1 Combinazioni lineari.

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1 Geometria Lingotto LeLing5: Spazi Vettoriali Ārgomenti svolti: Combinazioni lineari Sistemi lineari e combinazioni lineari Definizione di spazio vettoriale Ēsercizi consigliati: Geoling 6, Geoling 7 Combinazioni lineari Data una colonna a a m a m e un numero c possiamo moltiplicarli, cioe c a a m a m = c a c c c a m c a m Date due colonne A, B e due numeri c, c 2 possiamo combinarli linearmente, cioe c A + c 2 B = c a a m a m + c 2 b b 2 b 3 b m b m = c a + c 2 b c + c 2 b 2 c + c 2 b 3 c a m + c 2 b m c a m + c 2 b m Piu in generale dati dei numeri (chiamati coefficienti) c, c 2,, c n A, A 2,, A n possiamo scrivere la loro combinazione lineare: e le colonne Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing5 Geometria

2 Geometria Lingotto Ovviamente C e una colonna Esempio La colonna D =, B = e C = C = c A + c 2 A c n A n i coefficienti della combinazione lineare e combinazione lineare delle colonne A = Infatti, D = 3A + 5B + 7C, dunque 3, 5 e 7 sono Possiamo allora chiederci quando una data colonna B e combinazione lineare delle colonne A, A 2,, A n Possiamo dunque pensare i coefficienti c, c 2,, c n come incognite x, x 2,, x n e la domanda e se esistono soluzioni del seguente problema: Ecco un esempio x A + x 2 A x n A n = B () Esempio 2 Vediamo il caso n =, cioe con una sola ( colonna ) A ( Dunque ) il problema e se esiste x tale che xa = B Allora se A = e B = tale x ( ) ( ) x non esiste poiche xa = per qualsiasi x Ecco altro esempio: Esempio 3 Vediamo il caso n = 2 e B =, la colonna zero Dunque il problema e se esistono x, x 2 tali che x A + x 2 A 2 = Certamente x = x 2 = e una soluzione Ecco un esempio piu concreto: 5 Esempio 4 Sia A =, A 2 =, A 3 = 3 7 l equazione () e x A + x 2 A 2 + x 3 A 3 = B, cioe x 3 + x x = 3 7 e sia B = ; 3 7 Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing5 2 Geometria

3 Geometria Lingotto sommando si trova x + x x 3 2 x + x 2 ( ) + x 3 ( 2) x 3 + x x 3 2 e infine si arriva a un sistema non-omogeneo = 3 7 x + x x 3 2 = x + x 2 ( ) + x 3 ( 2) = 3 x 3 + x x 3 2 = 7 Dunque x, x 2, x 3 esistono se e solo se questo sistema e compatibile L ultimo esempio illustra il fatto che l equazione () nasconde un sistema lineare, ossia e un modo piu semplice di scrivere un sistema lineare di m equazioni e n incognite Ecco piu esplicitamente: scriviamo le colonne A i = Dunque l equazione () si scrive come: a i i n i x i = i= a m i a m i b b 2 b 3 b m b m a i i i a m i a m i Così si arriva al seguente sistema lineare: a x + a 2 x a n x n = b x + 2 x n x n = b 2 S = x + 2 x n x n = b 3 a m x + a m 2 x a m n x n = b m e B = b b 2 b 3 b m b m Proposizione 5 L equazione x A + x 2 A x n A n = B ha soluzione se e solo se il sistema lineare S e compatibile Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing5 3 Geometria

4 Geometria Lingotto 2 Spazi Vettoriali Dall inizio del corso si e vista l importanza dell operazione + somma (tra righe, colonne, equazioni, etc,) e la moltiplicazione per un numero c (di solito chiamato coefficiente) Usando somme e coefficienti si arriva al concetto di combinazione lineare: c A + c 2 A c n A n La struttura matematica che permette di sommare e moltiplicare per numeri si chiama spazio vettoriale e si la denota con la lettera V Detto in parole semplice uno spazio vettoriale e un insieme V dove e possibile sommare due elementi e moltiplicare un elemento per un numero c, tale che una combinazione lineare c A + c 2 A c n A n tra numeri c i e elementi A i di V sia ancora un elemento di V Ecco qualche esempio conosciuto Esempio 2 L insieme R n = {(x, x 2,, x n ) : x i R} e uno spazio vettoriale Cioe, se A, A 2,, A n R n e c, c 2,, c n R allora la combinazione lineare c A + c 2 A c n A n appartiene a R n Esempio 22 L insieme C n = { a a n : a i R} delle colonne con n elementi e uno spazio vetoriale Cioe, se A, A 2,, A n C n e c, c 2,, c n R allora la combinazione lineare c A + c 2 A c n A n appartiene a C n Esempio 23 L insime R n = {(a a n ) : a i R} delle righe con n elementi e uno spazio vetoriale Cioe, se A, A 2,, A n R n e c, c 2,, c n R allora la combinazione lineare c A + c 2 A c n A n appartiene a R n 2 Definizione astratta di spazio vettoriale Dall inizio del corso la parola numero ha voluto significare numero reale Ma conosciamo, o abbiamo sentito parlare, di altri numeri, cioe complessi, razionali, etc Oggi il computer usa numeri binari, cioe + = Dunque esistono molti classi di numeri e allora ci puo capitare di trovare combinazioni lineari c A + c 2 A c n A n dove i coefficienti non sono piu numeri reali Un esempio di questo e il gioco All Lights Dunque, nella definizione generale di spazio vettoriale si deve precisare l insieme K dei numeri 2 in anticipo, ossia dove prendiamo i coefficienti c, c 2, Ecco la definizione 2 Un insieme di numeri K si chiama campo numerico Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing5 4 Geometria

5 2 Definizione astratta di spazio vettoriale Geometria Lingotto Definizione 24 Un insieme V, un campo numerico K, una somma + tra elementi di V, cioe se A, B V allora A + B V, una moltiplicazione tra i numeri di K e gli elementi di V, cioe se c K e A V allora ca V e uno spazio vettoriale 3 se i seguenti otto assiomi sono soddisfatti: S Per ogni scelta di A, B, C V si ha: (A + B) + C = A + (B + C) S2 Per ogni scelta di A, B V si ha: A + B = B + A S3 Esiste un elemento O V tale che: A + O = A per ogni A V 4 S4 Per ogni A V esiste B tale che A + B = P Per ogni A V si ha A = A, dove K P2 Per ogni A V si ha (ab)a = a(ba) per ogni scelta di a, b K D Per ogni A V si ha (a + b)a = aa + ba per ogni scelta di a, b K D2 Per ogni a K si ha a(a + B) = aa + ab per ogni scelta di A, B V E importante sapere che lo scopo degli otto assiomi e quello di permetterci di lavorare facilmente con le combinazione lineari Ecco qualche esempio Esempio 25 L assioma S ci permette di non usare le parentesi, altrimenti non sarebbe chiaro se le seguenti combinazioni lineari sono uguali o pure no: (c A + c 2 A 2 ) + c 3 A 3? = c A + (c 2 A 2 + c 3 A 3 ); cioe serve un assioma per chiarire questo dubbio L assioma S2 serve per assicurare che l ordine della somma di una combinazione lineare non e importante, cioe da lo stesso risultato c A + c 2 A 2 + c 3 A 3 = c 3 A 3 + c A + c 2 A 2 L assioma S3 ci permette di mettere zero al posto di tutti i coefficienti e trovare quello che ci aspettiamo, cioe la combinazione banale o nulla come un elemento di V L assioma S4 ci permete di passare combinazioni lineari dal lato destro al sinistro (o vicerversa) di una equazione tra combinazioni lineari 3 Di solito si dice che V e uno K-spazio vettoriale 4 Attenzione: L elemento O V si chiama diversamente a seconda la natura dello spazio vettoriale, ad esempio, elemento neutro, vettore nullo, vettore zero, funzione nulla, vettore banale, colonna banale, riga banale,etc Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing5 5 Geometria

6 Geometria Lingotto Insomma, ogni assioma coglie una proprieta (molto semplice) delle combinazioni lineari tra numeri (coefficienti) e vettori 5 3 Altri esempi di spazi vettoriali Abbiamo visto che le colonne e le righe (di n elementi) sono uno spazio vettoriale Ecco due generalizzazioni: R := {(a ) : a i R}, cioe l insieme delle righe con infiniti elementi Scrivendo a = (a i ) R per denotare una riga con infiniti elementi, la somma si definisce come (componente a componente) a + b := (a i + b i ) e il prodotto con un numero r R ra := (ra i ) a Analogamente C := { }, cioe l insieme delle colonne con infiniti elementi Scrivendo a = (a i ) C per denotare una colonna con infiniti elementi la somma si definisce come (componente a componente) a + b := (a i + b i ) e il prodotto con un numero r R ra := (ra i ) 3 Matrici e tensori: gli indici servono per sommare componente a componente Guardando il caso delle colonne e le righe ci si rende conto che la cosa importante e l indice, cioe per sommare e moltiplicare abbiamo sommato gli elementi con lo stesso sottoindice Dunque approfittando di questa osservazione si vede che l insieme M n,m delle matrici con n righe e m-colonne e uno spazio vettoriale Ecco come si definisce la somma e il prodotto: si usa l osservazione precedente, cioe se a, b M n,m sono due matrici la loro somma si definisce come a + b := (a i j + b i j ), dove a = (a i j ) e b = (b i j ) Se r e un numero allora ra := (ra i j ) I tensori si definiscono in modo analogo, cioe generalizzando l idea e usando 3,4,5,etc indici Ad esempio prendiamo lo spazio vettoriale dei tensori con tre indice (t ijk ) La somma si definisce come s + t := (s i j k + t i j k ) e se r e un numero allora rt := (rt ijk ) 5 Un vettore e (per definizione) un elemento di V, cioe se A V allora A e un vettore Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing5 6 Geometria

7 32 Bits, bytes e computers, cioe spazi vettoriali su Z 2 Geometria Lingotto 32 Bits, bytes e computers, cioe spazi vettoriali su Z 2 La definizione di spazio vettoriale permette di usare numeri diversi dei numeri reali Il computer usa i numeri binari, cioe Z 2 = {, }, dove + =, etc Gli elementi di Z 2 = {, } si chiamano bits Possiamo allora definire colonne, righe, matrici, tensori, etc, con numeri in Z 2 Ad esempio, lo spazio R 8 = {(a a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 ) : a i Z 2 } e forse lo spazio vettoriale piu importante della informatica E cosi importante che i suoi vettori hanno un nome particolare: si chiamano bytes Il famoso codice ASCII usa R 8 per rappresentare l alfabeto e i simboli piu usati del linguagio Ad esempio, la lettera a e il vettore (meglio dire byte ) ( ), la virgola, e ( ), etc Se uno interpreta i bytes come le cifre dei numeri scritti in base 2 allora e facile vedere che la lettera a corrisponde al numero 97 e la virgola, corresponde al numero 44 Allora e naturale aspettarsi che la lettera b corresponda al numero 98 Infatti e cosi, poiche la lettera b e rappresentata del byte ( ) Notare che 98 = Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing5 7 Geometria