Numeri di Fibonacci, Autovalori ed Autovettori.

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1 Numeri di Fibonacci, Autovalori ed Autovettori. I numeri sulla Mole Antonelliana. Ecco i numeri sulla Mole:,,, 3,, 8, 3,, 34,, 89, 44, 33, 377, 6, 987, dove ogni nuovo numero rappresenta la somma dei due che lo precedono. Dunque, simbolicamente possiamo scrivere: F n F n + F n Se si e capito tutto fin qui, il lettore non dovrebbe trovare difficolta a calcolare qual e il numero che segue 987. (Risposta: 97 ). Dunque, se poniamo F, F, risulta che F e F Nota Storica : Questa serie di numeri e nota come serie di numeri di Fibonacci in onore a Leonardo da Pisa, conosciuto col nome paterno di figlio Bonacci, cioe Fibonacci (detto anche Bigollo), che verso il 3 ha studiato questa succesione di numeri a proposito del seguente problema sulla riproduzione dei conigli: Quante coppie di conigli (adulti) si ottengono in un anno supponendo che ogni coppia dia alla luce un altra coppia ogni mese e che le coppie piu giovani siano in grado di riprodursi gia al secondo mese di vita? Quindi, la soluzione al problema studiato da Fibonacci e F 44, cioe dopo un anno ci sono 44 coppie adulti di conigli.. La formula di Binet. Ecco una versione aggiornata del problema studiato da Fibonacci: Problema. Quanto grande e F?. Ad esempio, se ci chiediamo se F e minore o maggiore di 8, qual e la risposta giusta??

2 Per rispondere a questa domanda, ci servirebbe (forse) una formula per calcolare l n -esimo numero F n. Certamente il lettore informato sa che questa formula esiste ed e conosciuta con il nome di formula di Binet (ca. 843), ma era gia conosciuta da Eulero e Daniele Bernoulli. Eccola qui, {( F n + ) n ( ) n } Notiamo che questa identita e ben lontana dall essere evidente o banale. Ad esempio, come spiegare la radice di, che non e un numero intero? (Ricordate che F n e un numero intero, in quanto rappresenta il numero di coppie di conigli...). Quindi, se la formula e giusta ci sono delle semplificazioni misteriose... Esercizio : Verificare che, effettivamente, la formula di Binet funziona per n e n. Di solito, si dimostra la formula di Binet a partire dal principio di induzione, cioe : Esercizio : Dimostrare usando il principio di induzione che la formula di Binet funziona per ogni n. Ma la dimostrazione per induzione non ci aiuta a capire l origine di questa bellissima formula; allora come e nata questa formula?. In seguito il lettore trovera una possibile risposta (tra altre possibili) tramite i concetti di Autovalori ed Autovettori. Prima di lasciare questa parte risolviamo il Problema. usando il fatto che (grazie alla Formula di Binet...): ( F n + ) n ( n 3. ) Allora, F ( 3 ) > > > Dunque F e maggiore di 8. Fibonacci e matrici Osserviamo che l equazione equivale al sistema: F n F n + F n { F n + G n G n F n

3 Come gia sappiamo, possiamo scrivere questo sistema tramite matrici, vettori colonna e prodotti fra loro, cioe G n Allora la colonna C n risulta da quella C G n n per la matrice A. Quindi possiamo scrivere: A C n C n G n tramite la moltiplicazione Siccome C n A C n risulta: A C n A A C n A C n C n Dunque applicando reiteratamente questa idea si ottiene: dove C. A n C C n Quindi risulta che dobbiamo calcolare la potenza n di una matrice A, cioe n dobbiamo calcolare. Calcolo della potenza n-esima di una matrice Se una matrice D e diagonale, ad esempio D e molto facile calcolare 3 D n. Infatti, D n n 3 n e non ci sono problemi. λ λ Piu in generale se D allora D β n n β n Quindi non ci sono problemi per calcolare D n se D e diagonale. Un altro caso dove e facile calcolare la potenza n -essima di A e quando possiamo scrivere la matrice A come: A MDM dove la D e una matrice diagonale e la matrice M e arbitraria (ma ovviamente invertibile, visto che l equazione contiene M ). 3

4 Nota. Se queste due matrici D e M esistono si dice che la matrice A e diagonalizzabile. Osservare che questo e equivalente a: M AM D Vediamo perche e facile calcolare A n quando A e diagonalizzabile. Infatti, A n MDM MDM MDM MDM MDM }{{} n volte M DDD }{{ DD} M MD n M n volte poiche i fattori MM si elidono, per definizione di inversa. Dunque, se conosciamo D n e M possiamo calcolare A n senza problema.. Diagonalizzando Fibonacci n Allora per il calcolo di sarebbe ideale trovare una matrice diagonale D e una matrice invertibile M tale che: MDM Come trovare M e D? L idea e assumere che M e D esistano e cercare di trovarli tramite qualche trucchetto... Notiamo che l equazione precedente implica: M MD. Se ricordiamo come si ricava il prodotto tra matrici notiamo che, poiche D e diagonale, le colonne M ed M della M, soddisfano a: M λm e M βm λ dove D, che pero non conosciamo, cioe conoscendo D sarebbe facile β calcolare M risolvendo i seguenti sistemi (equivalenti alle equazioni di sopra) per le colonne M e M della M : Non e vero che esistono sempre M e D, ad esempio la matrice A non e diagonalizzabile. 4

5 λ λ M β β M Quest ultimo sistema e molto interessante perche ci dice che le colonne M, M sono soluzioni di un sistema omogeneo. Ricordo inoltre che vogliamo che M (la stessa cosa per M ) sia una colonna di una matrice invertibile, dunque M. Questo ci forza a prendere λ (e pure β ) uguale ad una radice del determinante λ della matrice, cioe questo sistema omogeneo ha delle soluzioni non λ banali se, e solo se: λ det( ) λ λ λ Da dove λ ±, questi numeri sono i cosidetti numeri d oro (vedere Livio per delle interessanti proprieta di questi numeri). ± Nota. Nel linguaggio dell Algebra lineare i numeri si chiamano autovalori della matrice. Piu in generale, data una matrice A si calcola il polinomio P (λ) det(a λid) che si chiama polinomio caratteristico di A. Le radici di P (λ) si chiamano autovalori. Dunque possiamo prendere D uguale a + Adesso non e difficile trovare le colonne M e M della matrice M, cioe queste colonne sono soluzioni dei sistemi omogeni le cui matrici sono: Possiamo allora prendere M e M.. Nota.3 Nel linguaggio dell Algebra lineare si dice che le colonne M e M sono due autovettori della matrice.

6 Piu in generale, una soluzione x (cioe, x non nullo) del sistema omogeneo la cui matrice e A λid, dove λ e un autovalore di A si chiama autovettore di A. Quindi abbiamo ottenuto cio che volevamo, cioe L inversa Finalmente, + + e n +. Dunque + + ( + ) n ( ) n Per trovare F n dobbiamo quindi calcolare, ricordiamo, cioe G n + ( + ) n ( ) n + n + + G n + ( + ) n ( ) n + + ( + ) n ( ) n L ultima moltiplicazione fornisce, {( + ) n ( ) n } G n {( + ) n ( ) n } dunque abbiamo il risultato finale, cioe {( F n + ) n ( ) n } 6

7 References Livio Livio, M.: La sezione aurea - Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni, Traduzione di Stefano Galli, Rizzoli, Prima edizione: 3. Dipartimento di Matematica, Politecnico di Torino, Corso Duca degli Abruzzi 4, 9 Torino, Italy. antonio.discala@polito.it 7