro di energia dell elettrone La larghezza di decadimento è data da L elemento dello Spazio delle Fasi L elemento di matrice M possiede degli indici che identificano gli stati di polarizzazione iniziale e finale delle particelle Sappiamo che se non si osserva lo stato di polarizzazione finale occorre sommare i corrispondenti elementi ( somma su s 1, s 2, s 3 ) Se lo stato iniziale non è polarizzato occorre mediare sulle polarizzazioni possibili dello stato iniziale (somma su s i ) Se non si osservano effetti polarizzatori si definisce pertanto Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 318

20 Termini di Interferenza Il modulo quadrato dell elemento di matrice contiene termini di interferenza L indice s rappresenta tutti gli indici di spin Per brevità si è indicato solo un termine di interferenza (SA) Dimostriamo che i termini di interferenza SA, ST, VA, VT si annullano Per tutti i termini sopra indicati la parte relativa all elemento di matrice nucleare contiene termini tipo <1> e <σ> Pertanto, trascurando constanti non essenziali (il risultato sarà nullo) Utilizziamo la rappresentazione esplicita per gli spinori di Pauli Inseriamo nell espressione del termine di interferenza Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 319

21 Termini di Interferenza Sommiamo sugli indici di polarizzazione iniziale e finale Pertanto otteniamo in definitiva Pertanto i termini di interferenza fra elementi di matrice di Fermi e di Gamov-Teller si annullano se mediati sugli stati di polarizzazione Pertanto il quadrato (mediato) dell ampiezza invariante diventa Il risultato appena ottenuto permette di semplificare il calcolo Sottolineiamo che succede solo se si media sugli stati di polarizzazione Per questo motivi i calcoli per osservabili che dipendono dalla polarizzazione sono un po più lunghi Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 320

22 Somme sugli stati di polarizzazione nucleari Valutiamo adesso i termini restanti negli elementi di matrice nucleari Consideriamo ad esempio l elemento di matrice per una transizione di Fermi In tutti e tre i termini compare la somma sulle polarizzazioni di termini Abbiamo indicato la matrice genericamente Γ perchè considerazioni identiche valgono per le transizioni di Gamov-Teller Utilizziamo sempre l approssimazione non-relativistica La parte dell elemento di matrice dovuta agli spinori degli adroni è Con l approssimazione non relativistica utilizzata vale Γ = Γ e χ = χ T Per finire utilizziamo esplicitamente gli indici matriciali nell espressione Ancora una volta utilizziamo la forma esplicita per gli spinori Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 321

23 Somme sugli stati di polarizzazione nucleari Concludiamo il calcolo considerando esplicitamente i due casi Transizioni di Fermi La matrice Γ è semplicemente la matrice I Transizioni di Gamov-Teller Le matrici Γ a sono le matrici di Pauli Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 322

24 Il tensore leptonico Per la parte leptonica dell elemento di matrice non si usano approssimazioni Si utilizza la teoria di Dirac Occorre calcolare il modulo quadrato degli elementi di matrice del tipo Per il calcolo di questi termini si possono utilizzare le tecniche di traccia introdotte precedentemente Abbiamo però una piccola complicazione per la presenza del termine di interferenza In realtà gli spinori e la loro posizione sono gli stessi in tutti e 3 i termini In particolare nel termine di interferenza (ad esempio SV) La struttura è la stessa degli altri termini I vertici sono invece mescolati Un esempio chiarirà più di ogni altra spiegazione Somme sulle polarizzazioni Relazioni di completezza Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 323

25 Elementi di matrice Diagramma A Diagramma B p 1i n p p 1f p 1i n p p 1f e - k e - k ν k ν k Per i quadrati si introducono nell ordine: Fermione Vertice Anti-Fermione Vertice Per il termine di interferenza : Fermione (diagramma A) Vertice (diagramma A) Anti-Fermione (diagramma B) Vertice (diagramma B) N.B.: il secondo vertice introduce l aggiunto spinoriale della matrice di vertice Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 324

26 Elementi di matrice Diagramma A Diagramma B p 1i n p p 1f p 1i n p p 1f e k e k ν k ν k Per i quadrati si introducono nell ordine: Fermione Vertice Anti-Fermione Vertice Per il termine di interferenza : Fermione (diagramma A) Vertice (diagramma A) Anti-Fermione (diagramma B) Vertice (diagramma B) N.B.: il secondo vertice introduce l aggiunto spinoriale della matrice di vertice Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 325

27 L elemento di Matrice Riepilogando, l elemento di matrice risulta Calcoliamo il termine relativo alle transizioni di Fermi Abbiamo visto che Dove abbiamo anche calcolato Assumendo C S e C V reali otteniamo Per il momento non indicheremo più G 2 e lo reintrodurremo alla fine del calcolo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 326

28 L elemento di Matrice Assumiamo m ν = 0 Sviluppiamo ulteriormente ricordando A questo punto calcoliamo le tracce ricordando le due regole In definitiva Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 327

29 L elemento di Matrice Per finire, reintroduciamo la costante G e otteniamo Un calcolo analogo per l elemento di matrice di Gamov-Teller Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 328

30 Lo spazio delle fasi L elemento di matrice che abbiamo trovato dipende, oltre che dalle energie, anche dall angolo fra il neutrino e l elettrone È pertanto necessario sviluppare lo spazio delle fasi senza integrare sugli angoli Riprendiamo pertanto il calcolo a partire dall integrazione del momento del protone in poi (vedi diapositiva ) Adesso vogliamo integrare sull energia del neutrino e poniamo x = E ν = k Trascurando l energia cinetica del protone Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 329

31 Lo spazio delle fasi Con questa approssimazione abbiamo (ricordiamo k = E ν e p e k ) Possiamo a questo punto integrare su E ν Inoltre utilizziamo la consueta relazione Anche qui trascuriamo l energia cinetica del protone E p m p m N A questo punto abbiamo tutti gli ingredienti per il calcolo della larghezza di decadimento Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 330

32 La larghezza di decadimento In definitiva abbiamo per la larghezza delle transizioni di Fermi Dove Analogamente per la larghezza delle transizioni Gamov-Teller Dove Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 331

33 La distribuzione dell energia Per il momento vogliamo calcolare la distribuzione dell energia dell elettrone Ricordiamo che l elemento di matrice dipende da termini che contengono p e Lo spazio delle fasi dipende dalle direzioni dω e e dω ν dei momenti dell elettrone e del neutrino Misuriamo gli angoli rispetto alla direzione dell elettrone Possiamo integrare su dω e 4π θ pe p p θ eν θ νp p ν L integrale sull angolo solido del neutrino di questi termini dà contributo nullo Per i termini dell elemento di matrice che non dipendono dagli angoli gli integrali sui due angoli solidi equivalgono a moltiplicare per 16π 2 In definitiva, per una transizione di Fermi Ricordiamo che abbiamo usato l approssimazione E ν Δm E e Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 332

34 La distribuzione dell energia Le prime informazioni sulla struttura della interazione debole nel decadimento β sono state ottenute studiando lo spettro della energia Il termine con coefficiente κ F è un termine di interferenza è noto come Termine di interferenza di Fierz NB: il valore minimo di E e è m e Dallo studio della forma dello spettro si può verificare l esistenza o meno del termine di interferenza I risultati sperimentali mostrano che questo termine è assente Sia per le Transizioni di Fermi Sia per le Transizioni di Gamov-Teller κ F = 0 κ F = 1 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 333

35 La distribuzione dell energia L assenza del termine di interferenza di Fierz ha delle conseguenze importanti Ricordiamo la forma dei coefficienti dei termini di interferenza La condizione κ F,GT = 0 implica che solo uno dei due accoppiamenti può essere presente Pertanto dei 4 possibili tipi di interazione solo 2 dovevano essere presenti con le seguenti possibilità: Scalare Assiale Scalare Tensoriale Vettoriale Assiale Vettoriale - Tensoriale Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 334

36 La distribuzione dell energia Da un punto di vista sperimentale è interessante studiare i requisiti di risoluzione e di precisione statistica per stabilire l assenza o meno dei termini di interferenza Ovviamente, per misurare lo spettro di energia, abbiamo bisogno di un rivelatore che misuri l energia di ogni singolo elettrone che lo attraversa % σ = KeV Una prima caratteristica importante è la possibilità di assorbire tutta l energia Ma la caratteristica più importante è sicuramente la risoluzione Supponiamo di avere un elettrone di 500 KeV e di variare la risoluzione del rivelatore E (MeV) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 335

37 La distribuzione dell energia Supponiamo di avere un elettrone di 400 KeV e una risoluzione di 40 KeV L area della zona rossa dà la probabilità, data l energia di 400 KeV, di misurare una energia nell intervallo dato Se misuriamo contemporaneamente elettroni di 400 KeV e di 500 KeV Ancora l area rossa L area rossa è la somma dell area delle due fette delle gaussiane % % E (MeV) E (MeV) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 336

38 La distribuzione dell energia % L area rossa, posizionata a E, è data da Se le due gaussiane non avessero aree uguali Se le gaussiane fossero tante e ciascuna con peso f i Possiamo interpretare f i come il contributo al bin i esimo di una distribuzione arbitraria di energia f(e) Il rivelatore misura l energia che cade in ogni bin con una risoluzione descritta dalla gaussiana Il contributo al bin viene pertanto disperso nei vari bin adiacenti seguendo la legge gaussiana Passando al limite ΔE de La distribuzione risultante è la convoluzione della distribuzione originale con una gaussiana la cui deviazione standard è determinata dalla risoluzione del rivelatore E (MeV) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 337

39 La distribuzione dell energia Problemi: 1. scrivere un programma per disegnare il grafico dello spettro dell energia per diversi valori del parametro κ 2. scrivere un programma per disegnare il grafico dello spettro dell energia per κ=0 e κ=1 includendo l effetto della risoluzione di un rivelatore variando la risoluzione da 10 KeV a 100 KeV 3. scrivere un programma che generi numeri a caso secondo la distribuzione del punto 1 (oppure utilizzare il generatore MC del decadimento β) 4. introdurre nel programma precedente l effetto della risoluzione sommando un ulteriore numero a caso distribuito secondo una gaussiana di media nulla e deviazione standard pari all errore Segue problemi: 5. scrivere un programma che faccia un fit della distribuzione ottenuta nel punto 4 con la funzione teorica ottenuta al punto 2. Si considerino parametri del fit il numero degli eventi generati e il valore del parametro κ 6. Determinare un grafico dell errore sul parametro κ in funzione della risoluzione per 4 diversi valori del numero degli eventi 7. ripetere gli studi precedenti per diversi valori del parametro κ 8. Finalmente, stabilire i criteri per una misura di κ che permetta di stabilire se κ è nullo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 338