R è definita infine dall insieme delle curve percorse da ogni singolo punto della corda.

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1 1. Problema della corda vibrante Si consideri una corda monodimensionale, di sezione nulla avente densità per unità di lunghezza ρ e modulo elastico lineare E. Una corda reale approssima quella ideale appena descritta, nell ipotesi in cui la sezione trasversa è molto minore rispetto alle lunghezze d onda caratteristiche che andremo a considerare. Assumiamo inoltre che la corda si disponga lungo una linea retta in condizioni di riposo e che, sotto l azione di perturbazioni esterne, ciascun punto della corda possa muoversi soltanto nella direzione ortogonale all asse individuato dalla corda nella sua posizione di riposo. In tal caso diremo che le oscillazioni della corda sono trasversali e tale approssimazione sarà effettiva nel caso di variazioni di posizione piccole rispetto alle lunghezze d onda che si propagano lungo la corda (piccole oscillazioni). Nel caso di grandi deformazioni la traiettoria di ogni singolo punto della corda nel tempo è più complessa di un segmento ortogonale all asse della corda e la forma funzionale dipende dall ampiezza delle sollecitazioni esterne. Consideriamo un sistema di riferimento con asse x orientato lungo la direzione della corda nella posizione di riposo ed asse y ortogonale nella direzione di moto dei singoli punti della corda. Assumeremo l origine del riferimento lungo la corda in modo che la retta y=0 contenga la corda e che la corda sia di lunghezza L, finita o infinita. In tal caso, ciascun punto della corda, individuato dalla sua posizione x, può muoversi soltanto lungo l asse y. Per uniformità, indicheremo con u la variazione della posizione di ciascun punto rispetto alla condizione a riposo della corda. L equazione oraria della corda u( x, t) :[ L /, L / ] R 0 R è definita infine dall insieme delle curve percorse da ogni singolo punto della corda. L obiettivo è dunque di scrivere l equazione della dinamica della corda vibrante che consenta in maniera generale di determinarne l equazione oraria. Per analogia con il problema della dinamica associato ad una massa agganciata ad una molla, assumiamo che il problema differenziale sia lineare, ovvero che la relazione funzionale sia un equazione differenziale alle derivate parziali del tipo u u F = a u + a + a + a + a + a +... La linearità delle onde è inoltre osservata nei fenomeni di interferenza. Per semplicità, consideriamo una corda omogenea infinita. Se all interno della corda introduciamo una perturbazione, ad esempio, sollecitando la corda verso l alto e poi verso il basso rispetto alla configurazione di equilibrio, osserviamo due onde simmetriche che si propagano a destra e sinistra della sorgente della perturbazione, poiché non c è nessuna ragione per cui l onda preferisca una delle due direzioni. La soluzione risultante è simmetrica rispetto alla variabile x, ovvero scambiando x con x la soluzione non cambia. Inoltre un osservazione analoga è possibile farla rispetto al tempo. Se osserviamo la corda a due istanti di tempo t 1 e t, come in Figura 1, non siamo in grado di dire quale dei due fotogrammi è stato scattato prima. Se t 1 < t avremmo un onda che avanza verso destra, se t 1 > t un onda verso sinistra. Più generalmente, se registriamo un onda che avanza lungo la corda e poi rimandiamo il video all indietro, in rewind, otteniamo ancora una soluzione dell equazione delle onde. Dunque l equazione è invariante anche per la trasformazione t t. Questo implica che non possono esserci termini di ordine dispari nell equazione della corda. Arrestandoci a piccole deformazioni l equazione finale possibile è

2 αu + β + γ = F Poiché le uniche grandezze caratteristiche all interno della corda sono la densità, che ha le dimensioni di una massa per unità di lunghezza, ed il modulo elastico lineare che ha le dimensioni di una forza, il rapporto E/ρ ha dimensioni di una velocità al quadrato = = = c E mal L ρ m T L unica grandezza caratteristica del problema è dunque una velocità. Questo impedisce possibili relazioni tra la funzione u e le sue derivate spaziali e o temporali, perché non esistono lunghezze o tempi caratteristici del problema, indipendenti da c. Dunque l equazione della corda vibrante deve essere ± c = F Dove l unica cosa che non è possibile stabilire, attraverso analisi di simmetria e dimensionali è il segno. Il segno, tuttavia, è determinante nel definire le caratteristiche della soluzione e a seconda che sia positivo o negativo avremo due classi di equazioni differenziali lineari completamente differenti, ellittiche e iperboliche. Figura 1 : Un onda misurata a due istanti di tempo. Quali di questi viene prima? Se non si conosce la direzione di propagazione dell onda questo quesito non è ben posto.. Equazione della corda vibrante Per scrivere le equazioni della corda vibrante, assumiamo un tratto di corda piccolo, di lunghezza a riposo x, relativo ai punti x e x+ x, come indicato in Figura. Gli estremi della corda si troveranno durante il moto ad un istante generico t nelle posizioni u(x,t) e u(x+ x,t). Le forze agenti sul tratto di corda considerato sono date dalla tensione della corda, T(x+ x,t) e T(x,t), che tendono a tirare la corda verso destra e sinistra relativamente, ed eventualmente forze esterne f, definite per unità di lunghezza, un cui esempio possibile è la forza peso. Assumeremo che queste ultime agiscano soltanto nella direzione dello spostamento u e ne considereremo, d ora in poi, solo il modulo f. Indichiamo con θ è l angolo che la corda forma rispetto all orizzontale. Poiché il moto avviene lungo l asse verticale, lungo l asse orizzontale c è equilibrio e si ha T ( x + x, t) cos[ θ ( x + x, t)] T ( x, t)cos[ θ ( x, t)] = 0

3 x ρ L x, t T ( x x, t)sin[ θ ( x x, t)] T ( x, t)sin[ θ ( x, t)] f x + = dove la lunghezza del tratto di corda è L = x + u. Sviluppiamo le funzioni angolari considerate in serie di potenze e arrestiamoci al prim ordine. Si ha che cos[ θ ( x, t)] cos[ θ ( x + x, t)] 1 sin[ θ ( x, t)] tan[ θ ( x, t)] θ ( x, t); sin[ θ ( x + x, t)] tan[ θ ( x + x, t)] θ ( x + x, t); La tangente dell angolo ad ogni istante di tempo è anche uguale alla derivata della funzione u rispetto ad x: u tan θ ( x, t) =. Semplificando, dalla prima equazione si ha che la tensione del x ( x, t ) filo è costante lungo la corda, dalla seconda equazione si ha che x, u ρ L x + t = T + f x x ( x+ x, t) x ( x, t) Dividiamo per x e valutiamo il limite per x 0. Si ha che L x u lim ρ x +, t = ρ ( x, t) lim 1+ = x x x 0 x 0 ρ ( x, t) 1+ tan [ θ ( x, t)] ρ ( x, t) Il limite del primo contributo del secondo membro è la derivata seconda da cui si ha che u u ρ = T + f Dunque il segno nell equazione della sezione precedente è negativo e la velocità associata T all equazione è effettivamente c = e nel caso di una corda omogenea il modulo elastico è la ρ tensione della corda.

4 Figura : Forze di contatto che agiscono su un tratto di corda. 3. Soluzione di D Alembert dell equazione Per cercare soluzioni dell equazione della corda vibrante imperturbata (f=0), effettuiamo un cambiamento di variabile ed introduciamo le nuove variabili ξ = x ct η = x + ct Per riscrivere l equazione nel nuovo riferimento, abbiamo bisogno di riscrivere le derivate parziali rispetto alle vecchie variabili x-t nelle nuove variabili: Calcoliamo le derivate seconde. Si ha che Analogamente Sostituendo, l equazione risultante è ξ η = + = + ξ η ξ η ξ η = + = c + c ξ η ξ η u u u = = + + = + + ξ η ξ η ξ η ξ η = + ξ η ξ η 4 = 0 ξ η

5 u Questa equazione possiamo scriverla nella forma = 0, che implica che la funzione η ξ = G( ξ) è indipendente da η. Integrando ulteriormente questa equazione otteniamo che la ξ soluzione u è l integrale di G, più una funzione che non dipende da ξ, e dunque dipende dalla sola η. Si ha: ξ u = G( ξ ') dξ ' + f ( η) = g( ξ ) + f ( η) 0 Ritornando al sistema di coordinate x-t otteniamo che la soluzione generale è u = g( x ct) + f ( x + ct) Queste due funzioni rappresentano rispettivamente un onda progressiva e regressiva.