fe s dvol M Fissata una simmetria v in V possiamo allora definire un applicazione lineare

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1 Dalle simmetrie dell azione alle correnti conservate. Iniziamo come al solito con un modello finito-dimensionale. Sia pertanto una varietà differenziabile compatta dotata di una forma di volume dvol e sia S : R un applicazione differenziabile (l azione). Se f : R è una funzione integrabile rispetto alla misurs e S dvol, scriviamo f per indicare l integrale fe s dvol (valor medio di f). Infine, se v è un campo vettoriale su, indichiamo con div S (v) la divergenza di v rispetto alla forma di volume e S dvol, ovvero la funzione su definita da L v (e S dvol) = div S (v)e S dvol. Diremo che un campo vettoriale v è una simmetria di (, S, dvol) se v è una simmetria dell azione, cioè (ds v) = 0, e ha divergenza nulla rispetto alla forma di volume dvol. Notiamo che queste due condizioni implicano in particolare div S (v) = 0. Aggiungiamo adesso l ultimo ingediente: supponiamo di avere un azione delle funzioni C su una superficie connessa su un sottospazio V dello spazio vettoriale X () dei campi vettoriali su, C (; R) R V V Fissata una simmetria v in V possiamo allora definire un applicazione lineare Φ v : C 0 (; R) C (; R) ρ div S (ρ v). Poiché v è una simmetria di (, S, dvol), le costanti sono nel nucleo di Φ v. D altronde le costanti sono il nucleo del differenziale di de Rham d : C (; R) Ω 1 (; R) e dunque esiste (non unica) un applicazione lineare tale che j v : Ω 1 (; R) C (; R) Φ v (ρ) = j v (dρ). L applicazione j v può essere vista come un applicazione differenziabile da in Ω 1 (; R) : per ogni punto m di, j m v : ω (j v (ω)) m. Con qualche abuso qua e là possiamo supporre che i funzionali lineari su Ω 1 () siano dati da 1-forme: ω η ω. 1

2 Con questa identificazione, jv m è una 1-forma su, con la proprietà che Φ v (ρ) m = dρ = ρ dj v m, jv m dove, al solito, il principio del migliore dei mondi possibili ci dice che non c è da preoccuparsi di eventuali termini di bordo. Ovvero, abbiamo la seguente identità tra funzioni su : Φ v (ρ) = ρ dj v, dove nell espressione a destra è solo j v a dipendere dal punto m di, e il differenziale è il differenziale di de Rham in (e dunque non legge la dipendenza di j v da m). Prendiamo adesso il valor medio di Φ v (ρ): Φ v (ρ) = div S (ρ v) = L ρ v (e S dvol) = 0. D altronde, scambiando l integrazione su con l integrazione su, Φ v (ρ) = ρ d j v. Dunque per ogni funzone ρ, da cui ρ d j v = 0 d j v = 0, ovvero la 1-forma j v è chiusa. Tanto per confondere le idee, i testi di stringhe tendono a scrivere questa equazione come dj v = 0. Bisogna farci l abitudine; in fondo non è diverso da imparare a leggere g 21 come l elemento di posto due-uno della matrice g anziché come la variabile g elevata alla ventuno. Le correnti come operatori. Sia ora p un punto fissato di e sia A(p) : R una funzione che dipenda solo dal comportamento di m attorno a p. Questa richiesta non ha ovviamente alcun senso così in astratto, mentre è chiaro cosa voglia dire nel caso concreto in cui è uno spazio di mappe dalla superficie in un altra varietà. Possiamo però formalizzare nel contesto finito-dimensionale nel quale stiamo lavorando la richiesta di dipendenza dal germe di m in p mediante l azione di C (; R) sul sottospazio V di X () che abbiamo assunto come parte dei nostri dati. Alla funzione A(p) chiederemo di soddisfare L ρ v A(p) = L v A(p) 2

3 per ogni ρ identicamente uguale ad 1 in un intorno di p, e per ogni v in V. Se una tale funzione A(p) possa effettivamente esistere senza essere banale in dimensione finita non ci deve interessare, quello che stiamo facendo adesso è solamente mettere in evidenza quale sia la proprietà formale che ci interesserà usare quando sarà uno spazio di mappe su (e la nozione di dipendere solamente dal germe in p sarà dunque chiara). Assumiamo ora che v sia una simmetria di (, S, dvol) appartenente al sottospazio V e calcoliamo la media di L ρ v A(p). Si ha: L ρ v A(p) = L ρ v (A(p)e S dvol) A(p)div S (ρ v) = A(p) ρ dj v = ρ A(p)dj v. Se come ρ prendiamo una funzione identicamente uguale ad 1 in un intorno di p otteniamo L v A(p) = ρ A(p)dj v. Da questa identità si vede che il termine a sinistra non dipende da ρ, purché ρ sia costanetemente uguale ad 1 in un intorno di p. Con funzioni ρ di questo tipo possiamo approssimare in norma L 1 la funzione caretteristica di un disco B p centrato in p. Otteniamo dunque L v A(p) = A(p)dj v. B p Il punto p di è fissato una volte per tutte: la funzione A(p) è una funzione del solo punto m di, e dunque non viene vista dal differenziale di de Rham su : A(p)dj v = d(a(p) j v ). Inoltre, come abbiamo già osservato, il differenziale di de Rham su non vede l integrazione su. Ne segue: L v A(p) = A(p)j v, ovvero l azione della derivata di Lie L si esprime mediante gli operatori j v Anche qui, la noatazione dei fisici non è la più amichevole possibile: si scrive semplicemente j v 3

4 per indicare l operatore scritto sopra. Esempio: i generatori delle simmetrie conformi. Vogliamo adesso calcolare esplicitamente la corrente e l operatore associati alla simmetria z n+1 z dell azione S[X] = X µ X ν G µν, dove = C\{0} e X è una mappa da in R D dotato della metrica standard. Per come è definita in generale la corrente j v non dobbiamo far altro che esprimere la divergenza div S (ρ v) come j v dρ. Se assumiamo che il campo vettoriale ρ v non abbia divergenza rispetto alla misura dvol (uno dei tanti vantaggi del lavorare nel migliore dei mondi possibili), quuesto si riduce all identità L ρ v S = j v dρ. Nel nostro caso, il sottospazio V dello spazio dei campi vettoriali su aps(, R D ) è lo spazio vettoriale dei campi vettoriali indotti dai diffeomorfismi infinitesimali di (ovvero dai campi vettoriali su ). L azione di C (; R) su questi campi vettoriali è quella ovvia indotta dalla moltiplicazione C (; R) R X () X (). Per calcolare la variazione dell azione S rispetto alla variazione di X indotta dal campo vettoriale ρ(z, z) z n+1 z è conveniente ragionare come segue: mentre l azione S è invariante per i soli diffeomorfismi conformi, l azione di Polyakov S P [X, g] è invariante per tutti i diffeomorfismi. In particolare L ρz n+1 z S P = 0. Dunque, se indichiamo con δ w X e δ w g le variazioni di X e g indotte dal diffeomorfismo infinitesimale w = ρz n+1 z, troviamo L w S = δs P δx δ wx g=g0 = δs P δg δ wg g=g0, dove g 0 è la metrica standard su C \ {0}. Ricordando la definizione del tensore energia-impulso, troviamo dunque L w S = (T (z)δ w g zz + T (z)δ w g zz )dz dz Rimangono da calcolare le variazioni δ w g zz e δ w g zz nel punto g = g 0. Si ha L w (g ab a b ) = L w (g ab ) a b g ab a (ρ z n+1 ) z b g ab b (ρ z n+1 ) a z. Ricordando che in g = g 0 si ha g zz = g zz = 0 e g zz = g zz = 1/2, se ne ricava Dunque L ρz n+1 z S = δ w g zz = ( z ρ)z n+1 ; δ w g zz = 0. T (z)( z ρ)z n+1 dz dz = (T (z)z n+1 dz) dρ, 4

5 da cui j z n+1 z = T (z)z n+1 dz. Il corrispondente operatore è di conseguenza L n := 1 T (z)z n+1 dz 2πi 5